Олимпиадные задания по математике 7 класс


ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ
ПО МАТЕМАТИКЕ 2015-2016 ГГ.
ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП
7 КЛАСС
1. В ящике 25 кг гвоздей. Как с помощью чашечных весов и одной гири в
1кг за два взвешивания отмерить 19 кг гвоздей?
2. На часах половина девятого. Чему равен угол между часовой и минутной
стрелками?
3. Написав контрольную работу, ученики Володя, Саша и Петя сообщили
дома:
Володя: «Я написал на 5».
Саша:«Я написал на 3».
Петя: «Я написал не на 5».
После проверки выяснилось, что один из мальчиков получил 3, другой 4,
третий 5. Какую оценку получил каждый, если известно что из трех
сделанных высказываний одно ложно, а два других истинны?
4. В примере a ∙ b + c d + e f , a увеличили на 20%, b уменьшили на 20%, c
увеличили на 60%, d уменьшили на 40%, e увеличили на 50%, f уменьшили
на 36%. После этого пример решили и получили 80. Найти a ∙ b + c d + e f.
5. Проведите шесть прямых и отметьте на них 11 точек так, чтобы на
каждой прямой было отмечено ровно четыре точки.
Каждое задание оценивается в 7 баллов. Всего – 35 баллов.
РЕШЕНИЕ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ 7 КЛАСС
1. В ящике 25 кг гвоздей. Как с помощью чашечных весов и одной гири в 1кг
за два взвешивания отмерить 19 кг гвоздей?
Решение: При первом взвешивании в одну из чашек весов кладем гирю и все
гвозди раскладываем по чашкам так, чтобы установилось равновесие.
Получим 13 и 12 кг гвоздей. Первую кучку откладываем, а остальные гвозди
делим пополам, взвешивая без гири: 12 = 6 + 6. Получили искомое
количество гвоздей: 19 = 13 + 6.
2. На часах половина девятого. Чему равен угол между часовой и минутной
стрелками?
Решение: В момент, когда часы показывают половину девятого, минутная
стрелка указывает на цифру 6, а часовая на середину дуги между цифрами 8
и 9 (см. рисунок). Если из центра часов провести два луча к соседним
цифрам циферблата, то между ними будет угол 360
0
:12=30
0
. Угол между
стрелками часов, когда они показывают половину девятого, в два с
половиной раза больше. Следовательно, он равен 75
0
.
3. Написав контрольную работу, ученики Володя, Саша и Петя сообщили
дома:
Володя: «Я написал на 5».
Саша:«Я написал на 3».
Петя: «Я написал не на 5».
После проверки выяснилось, что один из мальчиков получил 3, другой 4,
третий 5. Какую оценку получил каждый, если известно что из трех
сделанных высказываний одно ложно, а два других истинны?
Решение:
Володя
Л 4 или 3
П 5
П 5
Саша
П 3
П 3
Л 4
Петя
П 4 или 3
Л 5
П 3
ОТВЕТ: Володя — 5; Петя — 3; Саша 4.
4. В примере a ∙ b + c d + e f , a увеличили на 20%, b уменьшили на 20%, c
увеличили на 60%, d уменьшили на 40%, e увеличили на 50%, f уменьшили
на 36%. После этого пример решили и получили 80. Найти a ∙ b + c d + e f.
Решение: 1,2a0,8b + 1,6c ∙ 0,6d + 1,5e 0,64f = 0,96a b + 0,96c d + 0,96e f =
0,96 (a ∙ b + c d + e f) = 80
a ∙ b + c d + e f = 
ОТВЕТ: 
5. Проведите шесть прямых и отметьте на них 11 точек так, чтобы на каждой
прямой было отмечено ровно четыре точки.
Решение: