Презентация "Похідна та її застосування" скачать


Презентация "Похідна та її застосування"

Подписи к слайдам:
  • Похідна та її застосування
  • Математику вже тому вивчати
  • потрібно, що вона розум до
  • порядку приводить ! ”
  • М. Ломоносов
  • Похідна – одне з фундаментальних понять математики.
  • Відкриттю похідної та основ диференціального числення передували роботи французьких математиків П’єра Ферма (1601-1665), який у 1629 р. запропонував способи знаходження найбільших і найменших значень функцій, проведення дотичних до довільних кривих, що фактично спиралися на застосування похідних, а також Рене Декарта (1596-1650), який розробив метод координат і основи аналітичної геометрії.
  • Наука, що на сьогодні називається математичним аналізом, виникла в працях багатьох видатних математиків XVII століття - спочатку у вигляді окремих теорем та методів розв'язування деяких задач.
  • До кінця XVII століття основні положення цієї нової для того часу науки остаточно оформилися (причому одночасно) в роботах двох найвизначніших учених тієї епохи - англійського фізика та математика Ньютона та німецького математика і філософа Лейбніца.
  • У 1670-1671рр. англійський математик і механік Ісаак Ньютон (1643-1727) і дещо пізніше у 1673-1675 рр. німецький філософ і математик Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646 – 1716 ) незалежно один від одного побудували теорію диференціального числення .
  • Історична довідка про похідну
  • Ньютон прийшов до поняття похідної, розв’язуючи задачі про миттєву швидкість, а Лейбніц – розглядаючи геометричну задачу про проведення дотичної до кривої. Термін «похідна» ввів у 1797 р. французький математик Жозеф Луї Лагранж (1736 – 1813 ). Він ввів і сучасні позначення для похідної у вигляді yʹ та fʹ.
  • Велику роль у розвитку диференціального числення відіграв видатний математик, фізик, механік і астроном Леонард Ейлер, який написав підручник « Диференціальне числення» (1755 р.).
  • За допомогою диференціального числення було розв’язано багато задач теоретичної механіки, фізики, астрономії. Зокрема, використовуючи методи диференціального числення, вчені передбачили повернення комети Галлея, що стало тріумфом науки XVIII ст.
  • Історична довідка про похідну
  • Готфрід Вільгельм Лейбніц
  • Ключовими поняттями математичного аналізу є поняття функції, границі, похідної та інтеграла.
  • Термін „функція" вперше запропонував у 1692 р. Готфрід Вільгельм Лейбніц для характеристики відношення відрізків, а перше означення функції, яке вже не було пов'язане з геометричними уявленнями, сформулював Йоган Бернуллі (1667-1748) у 1718 р. Уточнив це поняття Леонард Ейлер (1707-1783) і ввів символ функції f(x).
  • Термін „границя" і відповідний символ lim вперше було введено Ісааком Ньютоном, а його строге означення сформулював у 1823 р. французький математик Огюстен Луї Коші (1789-1857).
  • Історична довідка про похідну
  • Ісаак Ньютон
  • Поняття похідної – фундаментальне поняття математичного аналізу, за допомогою якого досліджують процеси і явища в природничих, соціальних і економічних науках. Вивчення різних процесів (механічного руху, хімічних реакцій, розширення рідини при нагрівання, значення електричного струму та ін.) проводять до необхідності обчислення швидкості зміни різних величин, тобто до поняття похідної.
  • Нехай задано функцію y=ƒ(x) на деякому проміжку. Візьмемо довільну внутрішню точку x0 даного проміжку, надамо значенню x0 довільного приросту Δx, але такого, щоб точка x0 + Δx належала даному проміжку, тоді
  • Обчислимо в точці x0 приріст Δy= Δƒ(x0) функції:
  • Складемо відношення:
  • Означення похідної
  • Знайдемо границю цього відношення при умові, що Δx →0, тобто:
  • Якщо дана границя існує, то її називають похідною функції y=ƒ(x) в точці x0 і позначають ƒʹ(x0) або yʹ.
  • Похідною функції y=ƒ(x) в точці x0 називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу при умові, що приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує, тобто
  • Означення похідної
  • Таблиця похідних
  • Приклади знаходження похідних
  • Приклад 1.
  • Приклад 2.
  • Приклад 3.
  • Правила диференціювання
  • Приклади диференціювання
  • Приклад 1.
  • Приклад 2.
  • Приклад 3.
  • Похідна складеної функції
  • Приклад 1.
  • Приклади знаходження похідних
  • Приклад 2.
  • Приклад 3.
  • Приклад 4.