Презентация "10 способов решения квадратных уравнений" 8 класс


Подписи к слайдам:
Слайд 2

  • Автор проекта: Рылова Виктория
  • ученица 8Г класса МОУ СОШ №1
  • с углубленным изучением
  • отдельных предметов «Полифорум»
  • 10 способов решения
  • квадратных уравнений
  • Проект
  • Творческое название проекта
  • Маленькие хитрости решения квадратных уравнений
  • ДЕВИЗ: В математике большую роль играют маленькие хитрости.

  • Основополагающий вопрос проекта:
  • «Насколько разнообразны способы решения квадратных уравнений?»
  • Гипотеза:
  • Предполагаю, что квадратные уравнения можно решить несколькими разными способами
  • Цель:
  • Изучение теоретических основ и применение на практике различных способов решения квадратных уравнений

  • Задачи:
  • 1. Подобрать информацию по теме из письменных источников и сети Интернет
  • 2. Синтезировать информацию по плану
  • 3. Изучить различные способы решения квадратных уравнений и апробировать материал на практике
  • План работы:
  • Определение темы и цели проекта, формулирование темы исследования
  • Определение источника информации
  • Определение способа сбора и анализа информации
  • Определение способа представления результатов

Аннотация

  • Проект "Способы решения квадратных уравнений"   отражает результаты исследования, проведенного мной о том, какие существуют способы решения квадратных уравнений и что из этого можно взять полезного для себя и моих друзей.
  • Тема проекта связана с тем, чтобы, используя способы решения квадратных уравнений можно найти неизвестное об известном.
  • В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения.
  • Однако имеются и другие приёмы решения уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения.
  •    

  • Из истории квадратных уравнений
  • Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.
  • Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

  • Индийский ученый Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
  • ах2 + bх = с, а > 0
  • В уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта по существу совпадает с нашим.
  • Брахмагупта
  • Формулы решения квадратных уравнений были впервые изложены в книге, написанной итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (XIIIв.). х2 + bх = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г.
  • Леонардо Фибоначчи

  • Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
  • Жирар
  • Ньютон
  • Декарт
  • Все уравнения алгебры имеют столько решений, сколько их показывает наименование наивысшей величины.
  • Я мыслю, следовательно, существую.
  • Гений есть терпение мысли, сосредоточенной в известном направлении.
  • Все математики знали, что под алгеброй были скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти
  • Виет

  • Геометрический
  • способ решения
  • квадратных
  • уравнений
  • Решение
  • квадратных
  • уравнений
  • с помощью
  • номограммы
  • Решение
  • квадратных
  • уравнений
  • с помощью циркуля
  • и линейки
  • Решения
  • квадратных
  • уравнений
  • способом
  • «переброски»
  • Графическое
  • решение
  • квадратного
  • уравнения
  • Решение
  • уравнений
  • с использованием
  • теоремы Виета
  • Решение
  • квадратных
  • уравнений
  • по формуле
  • Метод
  • коэффициентов
  • Метод
  • выделения
  • полного квадрата
  • Разложение
  • левой
  • части уравнения
  • на множители
  • Различные
  • способы
  • решения
  • квадратных
  • уравнений

1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители

  • Решим уравнение
  • х2 + 10х - 24 = 0.
  • Разложим левую часть на множители:
  • х2 + 10х - 24 =
  • =(х + 12)(х - 2).
  • Следовательно,
  • (х + 12)(х - 2) = 0
  • Так как произведение равно нулю, то,
  • один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть
  • уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12.
  • Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями
  • уравнения х2 + 10х - 24 = 0.
  • Цель:
  • привести квадратное уравнение общего вида к виду
  • А(х)·В(х)=0, где А(х) и В(х) – многочлены относительно х.
  • Способы:
  • Вынесение общего множителя за скобки;
  • Использование формул сокращенного умножения;
  • Способ группировки.

2. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата.

  • Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0.
  • Выделим в левой части полный квадрат.
  • Преобразуем теперь левую часть уравнения
  • х2 + 6х - 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 9. Имеем:
  • х2 + 6х - 7 =
  • =х2 + 2• х • 3 + 9 - 9 - 7 =
  • = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.
  • Таким образом, данное уравнение можно записать так:
  • (х + 3)2 - 16 =0,
  • (х + 3)2 = 16.
  • Следовательно, х + 3 - 4 = 0, или х + 3 = -4
  • х1 = 1, х2 = -7.
  • Суть метода: привести квадратное уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению.

  • D >0
  • D =0
  • D<0
  • 2корня
  • Формулы корней:
  • 1корень
  • Нет корней
  • при b=2k;
  • 3
  • 3. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле
  • 1
  • 2

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

  • Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид
  • х2 + px + c = 0. (1)
  • Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид
  • x1 x2 = q,
  • x1 + x2 = - p
  • Отсюда можно сделать следующие выводы
  • (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).
  • Если (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p.
  • Если р < 0, то оба корня отрицательны.
  • Если р < 0, то оба корня положительны.

5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски».

  • При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат
  • Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.
  • «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение
  • у2 – 11у + 30 = 0.
  • Согласно теореме Виета у = 5, у =6, то х1 = 5/2, х = 6/2
  • Ответ: 2,5; 3.

6. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения

  • Пусть дано квадратное уравнение
  • ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.
  • Если, а+ b + с = 0 , то
  • Если b = a + c, то

7. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения

  • преобразуем уравнение
  • х2 + px + q = 0
  • х2 = - px - q.
  • Построим графики зависимости у = х2 и у = - px - q.
  • График первой зависимости - парабола, проходящая
  • через начало координат. График второй
  • зависимости - прямая (рис.1). Возможны следующие
  • случаи:
  • прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного
  • уравнения;
  • Прямая и
  • парабола могут
  • касаться ( только
  • одна общая
  • точка), т.е.
  • уравнение имеет
  • одно решение;
  • прямая и
  • парабола не
  • имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

  • ах2 + bх + с =0
  • Итак:
  • 1) построим точки (центр окружности) и A(0; 1);
  • 2) проведем окружность с радиусом SA;
  • 3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.
  • При этом возможны три случая.
  • 2)окружность касается оси Ох в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения.
  • 3) окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.
  • 1)окружность пересекает ось Ох в двух точках
  • В(х1;0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного
  • уравнения ах² + bх + с = 0.

9. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

  • Таблица XXII. с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990).
  • Номограмма для решения уравнения
  • z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет,
  • не решая квадратного уравнения,
  • по его коэффициентам определить корни уравнения.
  • Криволинейная шкала номограммы построена
  • по формулам (рис.11):
  • z2 + pz + q = 0,
  • причем буква z означает метку любой
  • точки криволинейной шкалы.

  • 10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений.
  • Как древние греки решали уравнение у2 + 6y – 16 = 0. Решение представлено на рисунке, где у2 + 6у = 16,
  • или у2 + 6 у + 9 = 16 + 9.
  • Выражения у2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6у 16 + 9 – 9 = 0 – одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = + 5 и у + 3 = – 5, или у =2, у2= –8
  • у2
  • 9
  • у
  • у
  • 3
  • 3

моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

  • моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.
  • данные приёмы решения заслуживают внимания, поскольку они не отражены в школьных учебниках математики;
  • овладение данными приёмами помогает мне экономить время и эффективно решать уравнения;
  • потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы выпускных экзаменов;
  • Выводы:

Заключение

  • «В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления»
  • В.П.Ермаков
  • Благодарю за внимание