Презентация "Комплексные числа"


Подписи к слайдам:
Презентация PowerPoint

МОБУ лицей № 23 г. Сочи

  • Подготовила:
  • учитель математики Симонян Сусан Мкртичовна
  • 2010 г.

  • «Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием».
  • Г. Лейбниц
  • e iπ + 1= 0

  • Историческая справка.
  • Основные понятия.
  • Геометрическое изображение комплексных чисел
  • Модуль и аргумент комплексного числа.
  • Формы записи комплексных чисел.
  • Алгоритм перехода от алгебраической формы. комплексного числа к тригонометрической и показательной.
  • Переход от алгебраической формы комплексных чисел к тригонометрической и показательной без использования алгоритма.
  • Переход от алгебраической формы комплексных чисел к тригонометрической и показательной с использованием алгоритма.

Впервые мнимые величины появились в работе Дж. Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» в 1545 году.

  • Впервые мнимые величины появились в работе Дж. Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» в 1545 году.
  • Пользу мнимых чисел при решении кубических уравнений впервые оценил итальянский ученый Р. Бомбелли (1572).
  • Символ i предложил российский ученый Л. Эйлер (1777, опубликовано1794).
  • Задача о выражении степени n из комплексного числа была в основном решена в работах английских ученых А. Муавра (1707, 1724) и Р. Котеса (1722).
  • Термин «комплексное число» ввел французский ученый Л. Карно (1803).
  • В употребление термин вошел после работ К. Гаусса (1831).
  • Полное геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе датского ученого К. Весселя (1799).
  • Геометрическое представление комплексных чисел называют иногда «диаграммой Аргана» в честь швейцарского ученого Ж. Аргана.
  •  

Абрахам Муавр – английский математик. Муавр нашел (1707) правила возведения в n – ю степень и извлечения корня n – й степени для комплексных чисел.

  • Абрахам Муавр – английский математик. Муавр нашел (1707) правила возведения в n – ю степень и извлечения корня n – й степени для комплексных чисел.

Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик. Работы Гаусса оказали большое влияние на развитие теории чисел.

  • Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик. Работы Гаусса оказали большое влияние на развитие теории чисел.

Леонард Эйлер -

  • Леонард Эйлер -
  • математик, академик Петербургской академии наук. В его трудах многие математические формулы и символика впервые получают современный вид (ему принадлежат обозначения для e, , i)

Комплексным числом называется выражение вида z=a+bi , где a и b действительные числа, а i – мнимая единица, определяемая равенством i2=-1.

  • Комплексным числом называется выражение вида z=a+bi , где a и b действительные числа, а i – мнимая единица, определяемая равенством i2=-1.
  • Действительные числа: z=a+0i=a, z=Re z.
  • Мнимые числа: z=0+bi=bi, z=Im z.
  • Равные комплексные числа: z1=a+bi, z2=c+di,
  • z1=z2, если a=c, b=d.
  • Противоположные комплексные числа:
  • z=a+bi,
  • z=-a-bi.
  • Сопряженные комплексные числа:
  • z=a+bi,
  • z=a-bi.
  •  
  •  
  •  

  • x
  • y
  • 0
  • M(x; y)
  • r
  • a
  • b
  • Комплексные числа на плоскости изображаются в прямоугольной декартовой системе координат либо точкой М(а; в), либо радиус – вектором этой точки
  • r =ОМ=(а; в).

Модуль комплексного числа

  • Модуль комплексного числа
  • Аргумент комплексного числа
  • Arg z =n,
  • nz,
  • arctg b/a,
  • < 

  • Найти модуль комплексного числа
  •  
  •  
  • Вычислить
  •  
  • По знакам и определить четверть, в которой заканчивается искомый угол
  •  
  • Найти аргумент комплексного числа , используя следующие равенства:
  •  
    • первая четверть:
    • вторая четверть:
    • третья четверть:
    • четвертая четверть:
  •  
  • Записать комплексное число в тригонометрической или показательной форме.
  •  

Алгебраическая

  • Алгебраическая
  • z =a + bi
  • Тригонометрическая
  • z = r (cos φ + i sin φ)
  • Показательная
  • z = r e iφ ,
  • e iφ = (cos φ + i sin φ) – формула Эйлера

  • y
  • x
  • 3
  • -7
  • 4,5
  • 0
  • Φ =90°
  • r=3
  • r=7
  • r=4,5
  • Φ=180°
  • z1
  • z2
  • z3
  • z1 = 3 = 3 (cos 0°+i sin 0°) = 3 e i0°
  • z2 = 4,5 = 4,5 (cos 90°+i sin 90°) = 4,5 e i90°
  • z3 = -7 = 7 (cos 180°+i sin 180°) = 7 e i180°

Z = 2 +2i,

  • Z = 2 +2i,
  • a = 2, b = 2,
  • y
  • x
  • r
  • φ
  • a
  • b
  • 0