Арифметическая и геометрическая прогрессии


Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
« Октябрьская школа-гимназия»
Красногвардейского района Республика Крым
Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Подготовила
учитель математики
Приходько Галина Владимировна
п.Октябрьское
2014 г.
Цели урока:
Образовательные: совершенствовать умения по использованию формул
арифметической и геометрической прогрессий для решения задач
прикладного содержания, показать использование формул прогрессий для
задач физики, биологии, экономики, проверка усвоения знаний путем
проведения самостоятельной работы в тестовой форме.
Воспитательные: воспитывать чувство ответственности, взаимоуважения,
умения работать в группах.
Развивающие: развивать интерес к предмету, потребность к получению
новых знаний.
Тип урока: круглый стол.
Ход урока:
1.) Организационный момент. Учащиеся образовали группы: кафедра теории,
кафедра истории, биологии, физики, экономики.
2.)Опрос. Кафедра теории.
План опроса: Определение, свойства, формула n-ого члена, формула суммы.
Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия.
1.
da ;
1
1.
qb ;
1
2.
2
11
nn
n
aa
a
2.
11
2
nnn
bbb
3.
1
1
ndaa
n
3.
1
1
n
n
qbb
4.
n
aa
S
n
n
2
1
4.
1
1
1
q
qb
S
n
n
5.
5.
.1;
1
1
q
q
b
S
3.) Кафедра истории.
С понятием последовательностей связаны имена следующих математиков.
Члены последовательности 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,… называют числами
Фибоначчи. Это объясняется тем, что итальянский математик и купец
Леонардо Пизанский (Фибоначчи) первым установил связь между этой
последовательностью и известной задачей о размножении кроликов. В этой
задаче исследуется численность потомства одной пары кроликов, которая
ежемесячно приносит пару крольчат, а те через месяц также начинают
производить потомство.
С тех пор как Фибоначчи открыл свою последовательность, были
найдены явления природы, в которых эта последовательность играет
немаловажную роль. Одно из них филлотаксис (листорасположение)-
правило, по которому располагаются, например, семечки в соцветии
подсолнуха. Семечки упорядочены в два ряда спиралей, одна из которых
идёт по часовой стрелке, другая против. И количество семян в каждом случае
34 и 55, однако встречаются и гиганты с 89 и 144 семечками. Подобное
свойство можно обнаружить в структуре сосновых шишек. То же
наблюдается и на плодах ананаса.
Выдающийся немецкий математик К.Гаусс нашел сумму
арифметической прогрессии
1, 2, 3, …, 98,99,100 в возрасте 5 лет.
С геометрической последовательностью 1, 2,
,2,2,...,2,2
636232
связана
старинная легенда. Индийский мудрец, придумавший шахматную игру,
попросил у раджи за своё изобретение, на первый взгляд, скромное
вознаграждение: за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зёрнышко,
за вторую – 2, за третью – 4 и т. д. – за каждую следующую клетку вдвое
больше, чем за предыдущую. Общее количество зерен, которое попросил
изобретатель, равно
.12
64
n
S
Богатый раджа был потрясен, когда узнал, что он не в состоянии
удовлетворить «скромное желание» мудреца. Значение этого выражения
равно 18 446 744 073 709 551 615 т.е. 18 квинтильонов 446
квадрильонов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615.
Для того, чтобы осознать, насколько велико это число, представим, что
зерно хранят в амбаре площадью 12 га. Его высота была бы больше
расстояния от Земли до Солнца.
4.) Кафедра биологии.
В биологии тоже есть явления, которые можно охарактеризовать с
помощью прогрессий. В частности размножение живых организмов. Зная
такие характеристики организма, как периодичность размножения и
численность потомства, можно с помощью прогрессий спрогнозировать
количество популяции за определённый промежуток времени. Такой процесс
рассматривается в следующей задаче.
ЗАДАЧА.
Бактерия, попав в организм, до конца 20 минуты делится на две, каждая из
которых до конца 20 минуты снова делится на две и т.д. Сколько бактерий
будет в организме через сутки?
Решение:
Количество бактерий каждые 20 минут увеличивается в 2 раза, поэтому
имеем:
1,2,4,8,… геометрическая прогрессия, в которой
72324;2;1
1
nqb
по формуле
1
1
1
q
qb
S
n
n
найдём
7272
72
72
212
12
121
S
бактерий.
Ответ:
72
2
бактерий.
5.) Кафедра физики.
Из истории астрономии известно, что И.Тициус, немецкий астроном
XVIII века, с помощью ряда чисел Фибоначчи нашёл закономерность и
порядок в расстояниях между планетами солнечной системы. Однако один
случай, который казалось бы, противоречил закону : между Марсом и
Юпитером не было планеты. Сосредоточенное наблюдение за этим участком
неба привело к открытию пояса астероидов, произошло это после смерти
Тициуса в начале XIX века.
Прогрессии выражают законы некоторых физических явлений.
Например, по закону геометрической прогрессии происходит ударная
ионизация. При ударной ионизации положительный ион достигая
поверхности отрицательного электрода выбивает электрон. Этот электрон,
обладая большой энергией выбивает электрон из внешней оболочки атома,
который встречает на своём пути. Образовавшиеся уже 2 электрона
выбивают ещё 2, полученные 4 ещё 4 и т. д. Образуется электронная лавина,
растущая в геометрической прогрессии.
В физике есть понятие равноускоренного движения. Если тело
движется равноускоренно, то расстояние, которое оно проходит за каждую
следующую единицу времени, увеличивается на одну и ту же величину. Т.е.
отрезки пути, которые проходит тело за 1,2,3,4,…единицы времени образуют
арифметическую прогрессию.
ЗАДАЧА.
Шар, который катится в желобе, за первую секунду проходит 0,6 м . а за
каждую следующую на 0,6м больше. За какое время он пройдёт 6м?
Решение:
6,0
1
a
м,
6,0d
м,
6;
n
Stn
м.
5;4
020
0126,06,0
022
22
122
2
12
21
2
2
1
2
2
1
1
1
tt
nn
nn
Sdandn
dndnnaS
nndaS
n
nda
S
n
n
n
n
-5 не удовлетворяет условию задачи
Шар пройдёт 6м за 4сек.
Ответ:4сек.
6.)Кафедра экономики.
Первый банк был основан в Венеции в 1171 году. С тех пор банковская
система развивается и усовершенствуется.
В случае размещения в банке денежного вклада вкладчик получает
определённый процент за использование своих средств.
ЗАДАЧА.
Банк выплачивает 2% годовых. Какой будет сумма вклада в 800р в конце
каждого года? За первый или за второй год прирост вклада больше? Каким
будет вклад через 3 года?
Решение:
Пусть A начальный вклад, на который насчитывается p% годовых, тогда
100
p
-прирост вклада, через год имеем
100
1
100
p
AA
p
A
где
100
1
p
- стала величиной постоянной для любой
суммы. Через 2 года имеем :
2
100
1
100
1
100
1
p
A
pp
A
т.е. прирост вклада возрастает по
закону геометрической прогрессии.
Если вкладчик положил в банк 800р , под 2% годовых, то прирост
образует
800·0,02=16 р
За первый год сумма вклада равна 800+16 =816р
За второй год 816·(1+0.02)² = 832,32р
За каждый год начальный вклад увеличивается на 2% , поэтому через 3года
он равен
800·(1,02)³= 800·1,06=848(р)
Ответ: 848р.
ЗАДАЧА .
Работники получили задание выкопать колодец. За первый выкопанный в
глубину метр колодца им платят 50 р, а за каждый следующий на 20 р
больше, чем за предыдущий. Сколько денег (в рублях) заплатят работникам
за выкопанный колодец глубиной 12м?
Решение:
Из условия задачи имеем арифметическую прогрессию
12;20;50
1
nda
необходимо найти
12
S
19206320622010012
2
1120502
2
12
12
1
S
n
nda
S
n
Ответ: 1920р.
7) Решение тестовых заданий .
1 вариант.
1. Найдите разность арифметической прогрессии , если
.2,3;3,2
21
aa
А) 0,9 ; Б) -0,9; В) 9; Г) -9.
2. Чему равна сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии,
первый член которой
,5
1
b
а знаменатель
?2q
А) 70; Б) 85; В) 80; Г) 75.
3. Чему равна сумма шести первых членов арифметической прогрессии, если
?15;20
61
aa
А)85; Б) 95; В) 105; Г) 115.
4. Среди данных последовательностей укажите арифметическую прогрессию.
А) 5;8;13;18; В) 0,1;0,2;0,3;0,4;
Б) 45;40;33;27; Г) 7;9;12;14.
5. Из последовательности чисел -9,-8,-6,4,5,6 выбрали два числа и нашли их
произведение. Какое наименьшее значение может принимать это
произведение?
А)-40; Б) -54; В) -72; Г) -36.
6. Укажите среди данных последовательностей геометрическую прогрессию.
А)6;18;54;162; Б)1;2;3;5; В)3;8;13;18; Г)21;19;17;15.
7. Чему равен третий член геометрической прогрессии, первый член которой
,5
1
d
а знаменатель
?3q
А) 15; Б) 45; В) 135; Г) 75.
8. Найдите знаменатель геометрической прогрессии,если
.
12
1
;
9
2
21
bb
А)
;
8
3
Б)
;
8
3
В)
;
3
2
2
Г)
.
3
2
2
9. Найдите седьмой член арифметической пргрессии, первый член которой
равен 8, а разность равна 0,5.
А) 11; Б) 10; В) 10,5; Г) 9,5.
10. Найдите первый член арифметической прогрессии, если второй член
равен 2,1, а разность равна 0,7.
А) 1,4; Б)2,8; В) 0,3; Г) 14,7.
2 вариант.
1. Какая из последовательностей является арифметической прогрессией?
А) 1;2;4;8; Б)8;10;13;17; В)2;4;6;8; Г) -8;8;-8;8.
2. Старые часы отстают каждый час на 20 с. На сколько минут отстанут часы
через 24 ч. после того , как время на них будет выставлено точно?
А)6 мин; Б) 8 мин; В) 10 мин; Г) 12 мин.
3. Чему равна разность арифметической прогрессии , если
?3;2
21
aa
А)5; Б) -5; В) 1; Г)-1.
4. Какая из данных последовательностей является геометрической
прогрессией?
А) 2;6;18;36; В) 4;8;16;32;
Б) 80;40; 20;5; Г) 2;-10;50; 250.
5.Вычислите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии,
первый член которой
,11
1
a
а разность
.4d
А)55; Б) 60; В) 65; Г)70.
6. Чему равен четвёртый член геометрической прогрессии, если её первый
член
,6
1
b
а знаменатель
?2q
А)-48; Б)48; В) 24; Г) -24.
7. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если
.
3
2
;
15
14
76
bb
А)
;
7
3
Б)
;
7
5
В)
;
5
7
Г)
.
3
7
8. Первый член арифметической прогресси равен 9, а разность -1. Чему
равен седьмой член прогрессии?
А) 2; Б) 3; В) 4; Г) 6.
9. Найдите первый член геометрической прогрессии, если её второй член
равен 12, а знаменатель -3.
А)4; Б)-4; В) 36; Г) -36.
10. Найдите разность арифметической прогрессии , если
.4;2
43
aa
А) -2; Б) -6; В) 2; Г)6.
Кафедра биологии.
Задача. Бактерия, попав в организм, до конца 20 минуты делится на 2 ,
каждая из которых до конца 20 минуты снова делится на 2 и т. д. Сколько
бактерий будет в организме через сутки?
Кафедра физики.
Задача. Шар, который катится в желобе, за первую секунду проходит 0,6 м ,
а за каждую следующую на 0,6 м больше. За какое время он пройдет 6 м.
Кафедра экономики.
Задача. Банк выплачивает 2% годовых . Какой будет сумма вклада в 800
гривен в конце каждого года? За первый или за второй год прирост вклада
больше ? Каким будет вклад через 3 года?
Кафедры истории и теории.
Задача. Работники получили задание выкопать колодец. За первый
выкопанный в глубину метр колодца им платят 50 р, а за каждый следующий
на 20 р больше, чем за предыдущий. Сколько денег ( в рублях) заплатят
работникам за выкопанный колодец глубиной
12 м.
Литература:
1.Открытые уроки . Математика. 5,6,7,9,11кл. Выпуск 2. Авторы
составители: Ляшова Н.М.и другие. Волгоград: Учитель,2007-84с.
2. Предметные недели в школе. Математика. Составитель :Гончарова Л.В.
Волгоград: Учитель.2007-133с.
3. Сухарева Л.С. Дидактические игры на уроках математики.7-9кл. Харьков:
Основа.2006-144с.