Презентация "Решение геометрических задач при подготовке к ГИА"

Подписи к слайдам:
Титова В.А.,
  • Титова В.А.,
  • учитель математики
  • МОУ СОШ № 5
  • ?
Содержание
  • 1. Справочная информация.
  • 2. Задания первой части ГИА.
  • 3. Задания второй части ГИА.
  • Задания: - на множественный выбор;
  • - с практическим содержанием;
  • для самостоятельного решения;
  • - с развёрнутым свободным ответом.
  • 4. Задания третьей части ГИА.
  • 5. Задания ЕГЭ 2009 (В-11).
  • для самостоятельного решения
СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ
  • треугольники
  • четырехугольники
  • правильные многоугольники
  • окружность
  • векторы
α
  • Прямоугольный треугольник
  • b c
  • a
  • Решение прямоугольных треугольников
  • Теорема Пифагора:
  • где а – катет, противолежащий α; b - катет, прилежащий к α.
  • Середина гипотенузы равноудалена от его вершин: МА=МВ=МС.
  • a b
  • c
  • Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике:
  • - проекции катетов на гипотенузу.
  • b
  • а
  • Площадь прямоугольного треугольника:
  • α
  • Справочные сведения Треугольники
  • Равнобедренный треугольник
  • h
  • Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают.
  • Высоты, проведённые к боковым сторонам, равны;
  • медианы, проведённые к боковым сторонам, равны;
  • биссектрисы углов при основании равны.
  • Справочные сведения Треугольники
Справочные сведения Треугольники
  • Произвольный треугольник
  • b с
  • h
  • a
  • Площадь треугольника: S = p ∙ r;
  • где р – полупериметр
  • А
  • b c
  • C a B
  • Сумма углов в треугольнике:
  • Теорема синусов:
  • Теорема косинусов:
  • А
  • С В
  • D
  • F E
  • Подобие треугольников
  • в подобных треугольниках
  • (соответствующие стороны лежат против равных углов)
  • А О
  • Точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины угла (АО : ОА1 = 2 : 1)
  • a b
  • x y
  • Биссектриса угла делит сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам (а : b = x : y).
  • Длина биссектрисы
  • Справочные сведения Треугольники
  • Параллелограмм
  • В С
  • О
  • φ
  • α
  • A D
  • Свойства
  • ABCD – параллелограмм
  • AB ‌‌ ‌ CD, BC ‌‌ ‌ AD, AB = CD, BC = AD,
  • AO = OC, BO = OD,
  • Признаки
  • AB ‌‌ ‌ CD, BC ‌‌ ‌ AD ABCD – параллелограмм;
  • AO = OC, BO = OD ABCD – параллелограмм;
  • AB = CD, BC = AD ABCD – параллелограмм;
  • AB = CD, AB ‌‌ ‌ CD ABCD – параллелограмм;
  • BC = AD, BC ‌‌ ‌ AD ABCD – параллелограмм
  • Площадь:
  • Справочные сведения Четырехугольники
  • Прямоугольник
  • В С
  • О
  • A D
  • Свойства
  • ABCD – прямоугольник
  • AB ‌‌ ‌ CD, BC ‌‌ ‌ AD, AB = CD, BC = AD;
  • AO = BO = CO = DO
  • (О – центр описанной окружности, ОА = R).
  • Признаки
  • ABCD – параллелограмм, АС = BD ABCD – прямоугольник.
  • ABCD – параллелограмм, ABCD – прямоугольник.
  • Площадь
  • Справочные сведения Четырехугольники
  • Ромб
  • В
  • А h О С
  • α
  • a
  • D
  • Свойства
  • ABCD – ромб AB ‌‌ ‌ CD, BC ‌‌ ‌ AD, AB = CD = BC = AD;
  • ;
  • , АО = ОС, ВО = ОD;
  • Признаки
  • AB = CD, BC = AD ABCD – ромб
  • ABCD – параллелограмм, АС BD ABCD – прямоугольник.
  • ABCD – параллелограмм, ABCD – ромб
  • Площадь
  • Справочные сведения Четырехугольники
  • Квадрат
  • В С
  • а О
  • d
  • A D
  • Свойства
  • ABCD – квадрат AB ‌‌ ‌ CD, BC ‌‌ ‌ AD, AB = CD = BC = AD;
  • , AO = BO = CO = DO;
  • Признаки
  • ABCD – прямоугольник, AB = CD = BC = AD ABCD – квадрат;
  • ABCD – ромб, ABCD – квадрат.
  • Площадь
  • Справочные сведения Четырехугольники
  • Произвольная трапеция
  • B C
  • φ O
  • A D
  • Треугольники AOD и СОВ подобны.
  • Треугольники АОВ и DOC равновелики (их площади равны)
  • Площадь трапеции:
  • a
  • m
  • h
  • b
  • Средняя линия трапеции:
  • Площадь трапеции:
  • b
  • c r d
  • a
  • Вписанная в окружность трапеция – равнобедренная.
  • В описанной около окружности трапеции:
  • высота равна диаметру: h = 2 r;
  • сумма оснований равна сумме боковых сторон: a + b = c + d;
  • полусумма боковых сторон равна средней линии: c + d = m;
  • (боковая сторона равнобедренной трапеции равна средней линии).
  • Справочные сведения Четырехугольники
  • Равнобедренная трапеция
  • В С
  • A D
  • Углы при оснований равны:
  • B C
  • O
  • A D
  • Диагонали равны: АС = ВD;
  • отрезки диагоналей равны: АО = DO, BO = CO;
  • углы, образованные основанием и диагоналями, равны:
  • B C
  • h
  • m
  • A H D
  • Основание высоты, проведённой к большему основанию, делит основание на отрезки, равные (если ВН – высота, то DH = m, где m – средняя линия).
  • Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота, проведённая к основанию, равна средней линии: h = m. В этом случае площадь трапеции можно найти по формуле:
  • Справочные сведения Четырехугольники
  • Сумма углов многоугольника
  • В выпуклом многоугольнике сумма углов равна
  • где n – число сторон (вершин) многоугольника.
  • Свойства правильного многоугольника
  • О
  • R r
  • A B
  • Все стороны равны, все углы равны,
  • О – центр вписанной и описанной окружностей,
  • R – радиус описанной окружности, лежит на биссектрисе угла,
  • r – радиус вписанной окружности, лежит на серединном перпендикуляре к стороне.
  • 1
  • 2 3
  • Центральный угол:
  • Внутренний угол:
  • Внешний угол равен центральному углу:
  • Справочные сведения Правильные многоугольники
Примеры равнобедренных треугольников,
  • Примеры равнобедренных треугольников,
  • боковыми сторонами которых являются две стороны многоугольника, два радиуса или равные диагонали:
  • d
  • a R r r
  • R R R d
  • a
  • Примеры прямоугольных треугольников
  • (вписанный угол опирается на диаметр)
  • Справочные сведения Правильные многоугольники
  • Окружность и её элементы
  • Радиус, проходящий через середину хорды, перпендикулярен этой хорде.
  • Радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
  • Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
  • Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны.
  • Центр окружности лежит на биссектрисе угла, образованного касательными, проведёнными из одной точки.
  • Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен
  • Справочные сведения Окружность
  • Окружность и её элементы
  • m
  • m
  • Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.
  • n
  • n
  • Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
  • Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
  • Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
  • Справочные сведения Окружность
  • Окружность, вписанная в треугольник
  • Отрезок, соединяющий центр окружности и точку её касания со стороной, перпендикулярен этой стороне.
  • Отрезки двух соседних сторон от общей вершины до точек касания равны между собой.
  • Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла, образованного двумя сторонами.
  • Справочные сведения Окружность
  • Окружность, описанная около треугольника
  • Центр описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к любой из сторон треугольника.
  • Если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то его гипотенуза является диаметром окружности.
  • Угол вписанного в окружность треугольника в 2 раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу, и равен любому другому вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.
  • Справочные сведения Окружность
  • Сложение и вычитание векторов
  • В В С
  • A CA D
  • D
  • A
  • Правило треугольника:
  • Правило параллелограмма:
  • Сумма нескольких векторов:
  • А
  • О В А
  • В А
  • О
  • Вычитание векторов:
  • Скалярное произведение векторов:
  • а
  • b
  • В координатах:
  • Справочные сведения Векторы
Треугольники
  • Решение заданий первой части
  • 1. Используя данные, указанные на рисунке, найдите Р В
  • периметр треугольника МРС.
  • 1) 22 2) 21 3) 42 4)23 С М А
  • 2. Используя данные, указанные на рисунке, найдите Р
  • катет НТ. 10
  • 1) 2) 5 3) 4) Н Т
  • 3. Используя данные, указанные на рисунке, найдите R
  • катет SТ. 18
  • 1) 9 2) 3) 4) S T
  • 4. Используя данные, указанные на рисунке, найдите B
  • катет BC. 6
  • 1) 6 sinα 2) 6 tgα 3) 4) C α A
  • 5. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
  • площадь треугольника. 13 5
  • 1) 156 2) 78 3) 60 4) 30 12
  • Решение заданий первой части
  • 6. Используя данные, указанные на рисунке, найдите площадь
  • прямоугольного треугольника. 12
  • 1) 16 2) 192 3) 120 4) 96
  • 7. В треугольник АВС вписана окружность, касающаяся его 5
  • сторон в точках М, К, и Р. Используя данные, указанные М К
  • на рисунке, найдите сторону АС. 6 9
  • 1) 18 2) 14 3) 15 4) 11 А Р С
  • 8. Треугольник АСР – равнобедренный с основанием СР, равным 10, и боковой
  • стороной, равной 12. Найдите периметр треугольника РКМ, где КМ – средняя
  • линия, параллельная стороне АС.
  • 9. Используя данные, указанные на рисунке, найдите длину отрезка D
  • МР, если известно, что МР || АС. М Р
  • А С
  • Треугольники
Треугольники
  • Решение заданий первой части
  • 10. Используя данные, указанные на рисунке, найдите C
  • периметр четырёхугольника ABDC, если известно, D
  • что угол BAD равен углу CAD. 4
  • B 10 A
  • 11. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Р, причём В D
  • угол ВАР равен углу DCP. Используя данные, указанные 14
  • на рисунке, найдите длину отрезка AD. P
  • A 9 9 C
  • 12. АВС – равнобедренный треугольник с основанием АС. В
  • AD и СЕ – высоты к боковым сторонам. Найдите AD, если Е D
  • АЕ = 6, АС = 10. 6
  • A 10 C
Треугольники
  • Задания первой части (для самостоятельного решения)
  • 1. Используя данные, указанные на рисунке, найдите А N
  • периметр треугольника АВС. M 6 B
  • 1) 42 2) 23 3) 46 4) 30 7 C
  • 2. Используя данные, указанные на рисунке, найдите М
  • катет РК. 20
  • 1) 2) 10 3) 4) Р К
  • 3. Используя данные, указанные на рисунке, найдите N
  • катет HN. 24
  • 1) 12 2) 3) 4) L H
  • 4. Используя данные, указанные на рисунке, найдите B
  • гипотенузу ВС.
  • 1) 6 sinα 2) 6 tgα 3) 4) A C
  • 5. Используя данные, указанные на рисунке, найдите
  • площадь треугольника. 9
  • 1) 135 2) 67,5 3) 54 4) 108
Треугольники
  • Задания первой части (для самостоятельного решения)
  • 6. Используя данные, указанные на рисунке, найдите 6
  • периметр четырёхугольника ABDC, если известно, C B
  • что угол BAD равен углу CAD. A
  • 7. Отрезки АE и CD пересекаются в точке N, причём C
  • угол NАD равен углу NCE. Используя данные, указанные 15 N E
  • на рисунке, найдите длину отрезка AE. 15 D
  • A
  • 8. В равнобедренный прямоугольный треугольник АВС вписан A
  • квадрат BDEF так, что его стороны BD и BF лежат на катетах D E
  • ВА и ВС, а вершина Е – на гипотенузе. АВ = 14. Найдите FC. B F C
  • 9. На параллельных прямых a и b отложены равные отрезки KL K L a
  • и MN. Отрезки KN и ML пересекаются в точке О. КО = 7. O
  • Найдите длину отрезка KN. M N b
  • 10. Найдите синус угла С треугольника ACD, если известно, что АС = 15, AD = 12.
  • синус угла D равен 0,75.
  • 11. Найдите сторону LN треугольника KLN, если известно, что ,
  • KL = 5, KN = 9.
Треугольники
  • Задания первой части ГИА– 2009 (для самостоятельного решения)
  • 12. Используя данные, указанные на рисунке, найдите площадь
  • прямоугольного треугольника.
  • 1) 160 2) 192 3) 12 4) 96
  • 13. В треугольник АВС вписана окружность, касающаяся его
  • сторон в точках М, К, и Р. Используя данные, указанные
  • на рисунке, найдите сторону АВ.
  • 1) 15 2) 17 3) 20 4) 18
  • 14. Треугольник СDЕ – равнобедренный с основанием DE, равным 22, и боковой
  • стороной, равной 16. Найдите периметр треугольника ЕМР, где МР – средняя
  • линия, параллельная стороне СD.
  • 15. Используя данные, указанные на рисунке, найдите длину отрезка
  • LN, если известно, что LN || ВС.
Треугольники Решение заданий второй части
  • Задачи на вычисления в равнобедренном треугольнике, как правило, помимо свойств, относящих-
  • ся к равнобедренному треугольнику, используют свойства прямоугольного треугольника, т. к.
  • медиана, проведённая к основанию, делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных.
  • 1. Найдите основание равнобедренного треугольника, если оно в 3 раза меньше
  • боковой стороны, а медиана, проведённая к боковой стороне, равна .
  • Решение: 1 способ
  • 1) Обозначим АС = х, тогда ВС = 3х, МС = 1,5х.
  • 2) : по теореме косинусов
  • 3) Пусть ВН – высота к основанию АС.
  • 4) Получаем:
  • - 6 не удовл. смыслу задачи
  • Отсюда АС = 6.
  • Ответ: 6.
Треугольники Решение заданий второй части
  • 1. Найдите основание равнобедренного треугольника, если оно в 3 раза меньше боковой
  • стороны, а медиана, проведённая к боковой стороне, равна .
  • 2 способ: используется приём, позволяющий быстро решать задачи, где речь идёт о медиане.
  • Медиана АМ продлевается за точку М и на её продолжении откладывается отрезок МD, равный
  • медиане.
  • Рассматривается параллелограмм АВDС и используется формула, связывающая его
  • стороны и диагонали.
  • Решение:
  • 1) Пусть АС – основание треугольника, АМ – медиана.
  • Отложим на луче АМ отрезок МD = АМ
  • Тогда АСВD – параллелограмм, т. к.его диагонали пересекаются
  • в середине.
  • 2) Обозначим АС = х, АВ = ВС = 3х, тогда по свойству сторон и
  • диагоналей параллелограмма имеем: ,
  • или
  • Ответ: 6.
Треугольники Решение заданий второй части
  • 2. В окружность с радиусом 13 вписан равнобедренный треугольник. Известно, что синус
  • угла при основании треугольника равен . Радиус ОМ пересекает под прямым углом
  • боковую сторону в точке К. Найдите длину отрезка ОК.
  • 1 способ опирается на свойства вписанных и центральных углов и решение прямоугольных
  • треугольников.
  • Решение:
  • 1) Угол при основании равнобедренного треугольника может быть только
  • острым, значит, центр О с вершиной А лежит по одну сторону от хорды ВС.
  • Тогда - центральный, соответствующий углу А. Отсюда
  • 2) Δ ВОС – равнобедренный, ОК – высота, проведённая к основанию, тогда ОК – биссектриса угла О, отсюда имеем:
  • 3)
  • Ответ: 5.
Треугольники Решение заданий второй части
  • 2. В окружность с радиусом 13 вписан равнобедренный треугольник. Известно, что синус
  • угла при основании треугольника равен . Радиус ОМ пересекает под прямым углом
  • боковую сторону в точке К. Найдите длину отрезка ОК.
  • Т.к. в ряде случаев первый способ применить бывает невозможно, приведём 2 способ реше-
  • ния, который использует свойство отрезков хорд.
  • Решение:
  • 1)
  • 2)
  • 3) Достроим радиус ОМ до диаметра РМ, тогда РМ =26.
  • Пусть МК = х. По свойству отрезков хорд получим
  • Ответ:5.
Треугольники Решение заданий второй части
  • Свойство отрезков касательных чаще всего применяют в задачах, связанных с вычислением
  • элементов равнобедренных или прямоугольных треугольников. При решении задач бывает
  • полезно отметить на рисунке точки касания и отметить равные отрезки одинаковыми буквами
  • или чёрточками, используя при этом свойства рассматриваемого треугольника.
  • 3. Окружность с центром О, вписана в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС.
  • Она касается стороны ВС в точке М, причём отрезок ВМ составляет 0,4 боковой стороны.
  • Найдите высоту, проведённую к боковой стороне, если АС = 30.
  • Решение:
  • 1) Обозначим буквой Н точку касания вписанной окружности с основанием.
  • Так как ΔАВС – равнобедренный, то центр О лежит на высоте к основанию,
  • т. е. ВН – высота и Н – середина основания.
  • 2) Если считать ВМ = и СМ = 3х, то АВ = ВС = 5х.
  • По свойству отрезков касательных имеем СН = 3х, 3х = 15, АВ = 25.
  • 3) По теореме Пифагора
  • 4) SАВС =0,5 ВН· АС = 0,5 АВ · h, отсюда h = (20 · 30) : 25 = 24.
  • Ответ: 24.
Треугольники Решение заданий второй части
  • В задачах на площадь треугольника иногда используется отношение площадей
  • треугольников. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату
  • отношения сходственных сторон (или квадрату коэффициента подобия).
  • Из формулы площади треугольника можно вывести ещё два следствия:
  • - если треугольники имеют общее основание (или равные основания), то их
  • площади относятся, как высоты, проведённые к этим основаниям;
  • - если треугольники имеют общую высоту (или равные высоты), то их площади
  • относятся, как основания.
Треугольники Решение заданий второй части
  • 4. Площадь треугольника МРК равна 21. Известно, что сторона МР = 7, медиана
  • РА = , а в треугольнике АРМ сторона АМ – наименьшая. Найдите сторону МК.
  • Решение:
  • 1)
  • 2)
  • Т. к. МА – наименьшая сторона в треугольнике АРМ, то α не
  • может быть тупым, α = .
  • 3) В треугольнике МАР по теореме косинусов:
  • Ответ: 10.
Треугольники Решение заданий второй части
  • 5. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С биссектриса ВК делит катет АС на отрезки АК = 15 и КС = 12. Найдите площадь треугольника АВК.
  • Решение:
  • 1) По свойству биссектрисы треугольника
  • Тогда АВ = 5х, ВС = 4х,
  • 2) (т. к. эти треугольники имеют одну
  • и ту же высоту ВС).
  • Значит,
  • Ответ: 270.
Треугольники Решение заданий второй части
  • 6. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.
  • 1) Медиана всегда делит пополам один из углов треугольника.
  • 2) Медиана проходит через середину стороны треугольника.
  • 3) Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине.
  • 4) Точка пересечения медиан произвольного треугольника – центр окружности, описан –
  • ной около этого треугольника.
  • 5) Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в
  • отношении 2 к 1, считая от вершины.
  • Ответ: 2), 3), 5).
  • 7. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны.
  • 1) Биссектриса всегда проходит через середину стороны треугольника.
  • 2) Биссектриса всегда делит пополам один из углов треугольника.
  • 3) Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные
  • двум другим сторонам.
  • 4) Точка пересечения биссектрис произвольного треугольника – центр окружности, вписанной
  • в этот треугольник.
  • 5) Точка пересечения биссектрис произвольного треугольника – центр окружности, описанной
  • около этого треугольника.
  • Ответ: 2), 3), 4).
Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)
  • 8. Из листа фанеры вырезали равносторонний треугольник со сторонами 10 дм, 10 дм и
  • 12 дм. Сколько килограммов краски потребуется, чтобы его покрасить, если на
  • поверхности расходуется 0,015 кг краски?
  • Решение:
  • По формуле Герона получаем:
  • Расход краски равен 48 · 0,015 = 0,72 (кг)
  • Ответ: 0, 72.
Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)
  • Природа говорит языком математики:
  • буквы этого языка – круги, треугольники
  • и иные математические фигуры.
  • (Галилей)
  • Измерение высоты предмета.
  • 1 способ самый лёгкий и самый древний – по тени предмета, использующий:
  • а) свойства равнобедренного треугольника. Для этого выбирается час, когда длина
  • тени человека равна его росту; в этот момент высота предмета равна длине отбрасы-
  • ваемой им тени.
  • Б) подобие треугольников. Можно пользоваться любой
  • тенью, любой длины. Измерив свою тень или тень любого
  • шеста, вычисляют искомую высоту из пропорции:
  • АВ : ав = ВС : вс.
  • (Высота дерева во столько же раз больше вашей собствен-
  • ной высоты (или шеста), во сколько раз тень дерева длин-
  • нее вашей (или шеста).
Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)
  • 2 способ
  • А) С помощью шеста, который надо воткнуть в землю так, чтобы его высота
  • равнялась вашему росту. Место для шеста надо выбрать так, чтобы, лёжа вы видели
  • верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. По свойству равно-
  • бедренного прямоугольного треугольника АВ = ВС, т. е. высоте дерева.
  • По окончании измерений инженер составил следующую запись:
  • 15:500=10:х,
  • 15:500=10:х,
  • 500 10=5000,
  • 5000:15=333,3.
  • Значит, высота гранитной стены равнялась 333 футам.
  • - Правильно. Так вот: сейчас я построю два подобных прямоугольных треугольника. У меньшего одним катетом будет отвесный шест, другим – расстояние от колышка до основания шеста; гипотенуза же - мой луч зрения. У другого треугольника катетами будут: отвесная стена, высоту которой мы хотим определить, и расстояние от колышка до основания этой стены; гипотенуза же – мой луч зрения, совпадающий с направлением гипотенузы первого треугольника.
  • - Понял! – воскликнул юноша. – Расстояние от колышка до шеста так относится к расстоянию от колышка до основания стены, как высота шеста к высоте стены.
  • - Да. И следовательно, если мы измерим два первых расстояния, то, зная высоту шеста, сможем вычислить четвертый, неизвестный член пропорции, т. е. высоту стены. Мы обойдемся, таким образом, без посредственного измерения этой высоты.
  • Оба горизонтальных расстояния были измерены: меньшее равнялось 15 футам, большее- 500 футам.
  • - Да.
  • - Помнишь свойства подобных треугольников?
  • - Их сходственные стороны пропорциональны.
Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)
  • Б) (способ Жюля Верна, описанный в романе «Таинственный остров»)
  • Для определения высоты скалы необходимо взять шест длиной равной росту человека, воткнуть вертикально в землю. Затем отойти от скалы на такое расстояние, чтобы лёжа на песке, можно было видеть и конец шеста и конец гребня.
  • В учебнике этот способ рассматривается в п.64 «Практические приложения подобия
  • треугольников»
Треугольники Решение заданий второй части
  • 3 способ
  • Для измерения высоты дерева можно использовать способ основанный на равенстве угла падения и
  • угла отражения света. Для этого на некотором расстоянии от измеряемого дерева, на ровной земле, в
  • точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят от него назад в такую точку D, стоя в которой
  • наблюдатель видит в зеркале верхушку А дерева.
  • А
  • В С D
Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)
  • Как поступать, если к измеряемому объекту невозможно подойти вплотную?
  • А) Задача решается двукратным применением описанного выше способа – помещение зеркала
  • высота равна возвышению глаза наблюдателя, умноженному на отношение расстояния между
  • положениями зеркала к разности расстояний наблюдателя от зеркала.
  • Б) На прямой, проходящей через основание Н предмета, отмечают точки В и С на определён-
  • ном расстоянии а друг от друга и измеряют углы АВН и АСВ:
  • По теореме синусов:
  • Способ рассматривается в учебнике п.100,
  • «Измерительные работы».
  • Задача № 1036, 1038.
Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)
  • 1. В 40 м одна от другой стоят две сосны. Высота одной 31 м, другой, молодой – всего 6 м. Можете ли вы определить как велико расстояние между их макушками?
  • Решение:
  • По теореме Пифагора расстояние АВ между
  • верхушками сосен равно
  • Ответ: 47 м.
Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)
  • 2. Тень ВС от отвесного шеста АВ высотою 4,2 м имеет 6,5 длины. Какова в этот
  • момент высота Солнца над горизонтом, т. е. как велик угол С?
  • Решение:
  • Ответ:
Треугольники Решение заданий второй части
  • 3. Определите высоту (в метрах) дерева, изображён –
  • ного на рисунке, если рост человека 1,7м, а в резуль-
  • тате измерений получено: ВС = 9м, CD = 1,5м.
  • Решение: В С D
  • A
  • E
  • 1.7
  • B 9 C 1.5 D
  • Ответ: 10,2 м.
Треугольники Решение заданий второй части
  • 4. Для измерения высоты дома нужно воткнуть в землю под прямым углом шест М
  • выше роста наблюдателя на расстоянии от дома. Затем следует
  • отойти от шеста назад по продолжению до той точки О, с которой
  • можно увидеть высшую точку М на одной линии с верхней О N
  • точкой шеста. Далее, стоя на том же месте, необходимо P
  • отметить на шесте и на доме 2 точки и N, лежащие на горизонтальной прямой.
  • Определите высоту МР дома, если рост человека
  • Решение:
  • 1)
  • подобен по первому признаку
  • Отсюда следует пропорциональность сторон:
  • MP = MN + NP = 6 + 1,7 = 7,7 (м).
  • Ответ: 7,7 м.
Треугольники Решение заданий второй части
  • 5. Для того, чтобы измерить высоту CD = h холма, необходимо с помощью угломерных
  • инструментов измерить угол α, под которым видна вершина С холма из точки А, затем
  • отойти на расстояние АВ = d, находясь в плоскости ACD, и измерить угол β, под которым
  • видна вершина С. - рост наблюдателя. Найдите высоту холма, если
  • .
  • С Решение:
  • 1)
  • β α как стороны прямоугольников
  • 2)
  • 3)
  • 4) В прямоугольном
  • 5)
  • Ответ: 88,3м.
Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)
  • Измерение ширины реки
  • 1 способ основан на применении теоремы синусов и теоремы косинусов.
  • (рассматривается в учебнике, № 1037).
  • 2 способ основан на использовании подобия треугольников
  • а)(рассматривается в учебнике, № 583).
  • б) с помощью «прибора» с тремя булавками на вершинах равнобедренного треугольника.
  • рассматривается в книге Я.И. Перельмана
  • «Занимательная геометрия»
  • (гл. 2, «Геометрия у реки»)
Треугольники Решение заданий второй части
  • В).Чтобы измерить ширину реки на её прямолинейном участке, необходимо на противополож –
  • ном берегу выбрать какой – либо ориентир, например, камень (точка С). Затем на своём берегу
  • следует найти точку А, так, чтобы отрезок АС был перпендикулярен береговой линии (это
  • можно сделать с помощью угломерных инструментов). Далее нужно отметить точку В, нахо –
  • дящуюся на расстоянии АВ = d от точки А и отойти от неё в точку D так, чтобы С, В и D нахо –
  • дились на одной прямой линии. Затем необходимо отметить точку Е так, чтобы С, А и Е нахо –
  • дились на одной прямой и отрезок ED был параллелен береговой линии.
  • 6. Найдите ширину реки АС = Н, если АВ = = 24 м, ED = = 30 м, АЕ = h = 4,5 м.
  • Решение:
  • по первому признаку подобия
  • ( по построению).
  • Отсюда
  • Подставив в формулу числа, данные в условии, получим:
  • Ответ: 18.
Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)
  • 7. Чтобы определить ширину АВ озера, вы нашли по компасу, что прямая АС уклоняется
  • к западу на , а ВС – к востоку на . Длина ВС = 68 м, АС = 35 м. Вычислить по
  • этим данным ширину озера.
  • Решение:
  • 1) В треугольнике АВС:
  • 2) Опускаем высоту АD, имеем
  • 3)
  • 4) Из треугольника АВD имеем:
  • Ответ: 49 м. (способ предложен в книге Я. И. Перельмана «Занимательная геометрия»)
  • !? Найдите более простой способ решения задачи.
Треугольники Решение заданий второй части (с практическим содержанием)
  • Нахождение расстояния до недоступной точки
  • 1 способ
  • основан на применении теоремы синусов и теоремы косинусов. На местности выбираем точку
  • В и измеряем длину с отрезка АВ. Измеряются углы А и В:
  • По теореме синусов находим искомое расстояние d:
  • Способ рассматривается в
  • учебнике п.100,
  • «Измерительные работы».
  • Задача № 1037.
  • 2 способ основан на использовании подобия треугольников
  • (рассматривается в учебнике, № 582).
Треугольники Решение заданий второй части (для самостоятельного решения)
  • 1. Определите высоту дерева (в метрах), изображённого на рисунке,
  • если рост человека 1,8 м, а в результате измерений получено:
  • ВС = 5м, СО = 0,9м.
  • 2. Для измерения высоты монумента нужно установить шест под прямым углом
  • выше роста наблюдателя на расстоянии от монумента. Затем отойти назад М
  • до той точки , с которой можно увидеть вершину М на одной линии с верхней
  • точкой шеста. Далее, стоя на том же месте, необходимо отметить на шесте
  • и на монументе 2 точки N и , лежащие на горизонтальной прямой. Найдите О
  • высоту монумента, если рост человека 1,8м,
  • 3. Для того, чтобы определить высоту СК = h здания, необходимо из точки А с К
  • помощью угломерных инструментов измерить угол α, под которым видна вершина
  • К здания, затем отойти на расстояние АВ = d, находясь в плоскости АСК, и изме –
  • рить угол β, под которым видна вершина К из точки В. - рост наблюда –
  • теля. Найдите высоту СК здания, если С А В
  • Указание:
Треугольники Решение заданий второй части (для самостоятельного решения)
  • 4. Для измерения ширины реки на её прямолинейном участке нужно
  • на берегу наблюдателя отметить 2 точки А и В на границе с водой и
  • измерить расстояние АВ = d между ними, а на противоположном бе – С
  • регу найти какой – либо ориентир, например, камень (точка С). Затем
  • с помощью угломерных инструментов следует измерить углы
  • . Найдите ширину CD = h реки, (CD AB), А В
  • Если . Указание: .
  • 5. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны
  • 1) Высота всегда образует с прямой, содержащей одну из сторон треугольника, прямой угол.
  • 2) В прямоугольном треугольнике высота может совпадать с одной из его сторон.
  • 3) Точка пересечения высот произвольного треугольника – центр окружности, описанной
  • около этого треугольника.
  • 4) Высота всегда делит треугольник на два треугольника равной площади.
  • 5) Высота может лежать и вне треугольника.
  • 6. На сторонах угла А отложены равные отрезки АВ = АС. Отрезки BD и СЕ проведены таким образом, что они пересекаются в точке О, лежащей на биссектрисе угла А, а точки Е и D лежат на отрезках АВ и АС соответственно. Докажите, что
  • ВЕ = CD.
Задания с развёрнутым свободным ответом
  • Используются во второй и третьей частях работы для проверки состояния более
  • сложных предметных умений – анализировать ситуацию, разрабатывать способ
  • решения, проводить математически грамотные рассуждения.
  • Характеризуя высокий уровень подготовки по предмету, как правило, выделяют
  • следующие его качества:
  • умение выполнять чертёж, соответствующий ситуации, представленной в условии задачи;
  • прочное владение системой знаний, указанных в школьной программе;
  • умение обосновывать сделанные выводы ссылкой на теоремы и определения;
  • умение строить логически верную цепочку доказательных рассуждений, шагов
  • решения , которые помогают прийти к требуемому выводу;
  • умение синтезировать информацию из различных разделов курса геометрии для решения поставленной проблемы;
  • умение математически грамотно записать решение задачи.
Треугольники Решение заданий второй части
  • 15. (с развёрнутым свободным ответом)
  • В треугольнике АВС биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке М. Отрезок
  • МЕ параллелен стороне ВС, отрезок МК параллелен стороне АВ (точки Е и К лежат
  • на АВ и ВС соответственно). Докажите, что ЕК перпендикулярен ВМ.
  • Доказательство:
  • 1) Четырёхугольник ВКМЕ – параллелограмм, т. к. МЕ || ВС, МК || АВ.
  • 2) ВМ – диагональ параллелограмма, которая делит его угол пополам,
  • значит, ВКМЕ – ромб по второму признаку.
  • 3) ЕК – диагональ ромба по свойству ромба,
  • что и требовалось доказать.
Треугольники Решение заданий третьей части
  • Основную трудность при решении задач третьей (иногда и второй) части
  • работы, обычно, вызывают две главные причины:
  • для рационального решения задачи нужно знать некоторые методы и приёмы решения, которые, либо не рассматриваются при изучении планиметрии, либо тщательно не отрабатываются;
  • в задачах представлены не самые знакомые конфигурации и для того, чтобы применить известные факты, нужно уметь увидеть отдельные опорные подзадачи.
Треугольники Решение заданий третьей части
  • (ГИА – 2008)
  • Найдите площадь остроугольного треугольника АВС, если известно, что медиана
  • , а .
  • B
  • Решение:
  • 1) В остроугольном треугольнике АВС основание Н высоты ВН
  • лежит на стороне АС.
  • В прямоугольном треугольнике АВН:
  • 2) Через точку М проведём прямую, параллельную прямой ВН и пересекающую сторону
  • АС в точке N.
  • Тогда по теореме Фалеса HN =NC.
  • Значит, отрезок MN является средней линией треугольника ВСН. Откуда имеем:
  • 3) В прямоугольном треугольнике AMN: AN = 5,
  • Поскольку AN > АН, то HN = AN -AH и HN =1. Поскольку АС =AN + NC, HN = NC, то АС =6.
  • 4)
  • Ответ: 12.
Треугольники Решение заданий третьей части
  • 2. (ГИА – 2008) Высоты треугольника пересекаются в точке Н, а медианы - в точке М.
  • Точка К – середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно,
  • что АВ = 12, СН = 6.
  • Решение:
  • По условию высоты треугольника АВС пересекаются, следовательно,
  • точка Н их пересечения расположена внутри этого треугольника.
  • Р 1) Пусть СР – высота, а BL – медиана - основания
  • перпендикуляров, проведённых из точек Н, К, М к прямой АС.
  • В прямоугольном треугольнике АРС:
  • 2) В прямоугольном катеты равны:
  • А
  • В прямоугольном равнобедренном катеты равны:
  • (по двум углам), и (по свойству медиан треугольника).
  • Отсюда
  • 4) Из теоремы Фалеса следует, что отрезок - средняя линия трапеции
  • 5) Поскольку
  • Ответ: 22,5.
Теорема косинусов
  • - не удовлетворяет смыслу задачи.
  • Ответ:
Теорема Пифагора