Презентация "Универсальная формула" 8 класс


Подписи к слайдам:
Универсальная формула

Универсальная

Автор проектной работы- Пушкаш Максим Владимирович, 8 класс Руководитель-Сахно Людмила Николаевна МКОУ «Ступинская СОШ№14»

(с.Ступино Ефремовского района, ул.Мира, д.1) телефон 9-39-39, e-mail - skull1408@mail.ru Номинация «Геометрические миниатюры»

Аннотация

Цель данного проекта – рассказать, как вычислить объемы простых тел и площади плоских фигур с помощью одной формулы, которая не встречается в школьных учебниках.

Эта формула может пригодиться в практике, например, для измерения «объема ствола дерева, не интересуясь тем, на что он больше похож – на цилиндр или на конус, полный или усеченный»[1].

В работе показано применение формулы для различных тел и фигур.

Замечательная формула, пригодная для вычисления объема цилиндра, полного конуса, усеченного конуса, всякого рода призм и пирамид и даже шара, известна в математике под названием формулы Симпсона.

То́мас Си́мпсон (1710-1761) — английский математик. С 1746 года Симпсон - член Лондонского королевского общества, с 1758 года - иностранный член Шведской королевской академии наук. Симпсон составил учебники по элементарной математике. В особых отделах геометрии рассматриваются задачи о наибольших и наименьших величинах, решаемые с помощью элементарной геометрии, правильные многогранники, измерение поверхностей, объёмы тел и, наконец, смешанные задачи [2].

V =

где

h – высота тела,

b1 – площадь нижнего основания,

b2 – площадь среднего сечения,

b3 - площадь верхнего основания

Убедиться в правильности этой формулы очень легко простым применением ее к перечисленным телам.

Тогда получим для призмы и цилиндра

h

b3

b3

b2

b1

b2

b1

Для пирамиды

и конуса

h

b3

b3

b2

b1

b2

b1

Для усеченного конуса

h

b3

b2

b1

r

R

Для усеченной пирамиды доказательство ведется сходным образом;

h

b3

b2

b1

Для шара:

h

R

b3

b2

b1

Можно отметить еще одну любопытную особенность универсальной формулы: она годится также для вычисления площадей плоских фигур – параллелограмма, трапеции и треугольника,если

  • h - это высота фигуры,
  • b1 - длина нижнего основания,
  • b2 - длина средней линии,
  • b3 - длина верхнего основания.

Чтобы в этом убедиться, применим формулу и получим:

Для параллелограмма (квадрата, прямоугольника)

h

b1

b2

b3

Для трапеции

b3

b2

b1

h

Для треугольника

b2

b1

b3

h

b2

Вы видите, что формула имеет достаточно прав называться универсальной.

Спасибо за внимание!

Материалы, использованные при подготовке презентации:

1.Перельман Я.И. Занимательная геометрия. ГИТТЛ, М. 1957г.

2. http://ru.wikipedia.org

3. http://matematiku.ru