Презентация "Математическое и имитационное моделирование"


Подписи к слайдам:
Математическое и имитационное моделирование

Математическое и имитационное моделирование

  • Лектор:
  • Цыганова Мария Сергеевна

1. Основные понятия теории моделирования

  • Общая характеристика методов и средств моделирования

Моделирование (в широком смысле) –

  • Моделирование (в широком смысле) –
  • основной метод исследований во всех областях знаний и научно обоснованный метод оценок характеристик сложных систем, используемый для принятия решений в различных сферах инженерной деятельности.

Модели, моделирование

  • Моделью (лат. modulus – мера) называется объект-заместитель, который в определенных условиях может заменять объект-оригинал, воспроизводя интересующие исследователя свойства оригинала.
  • Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием.

Моделирование – процесс исследования реальной системы, включающий

  • Моделирование – процесс исследования реальной системы, включающий
      • построение модели,
      • изучение свойств модели,
      • перенос полученных сведений на моделируемую систему.
  • По отношению к модели исследователь является экспериментатором (эксперимент проводится не с реальным объектом, а с его моделью).

Функции моделирования – описание, объяснение и прогнозирование поведения реальной системы.

  • Функции моделирования – описание, объяснение и прогнозирование поведения реальной системы.
  • Типовые цели моделирования:
    • поиск оптимальных или близких к оптимальным решений,
    • оценка эффективности решений,
    • определение свойств системы (чувствительности к изменению значений характеристик и др.),
    • установление взаимосвязей между характеристиками системы, и др.

Важно:

  • Важно:
  • модель является целевым отображением оригинала (создается под поставленную задачу и должна отражать свойства объекта, интересующие исследователя с точки зрения решения этой задачи)
  • один и тот же объект-оригинал может иметь множество моделей, построенных в соответствии с различными целями исследования.

Модель называется адекватной объекту, если результаты моделирования подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования процессов, протекающих в исследуемых объектах.

  • Модель называется адекватной объекту, если результаты моделирования подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования процессов, протекающих в исследуемых объектах.
  • Адекватность модели зависит от цели моделирования и принятых критериев.

Системный подход в моделировании систем

  • Классический (индуктивный) подход
  • рассматривает систему путем перехода от частного к общему;
  • синтезирует (конструирует) систему путем слияния ее компонент, разрабатываемых раздельно.
  • Системный подход предполагает последовательный переход от общего к частному:
  • в основе рассмотрения лежит цель;
  • исследуемый объект выделяется из окружающей среды.

Синтез модели на основе классического (индуктивного) подхода

  • Реальный объект, подлежащий моделированию, разбивается на отдельные подсистемы.
  • По отдельной совокупности исходных данных ставится цель моделирования отдельной стороны функционирования системы; на базе этой цели формируется некоторая компонента будущей модели.
  • Совокупность компонент объединяется в модель.
  • Модель
  • Данные
  • Данные
  • Данные
  • Данные
  • Данные
  • Цели
  • Цели
  • Компонента 1
  • Компонента n

Отдельные компоненты суммируются в единую модель; каждая из компонент решает свои собственные задачи и изолирована от других частей модели.

  • Отдельные компоненты суммируются в единую модель; каждая из компонент решает свои собственные задачи и изолирована от других частей модели.
  • Такой подход можно использовать для реализации сравнительно простых моделей, в которых возможно взаимно независимое рассмотрение отдельных сторон функционирования реального объекта.

Синтез модели на основе системного подхода

  • На основе исходных данных (из анализа реальной системы), ограничений (накладываются сверху или исходя из возможности реализации) и цели функционирования – исходные требования к модели системы.
  • На базе требований формируются ориентировочно некоторые подсистемы, элементы и осуществляется выбор составляющих системы (с использованием специальных критериев выбора).
  • Модель
  • Данные
  • Требования
  • к модели
  • Цель
  • Требования
  • к модели
  • Требования
  • к модели
  • Требования
  • к модели
  • Данные
  • П
  • о
  • д
  • с
  • и
  • с
  • т
  • е
  • м
  • ы
  • Критерии
  • выбора
  • Э
  • л
  • е
  • м
  • е
  • н
  • т
  • ы
  • Выбор
  • составля-
  • ющих
  • системы

При системном подходе к моделированию систем:

  • При системном подходе к моделированию систем:
  • прежде всего – четкое определение цели моделирования;
  • важно определение структуры системы – совокупности связей между элементами системы, отражающих их взаимодействие.

Классификация видов моделирования

  • Моделирование систем
  • Детерминированное
  • Статическое
  • Динамическое
  • Дискретное
  • Непрерывное
  • Дискретно-непрерывное
  • Абстрактное
  • Реальное
  • Стохастическое
  • Математическое
  • Символическое
  • Наглядное
  • Аналитическое
  • Имитационное
  • Комбинированное

Классификационный признак – средства построения модели.

  • Классификационный признак – средства построения модели.
  • Модели
      • материальные (реальные),
      • абстрактные (идеальные).
  • Абстрактные модели создаются посредством языка.
  • Неоднозначность естественного языка
  • для построения моделей – специализированные языки.
  • Материал для построения – средства окружающего материального мира
  • Конструкции, построенные средствами сознания, мышления

Если для создания модели используется язык математики, то модель называется математической.

  • Если для создания модели используется язык математики, то модель называется математической.
  • Математическое моделирование – процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта.
  • Описывает существенные характеристики системы с помощью математических выражений

Вид математической модели зависит от

  • Вид математической модели зависит от
    • природы реального объекта,
    • задач исследования объекта,
    • требуемой достоверности и точности решения задачи.

Аналитическая форма – запись модели в виде результата решения исходных уравнений модели.

  • Аналитическая форма – запись модели в виде результата решения исходных уравнений модели.
  • Может представлять собой явные выражения выходных переменных как функций входов и переменных состояния.
  • Характерно:
    • моделируется только функциональный аспект системы;
    • уравнения системы, описывающие закон (алгоритм) ее функционирования, записываются в виде аналитических соотношений (алгебраических, интегродифференциальных, конечноразностных и т. д.) или логических условий.

Аналитическая модель может быть исследована методами:

  • Аналитическая модель может быть исследована методами:
      • аналитическим
        • получение в общем виде явных зависимостей, связывающих искомые характеристики с начальными условиями, параметрами и переменными состояния системы;
      • численным
        • получение числовых результатов при конкретных начальных данных;
      • качественным
        • не имея решения в явном виде, определение некоторых свойств этого решения (например, оценка устойчивости).

Для реализации математической модели на ЭВМ необходимо построить соответствующий моделирующий алгоритм.

  • Для реализации математической модели на ЭВМ необходимо построить соответствующий моделирующий алгоритм.
  • Алгоритмическая форма – запись соотношений модели и выбранного метода решения в форме алгоритма.
    • Важный класс – имитационные модели, предназначенные для имитации физических или информационных процессов при различных внешних воздействиях.

Имитационное моделирование.

  • Имитационное моделирование.
  • Воспроизводится алгоритм функционирования системы во времени; имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности.
  • Исходные данные
  • Сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени,
  • оценка характеристик системы

Основное преимущество по сравнению с аналитическим моделированием – возможность решения более сложных задач.

  • Основное преимущество по сравнению с аналитическим моделированием – возможность решения более сложных задач.
  • Имитационные модели позволяют учитывать:
    • наличие дискретных и непрерывных
    • элементов,
    • нелинейные характеристики элементов
    • системы,
    • случайные воздействия и др.
  • В настоящее время это наиболее эффективный метод исследования сложных систем.
  • Создают трудности при аналитических исследованиях

Позволяет решать задачи оценки

  • Позволяет решать задачи оценки
    • вариантов структуры системы,
    • эффективности различных алгоритмов управления системой,
    • влияния изменения различных параметров системы.
  • Имитационное моделирование может быть положено в основу структурного, алгоритмического и параметрического синтеза сложных систем (создание системы с заданными характеристиками при определенных ограничениях, оптимальной по некоторым критериям оценки эффективности).

Комбинированное (аналитико-имитационное) моделирование.

  • Комбинированное (аналитико-имитационное) моделирование.
  • Объединение достоинств аналитического и имитационного моделирования:
    • предварительная декомпозиция процесса функционирования объекта на составляющие подпроцессы;
    • для тех подпроцессов, где это возможно, – использование аналитических моделей, для остальных – построение имитационных моделей.

Классификационный признак – характер

  • Классификационный признак – характер
  • изучаемых процессов.
  • Моделирование:
    • Детерминированное – отображает детерминированные процессы (предполагается отсутствие случайных воздействий).
    • Стохастическое – отображает вероятностные процессы и события.
      • Анализируется ряд реализаций случайного процесса и оцениваются средние характеристики.

Классификационный признак – тип значений параметров модели.

  • Классификационный признак – тип значений параметров модели.
  • Моделирование:
    • Дискретное – для описания систем, изменение состояния которых происходит не непрерывно, а в дискретные моменты времени, по принципу «от события к событию».
    • Непрерывное – для описания непрерывных процессов в системах.
    • Дискретно-непрерывное.

Классификационный признак – зависимость характеристик модели от времени.

  • Классификационный признак – зависимость характеристик модели от времени.
  • Моделирование:
    • Статическое – характеристики модели не зависят от времени.
    • Динамическое – характеристики модели зависят от времени.
      • Динамическая модель отражает поведение объекта во времени.

Характеристики моделей систем

  • Помимо принадлежности к одному из перечисленных классов, модели могут иметь ряд характеристик.
  • Цель функционирования.
  • Модели
      • одноцелевые – предназначены для решения одной задачи;
      • многоцелевые – позволяют разрешить или рассмотреть ряд сторон функционирования реального объекта.
  • Сложность, которую можно оценить по общему числу элементов в системе и связей между ними.

Неопределенность, которая проявляется в системе:

  • Неопределенность, которая проявляется в системе:
    • по состоянию системы,
    • возможности достижения поставленной цели,
    • методам решения задач,
    • достоверности исходной информации и т. д.
  • Основная характеристика неопределенности – энтропия. В ряде случаев позволяет оценить количество управляющей информации, необходимой для достижения заданного состояния системы.

Адаптивность.

  • Адаптивность.
  • Существенно:
    • возможность адаптации модели в широком спектре возмущающих воздействий;
    • изучение поведения модели в изменяющихся условиях, близких к реальным.
  • Важно: вопрос устойчивости модели к различным возмущающим воздействиям.

Управляемость модели.

  • Управляемость модели.
  • Вытекает из необходимости обеспечивать управление (со стороны экспериментатора) для изучения протекания процесса в различных условиях, имитирующих реальные.
  • В этом смысле
  • наличие многих управляемых параметров модели дает возможность поставить широкий эксперимент и получить обширный спектр результатов.

Возможность развития модели.

  • Возможность развития модели.
  • Необходима возможность развития модели
    • по горизонтали – расширение спектра изучаемых функций,
    • по вертикали – расширение числа подсистем.

Методы и средства математического моделирования

  • Исторически первый – аналитический метод исследования систем.
  • ЭВМ используется в качестве вычислителя по аналитическим зависимостям.

Появление современных ЭВМ,

  • Появление современных ЭВМ,
  • успехи в создании новых математических методов решения задач управления в больших системах
  • широкое внедрение аналитических методов в исследование сложных систем.
  • ?

Необходимость учета

  • Необходимость учета
    • стохастических свойств системы,
    • недетерминированности исходной
    • информации,
    • наличия корреляционных связей
    • между большим числом переменных
    • и параметров.
  • Выход:
  • при исследовании больших систем – применение методов имитационного моделирования.
  • Построение сложных математических моделей или принятие упрощающих предположений
  • Невозможность применения в инженерной практике

Перспективность имитационного метода возрастает с повышением технических характеристик ЭВМ и внешних устройств, развитием математического обеспечения

  • Перспективность имитационного метода возрастает с повышением технических характеристик ЭВМ и внешних устройств, развитием математического обеспечения
  • появление «чисто машинных» методов решения задач исследования больших систем на основе организации имитационных экспериментов с их моделями.
  • Не только анализ характеристик систем, но и решение задач структурного, алгоритмического и параметрического синтеза при заданных критериях оценки эффективности и ограничениях

Наиболее конструктивное средство решения инженерных задач на базе моделирования – ЭВМ

  • Наиболее конструктивное средство решения инженерных задач на базе моделирования – ЭВМ
    • универсальные – предназначены для выполнения расчетных работ,
    • управляющие – позволяют производить управление объектами в реальном масштабе времени и выполнение расчетов.
  • Два основных пути использования ЭВМ:
    • как средство расчета по аналитическим моделям;
    • как средство имитационного моделирования.

Для известной аналитической модели:

  • Для известной аналитической модели:
  • расчет характеристик системы по заданным математическим соотношениям при подстановке числовых значений.
  • Могут быть использованы:
    • ЭВМ.
      • Разрабатывается алгоритм расчета, в соответствии с которым составляются программы.
      • Задача исследователя – описать поведение реального объекта одной из известных математических моделей.
    • АВМ.
      • С одной стороны, ускоряется процесс решения задачи, с другой стороны, могут возникать погрешности (дрейф параметров отдельных блоков АВМ, ограниченная точность задания входных параметров и т. п.).

Перспективно использование ГВК (гибридных вычислительных комплексов):

  • Перспективно использование ГВК (гибридных вычислительных комплексов):
  • сочетание
      • высокой скорости функционирования аналоговых средств
      • и
      • высокой точности расчетов на базе цифровых средств вычислительной техники (плюс контроль проведения операций).

Технические средства воплощения имитационной модели:

  • Технические средства воплощения имитационной модели:
  • ЭВМ, АВМ и ГВК.
  • Имитационная модель задается в виде совокупности отдельных блочных моделей и связей между ними.
  • Реализуется имитационная система – средство проведения машинного эксперимента (позволяет исследовать имитационную модель)

Основные группы блоков:

  • Основные группы блоков:
    • блоки, характеризующие моделируемый процесс функционирования системы S;
    • блоки, отображающие внешнюю среду Е и ее воздействие на реализуемый процесс;
    • блоки, играющие служебную вспомогательную роль (взаимодействие первых двух), и выполняющие дополнительные функции по получению и обработке результатов моделирования.
  • Имеется также набор переменных для управления изучаемым процессом и набор начальных условий для изменения условий проведения машинного эксперимента

Роль исследователя в процессе моделирования

  • Постановка задачи,
  • построение содержательной модели реального объекта
    • Нет формальных путей выбора оптимального вида модели;
    • часто отсутствуют формальные методы, позволяющие достаточно точно описать реальный процесс.
  • Выбор математического аппарата моделирования – на основе опыта и квалификации исследователя.
  • Во многом творческий процесс

Средства вычислительной техники используются для

  • Средства вычислительной техники используются для
    • вычислений при аналитическом моделировании,
    • реализации имитационной модели системы.
  • Могут лишь помочь с точки зрения эффективности реализации сложной модели, но не позволяют подтвердить правильность той или иной модели.

2. Математические методы моделирования

  • Обзор основных подходов

Исходная информация при построении математической модели функционирования системы – данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S.

  • Исходная информация при построении математической модели функционирования системы – данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S.
    • Основная цель моделирования системы;
    • требования к разрабатываемой математической модели М.

Этапы построения математической модели

  • 1. Содержательное описание моделируемого объекта
  • Исходя из цели исследования устанавливаются
      • совокупность элементов,
      • взаимосвязи между элементами,
      • возможные состояния каждого элемента,
      • существенные характеристики состояний и соотношения между ними.
  • Например, фиксация того, что если значение одного параметра возрастает, то значение другого – убывает

В этом словесном описании возможны логические противоречия, неопределенности.

  • В этом словесном описании возможны логические противоречия, неопределенности.
  • Такое предварительное представление системы называется концептуальной моделью.
  • На данном этапе применяются качественные методы описания систем, знаковые и языковые модели.

2. Формализация

  • 2. Формализация
    • На основе содержательного описания определяется исходное множество характеристик системы.
    • После исключения несущественных характеристик выделяются управляемые и неуправляемые параметры и производится символизация.
    • Определяется система ограничений на значения управляемых параметров.
    • Если ограничения не носят принципиальный характер, то ими пренебрегают.
    • Формируются критерий эффективности и целевая функция модели.

При переходе от содержательного к формальному описанию объектов исследования –

  • При переходе от содержательного к формальному описанию объектов исследования –
  • наибольшие затруднения и наиболее серьезные ошибки моделирования.
  • Как правило, процесс итеративный.

Формальная модель объекта

  • Модель системы S можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы:
    • совокупность входных воздействий на систему
    • совокупность воздействий внешней среды
    • совокупность внутренних (собственных) параметров системы
    • совокупность выходных характеристик системы

В общем случае подмножества X, V, H и Y

  • В общем случае подмножества X, V, H и Y
    • не пересекаются;
    • содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие;
    • включают управляемые и неуправляемые переменные.
  • При моделировании системы
    • входные воздействия,
    • воздействия внешней среды,
    • внутренние параметры системы;
    • выходные характеристики системы – зависимые (эндогенные) переменные.
  • Независимые (экзогенные) переменные

Процесс функционирования системы S

  • Процесс функционирования системы S
  • описывается во времени оператором FS
  • (преобразует экзогенные переменные в эндогенные) в соответствии с соотношениями вида
  • где
  • (1)
  • Выходная траектория

Зависимость (1) называется законом функционирования системы S.

  • Зависимость (1) называется законом функционирования системы S.
  • Может быть задан:
    • в виде функции;
    • в виде функционала;
    • в виде логических условий;
    • в алгоритмической форме;
    • в табличной форме;
    • в виде словесного правила соответствия.

Метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий воздействий внешней среды и собственных параметров системы называется алгоритмом функционирования AS.

  • Метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий воздействий внешней среды и собственных параметров системы называется алгоритмом функционирования AS.
  • Один и тот же закон функционирования FS системы S может быть реализован с помощью множества различных алгоритмов функционирования AS.

Математические модели вида (1) называют динамическими моделями (системами).

  • Математические модели вида (1) называют динамическими моделями (системами).
  • Статические модели описываются соотношениями вида
  • Являются описанием поведения объекта во времени (отражают его динамические свойства)
  • (2)

Множество значений характеристик системы S в конкретные моменты времени будем называть состояниями системы.

  • Множество значений характеристик системы S в конкретные моменты времени будем называть состояниями системы.
  • Состояние системы S в момент времени t описывается вектором
  • (значения характеристик) могут быть интерпретированы как координаты точки в k-мерном фазовом пространстве.

Процесс функционирования системы можно рассматривать как последовательную смену состояний

  • Процесс функционирования системы можно рассматривать как последовательную смену состояний
  • Каждой реализации процесса соответствует некоторая фазовая траектория.
  • Совокупность всех возможных значений состояний называется пространством состояний Z объекта моделирования.

Состояние системы в момент времени t*,

  • Состояние системы в момент времени t*,
  • t0 < t*T, определяется:
      • начальными условиями
        • где
      • входными воздействиями
      • внутренними параметрами
      • воздействиями внешней среды
  • с помощью уравнений
  • (4)
  • (3)
  • на промежутке [ t0, t* )

Уравнения (3)–(4) –

  • Уравнения (3)–(4) –
  • уравнения «вход – состояние – выход».
  • Можно записать в виде
  • Таким образом:
  • математическая модель объекта (реальной системы) – это конечное подмножество переменных
  • вместе с математическими связями между ними и характеристиками
  • (5)

Если можно считать, что стохастические воздействия внешней среды и стохастические внутренние параметры отсутствуют, то модель называется детерминированной:

  • Если можно считать, что стохастические воздействия внешней среды и стохастические внутренние параметры отсутствуют, то модель называется детерминированной:
  • характеристики однозначно определяются входными воздействиями
  • (6)

3. Проверка адекватности модели

  • 3. Проверка адекватности модели
  • Предварительная проверка по основным аспектам (выявление грубых ошибок).
    • Все ли существенные параметры включены в модель?
    • Нет ли в модели несущественных параметров?
    • Правильно ли отражены функциональные связи между параметрами?
    • Правильно ли определены ограничения на значения параметров?
  • Желательно привлечение специалистов, не принимавших участия в разработке модели

Реализация модели и проведение исследований: анализ результатов моделирования на соответствие известным свойствам исследуемого объекта.

  • Реализация модели и проведение исследований: анализ результатов моделирования на соответствие известным свойствам исследуемого объекта.
  • Установление соответствия модели оригиналу:
    • сравнение результатов моделирования с отдельными экспериментальными результатами, полученными при одинаковых условиях;
    • использование других моделей;
    • сопоставление структуры и функционирования модели с прототипом.

По результатам проверки принимается решение

  • По результатам проверки принимается решение
  • о возможности практического использования модели
  • или
  • о проведении ее корректировки.

4. Корректировка модели

  • 4. Корректировка модели
  • Возможно уточнение
      • существенных параметров,
      • ограничений на значения управляемых параметров,
      • показателей исхода операции,
      • связи показателей исхода операции с существенными параметрами,
      • критерия эффективности.
  • После внесения изменений – снова оценка адекватности.

5. Оптимизация модели

  • 5. Оптимизация модели
  • Суть – в упрощении модели при заданном уровне адекватности.
  • Основные показатели, по которым выполняется оптимизация, – время и затраты средств для проведения исследований на модели.
  • В основе – преобразование моделей из одной формы в другую.
  • С использованием математических методов
  • или эвристическим путем

Рекомендации по уменьшению сложности модели.

  • Рекомендации по уменьшению сложности модели.
  • Уменьшение числа переменных, достигаемое исключением несущественных переменных либо их объединением.
    • Процесс преобразования модели в модель с меньшим числом переменных и ограничений называют агрегированием.
  • Изменение природы переменных параметров.
    • Замена переменных параметров постоянными, дискретных – непрерывными и т. д.

Изменение функциональной зависимости между переменными.

  • Изменение функциональной зависимости между переменными.
    • Замена нелинейной зависимости линейной, дискретной функции распределения вероятностей – непрерывной и т. д.
  • Изменение ограничений (добавление, исключение, модификация).
  • Ограничение точности модели.
    • Точность результатов не может быть выше точности исходных данных.

Математические схемы

  • Математическая схема – звено при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды.
  • Описательная модель
  • Математическая схема
  • Математическая (аналитическая и/или имитационная) модель

Математические схемы:

  • Математические схемы:
      • простота и наглядность,
      • но
      • при существенном сужении возможностей применения.

Типовые схемы

  • Основные подходы:
    • непрерывно-детерминированный (например, дифференциальные уравнения);
    • дискретно-детерминированный (конечные автоматы);
    • дискретно-стохастический (вероятностные автоматы);
    • непрерывно-стохастический (системы массового обслуживания);
    • обобщенный или универсальный (агрегативные системы).