Презентация "Практикум №8 по решению стереометрических задач"


Подписи к слайдам:
Презентация PowerPoint

  • Разработано учителем математики
  • МОУ «СОШ» п. Аджером
  • Корткеросского района Республики Коми
  • Мишариной Альбиной Геннадьевной
  • Практикум №8
  • по решению
  • стереометрических задач

  • Конус
  • в заданиях ЕГЭ

Содержание

  • Задача №1
  • Задача №2
  • Задача №3
  • Задача №4
  • Задача №5
  • Задача №6
  • Задача №7
  • Задача №8
  • Задача №9
  • Задача №10
  • Задача №11
  • Задача №12
  • Задача №13
  • Задача №14
  • Задача №15
  • Задача №16
  • Задача №17
  • Задача №18
  • Задача №19
  • Задача №20
  • Задача №21
  • Задача №22
  • Задача №23
  • Задача №24
  • Задача №25
  • Задача №26
  • Задача №27
  • Задача №28
  • Задача №29
  • Задача №30
  • Задача №31
  • Задача №32
  • Задачи для самостоятельного решения

Задача №1

  • Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 3 и 9, а второго — 6 и 9. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого?
  • Решение.
  • Т.к. площадь боковой поверхности конуса: S=πrl.
  • Значит S1= π·3·9= 27π, S2= π·6·9= 54π.
  • Тогда S2: S1= 54π : 27π = 2

Задача №2

  • Объём ко­ну­са равен 135. Через точку, де­ля­щую вы­со­ту ко­ну­са в от­но­ше­нии 1:2, счи­тая от вер­ши­ны, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная ос­но­ва­нию. Най­ди­те объём ко­ну­са, от­се­ка­е­мо­го от дан­но­го ко­ну­са про­ведённой плос­ко­стью.
  • От­но­ше­ние объ­е­мов ко­ну­сов равно кубу их ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. Вы­со­ты ко­ну­сов от­но­сят­ся как 1:3, по­это­му их объ­е­мы от­но­сят­ся как 1:27. Сле­до­ва­тель­но, объем от­се­ка­е­мо­го ко­ну­са равен 135 : 33 = 5.

К задаче №2

  • Объём конуса равен 32. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.
  • Решение.
  • Отношение объемов конусов равно кубу их коэффициента подобия k. Так как высоты конусов относятся как 1:2, то k равно одной второй, а значит объем отсекаемого конуса будет равен 32 : 2³ = 4.

Задача №3

  • Объём конуса равен 50π  а его высота равна 6 . Найдите радиус основания конуса.
  • Найдём ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са по фор­му­ле: V=1/3·πR²h
  • Откуда R²=3V:πh => R²= 150π : 6π = 25. Тогда R=5

Задача №4

  • Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза?
  • Объем ко­ну­са вычисляется по формуле V=1/3·Soc.·h .
  • Значит, если высоту увеличить в 3 раза, то и объём увеличится в 3 раза

Задача №5

  • Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 1,5 раза?
  • Объем конуса вычисляется по формуле
  • V=1/3·Soc.·h = 1/3·πR²·h.
  • Значит, если радиус основания увеличить в 1,5 раза, то и объём конуса увеличится в 2,25 раза

Задача №6

  • Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза?
  • Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле
  • S= πR·L, где L-образующая.
  • Значит если увеличить L в 3 раза, то площадь боковой поверхности конуса тоже увеличится в 3 раза

Задача №7

  • Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 1,5 раза, а образующая останется прежней?
  • Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле S= πR·L. Значит, если радиус основания уменьшится в 1,5 раза, то площадь боковой поверхности конуса тоже уменьшится в 1,5 раза.

Задача №8

  • Высота конуса равна 4, а диаметр основания — 6. Найдите образующую конуса.
  • По теореме Пифагора

Задача №9

  • Высота конуса равна 4, а длина образующей — 5. Найдите диаметр основания конуса.
  • По теореме Пифагора….
  • Ответ: 6.

Задача №10

  • Диаметр основания конуса равен 6, а длина образующей — 5. Найдите высоту конуса.
  • По теореме Пифагора….
  • Ответ: 4.

Задача №11

  • В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2  высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
  • Меньший конус подобен большему с коэффициентом 0,5. Объемы подоб­ных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем большего конуса в 8 раз больше объема меньшего конуса, он равен 560 мл. Следовательно, необходимо долить 560 − 70 = 490 мл жидкости.

Задача №12

  • В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2  высоты. Объём сосуда 1600 мл. Чему равен объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

Решение

  • Пусть х — высота налитой жидкости, у — радиус окружности в основании конуса. Тогда 2х — высота сосуда, 2у — радиус окружности в основании сосуда (так как поверхность жидкости отсекает от конического сосуда конус подобный данному). Найдем отношения объёмов конусов,
  • Таким образом, объём сосуда в 8 раз больше объёма налитой жидкости: 1600 : 8 = 200 

Задача №13

  • Объём конуса равен 96π, а его высота равна 8. Найдите радиус основания конуса.
  • Найдём радиус основания конуса из формулы: V=1/3·πR²h
  • Откуда R²=3V:πh =>

Задача №14

  • Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны, соответственно, 2 и 4, а второго — 6 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого?

Решение

  • Найдём площадь боковой поверхности первого конуса: S1=π·R1·L1 = π·2·4=8π
  • 2) Найдём площадь боковой поверхности второго конуса: S2=π·R2·L2 = π·6·8=48π
  • 3) Найдём отношение площадей этих конусов:
  • S2 : S1 = 48π : 8π = 6

Задача №15

  • Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 3√2.  Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение

  • Заметим, что конус и цилиндр имеют общую высоту и равные радиусы основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна Sб.п.= 2πR·h, но R=h следовательно Sб.п.= 2πR² и =3√2 => πR² =1,5√2
  • 2) Площадь боковой поверхности конуса равна S=πR·L, Но L² = R²+h², но R=h => L² = 2R² => L = R√2.
  • Значит Sб.п.= πR·L= πR· R√2 = πR²·√2 =
  • = 1,5√2·√2 = 3

Задача №16

  • Диаметр основания конуса равен 12, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.
  • Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого —это диаметр основания конуса, а высота совпадает с высотой конуса.
  • Но L² = R²+h² => h = √100-36=√64=8
  • Следовательно, площадь осевого сечения
  • равна 0,5 · 12 · 8 = 48.

Задача №17

  • Высота конуса равна 8, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.
  • Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого — диаметр основания конуса, а высота совпадает с высотой конуса.
  • Но L² = R²+h² => R=√100-64=√36=6
  • Следовательно, диаметр осевого сечения конуса равен 12, а площадь осевого сечения равна 0,5 · 12 · 8 = 48.

Задача №18

  •  Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью

Решние

  • Сечение плоскостью, параллельной основанию, представляет собой круг, радиус которого относится к радиусу основания конуса как 3 : 9. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь сечения в 9 раз меньше площади основания. Тем самым, она равна 2.

Задача №19

  • Площадь основания конуса равна 16π, высота — 6. Найдите площадь осевого сечения конуса.
  • Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, высота которого совпадает с высотой конуса, а основание является диаметром основания конуса. Поэтому площадь осевого сечения равна половине произведения высоты конуса на диаметр его основания или произведению высоты конуса на радиус основания R. Поскольку по условию πR²=16π, то            радиус основания конуса равен 4, а тогда искомая площадь осевого сечения равна 24.

Задача №20

  • Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен 10√2.   Найдите образующую конуса.
  • Высота конуса перпендикулярна основанию и равна радиусу сферы. Тогда по теореме Пифагора получаем:

Задача №21

  • Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.
  • Формулу для объёма шара:
  • V=4/3 ·πR³, а формула объёма конуса: V=1/3 ·πR³.
  • Значит объём конуса в 4 раза меньше объёма шара.
  • Тогда объём конуса равен 28 : 4 = 7

Задача №22

  • Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

Решение

  • Значит, в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, образующей и радиусом основания конуса, катет, равный радиусу, вдвое меньше гипотенузы. Тогда он лежит напротив угла 30°. Следовательно, угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°.

Задача №23

  • Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π .
  • Найдем образующую по теореме Пифагора:
  • L=√h²+R²=√16+9=√25=5
  • Площадь полной поверхности конуса

Задача №24

  • Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
  • Площадь боковой поверхности конуса равна

Задача №25

  • Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС  вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на π .
  • Треугольник  АВС– так же равнобедренный, т.к. углы при основании АВ равны 45°. Тогда радиус основания равен 6, и объем конуса, деленный на π:

Задача №26

  • Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.

Решение

  • В треугольнике, образованном радиусом основания r, высотой h и образующей конуса l, углы при образующей равны, поэтому высота конуса равна радиусу его основания: h = r. Тогда объем конуса, деленный на           вычисляется следующим образом:

Задача №27

  • Найдите объем конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30° . В ответе укажите V/π.
  • 30°

Решение

  • Высоту конуса найдем по свойству стороны прямоугольного треугольника, находящейся напротив угла в     30° – она вдвое меньше гипотенузы, которой в данном случае является образующая конуса. Радиус основания найдем по теореме Пифагора: R=√2²-1=√3

Задача №28

  • Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на π.
  • Радиус основания конуса r  равен половине
  • диагонали квадрата ABCD: r=√2/2·AB=2√2 
  • Тогда объем конуса, деленный на π :

Задача №29

  • Найдите объем V  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π .
  • Объем данной части конуса равен

Задача №30

  • Найдите объем V  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π .
  • Объем данной части конуса равен

Задача №31

  • Найдите объем V  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π .
  • Объем данной части конуса равен

Задача №32

  • Найдите объем V  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π .
  • Объем данной части конуса равен

  • Задачи
  • для самостоятельного решения

Задача №2 Решить самостоятельно

  • Объём конуса равен 27. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью. Ответ:1
  • Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. Ответ:2
  • Объем конуса равен 128. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Задача №3 Решить самостоятельно

  • Объём конуса равен  9π, а его высота равна 3 . Найдите радиус основания конуса. Ответ:3
  • Объём конуса равен  25π, а его высота равна 3 . Найдите радиус основания конуса. Ответ:5

Задача №4 Решить самостоятельно

  • Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 18,5 раза?
  • 2) Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 24 раза?
  • 3) Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 10 раз?

Задача №5 Решить самостоятельно

  • Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 40 раз?
  • 2) Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 22 раза?
  • 3) Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 31 раз?

Задача №6 Решить самостоятельно

  • Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 36 раз?
  • Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 11 раз?
  • Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 1,5 раза?

Задача №7 Решить самостоятельно

  • Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 8 раз, а образующая останется прежней?
  • 2) Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 36 раз, а образующая останется прежней?
  • 3) Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 21 раз, а образующая останется прежней?

Задача №8 Решить самостоятельно

  • Высота конуса равна 8, а диаметр основания — 30. Найдите образующую конуса. Ответ: 17
  • 2) Высота конуса равна 5, а диаметр основания — 24. Найдите образующую конуса. Ответ: 13
  • 3) Высота конуса равна 6, а диаметр основания — 16. Найдите образующую конуса. Ответ: 10

Задача №9 Решить самостоятельно

  • Высота конуса равна 72, а длина образующей — 90. Найдите диаметр основания конуса.
  • Ответ:108
  • 2) Высота конуса равна 21, а длина образующей — 75. Найдите диаметр основания конуса.
  • 3) Высота конуса равна 57, а длина образующей — 95. Найдите диаметр основания конуса.

Задача №10 Решить самостоятельно

  • Диаметр основания конуса равен 108, а длина образующей — 90. Найдите высоту конуса. Ответ: 72
  • 2) Диаметр основания конуса равен 42, а длина образующей — 75. Найдите высоту конуса. Ответ: 72
  • 3) Диаметр основания конуса равен 24, а длина образующей — 13. Найдите высоту конуса. Ответ: 5

Задача №11 Решить самостоятельно

  • В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/3  высоты. Объём жидкости равен 14 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Ответ: 364
  • 2) В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2  высоты. Объём жидкости равен 40 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Ответ: 280
  • 3) В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/4  высоты. Объём жидкости равен 6 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Ответ:

Задача №19 Решить самостоятельно

  • Площадь основания конуса равна 36π, высота —10. Найдите площадь осевого сечения конуса. Ответ:60
  • 2)

Задача №21 Решить самостоятельно

  • Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 116. Найдите объем конуса.
  • Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 160. Найдите объем конуса.
  • Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 132. Найдите объем конуса.

Задача №23 Решить самостоятельно

  • Радиус основания конуса равен 12, высота равна 16. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π .
  • 2) Радиус основания конуса равен 28, высота равна 21. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π .
  • 3) Радиус основания конуса равен 15, высота равна 36. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π .

Задача №24 Решить самостоятельно

  • Длина окружности основания конуса равна 6, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса. Ответ: 6
  • Длина окружности основания конуса равна 5, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
  • Длина окружности основания конуса равна 8, образующая равна 6. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Задача №25 Решить самостоятельно

  • Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС  вокруг катета, равного 15. Найдите его объем, деленный на π .
  • 2) Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС  вокруг катета, равного 120. Найдите его объем, деленный на π .
  • 3) Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС  вокруг катета, равного 60. Найдите его объем, деленный на π .

Задача №26 Решить самостоятельно

  • Диаметр основания конуса равен 66, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.
  • 2) Диаметр основания конуса равен 12, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.
  • 3) Диаметр основания конуса равен 36, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.

Задача №27 Решить самостоятельно

  • Найдите объем конуса, образующая которого равна 44 и наклонена к плоскости основания под углом 30° . В ответе укажите V/π. Ответ: 10 648
  • Найдите объем конуса, образующая которого равна 51 и наклонена к плоскости основания под углом 30° . В ответе укажите V/π.
  • Найдите объем конуса, образующая которого равна 34 и наклонена к плоскости основания под углом 30° . В ответе укажите V/π.

Задача №28 Решить самостоятельно

  • Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 3 и высотой 13. Найдите его объем, деленный на π. Ответ:19,5
  • Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 8 и высотой 12. Найдите его объем, деленный на π.
  • Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 9. Найдите его объем, деленный на π.

Задача №29 Решить самостоятельно

  • 1) Найдите объем V  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π .

Задача №30 Решить самостоятельно

  • Найдите объем V  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π .

Задача №31 Решить самостоятельно

  • Найдите объем V  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π .

Задача №32 Решить самостоятельно

  • Найдите объем V  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите V/π .

Используемые ресурсы

  • Шаблон подготовила учитель русского языка и литературы Тихонова Надежда Андреевна
  • «Решу ЕГЭ» Образовательный портал для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ. Режим доступа: http://mathb.reshuege.ru
  • http://sch-53.ru/files/director/GIA/2016/%D0%95%D0%93%D0%AD%202016.jpg
  • Автор и источник заимствования неизвестен
  • http://belmathematics.by/images/teorija/konys3.jpg
  • http://900igr.net/datai/geometrija/Konus-geometrija/0001-001-G-11-urok-1.png
  • http://www.k6-geometric-shapes.com/image-files/3d-t3-cone.jpg
  • http://900igr.net/datai/geometrija/Osnovy-stereometrii/0040-033-Obem-konusa.png
  • https://im1-tub-ru.yandex.net/i?id=72aa47f9b7dce12424f069f72b9a3c2a&n=33&h=215&w=158