Презентация "Исходные понятия теории множеств" 11 класс

Исходные понятия теории множеств

• ГБПОУ Уфимский многопрофильный профессиональный колледж
• Преподаватель математики
• Сагадатова Гульназ Фармутовна
• Урок по математике в 11 классе.

Содержание

• Понятие множества.
• Конечные, бесконечные множества.
• Способы задания множеств.
• Операции над множествами.
• Диаграммы Эйлера-Венна.
• Примеры для закрепления.

Дискретная математика — часть математики, изучающая дискретные математические структуры, такие, как графы и утверждения в логике.

• Дискретная математика — часть математики, изучающая дискретные математические структуры, такие, как графы и утверждения в логике.
• В контексте математики в целом дискретная математика часто отождествляется с конечной математикой — направлением, изучающим конечные структуры — конечные графы, конечные группы, конечные автоматы

Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором (1845-1918). Следуя Кантору, понятие «множество» можно определить так:

• Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором (1845-1918). Следуя Кантору, понятие «множество» можно определить так:
• Множество - совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое. Объекты, составляющие множество, называются элементами множества.

Множества обычно обозначаются заглавными латинскими буквами.

• Множества обычно обозначаются заглавными латинскими буквами.
• Если элемент x принадлежит множеству A, то это обозначается:
• хА

• Если каждый элемент множества B является также и элементом множества A, то говорят, что множество B является подмножеством множества A или включается в него: BA.

• Например, множество всех четных чисел является подмножеством множества всех целых чисел, а множество {0,1,2} – подмножеством множества {0,1,2,3}.

Пустое множество

• Среди множеств выделяют особое множество - пустое множество. Пустое множество- множество, не содержащее ни одного элемента.
• Необходимость рассмотрения пустого множества видна из того, что когда мы определяем тем или иным способом множество, то мы можем и не знать заранее, содержит ли оно хотя бы один элемент.
• Например, вероятно, множество страусов, находящихся в данный момент за Полярным кругом, пусто; однако мы не можем этого утверждать с уверенностью, т.к. может быть какой-нибудь капитан и завез какого-нибудь страуса за Полярный круг.

Пустое множество является частью любого множества.

• Пустое множество является частью любого множества.
• Это множество настолько важное, что для него даже придумали особый символ: 
• Символ для пустого множества только один, потому что пустое множество единственно.
• В самом деле, предположим, что существуют два разных пустых множества. Но что значит, что множества разные? Это значит, что в одном из них найдется элемент, который не принадлежит другому. Но в пустых множествах вообще элементов нет!

Определенные, конечные, бесконечные множества

• Множество считается определенным, если указаны все его элементы.
• Конечное множество - множество, состоящее из конечного числа элементов.
• Основной характеристикой конечного множества является число его элементов. Теория конечных множеств изучает правила: как, зная количество элементов некоторых множеств, вычислить количество элементов других множеств, которые составлены из первых с помощью некоторых операций.
• Бесконечное множество - непустое множество, не являющееся конечным.

Пример

• Множество натуральных чисел является бесконечным.
• Упорядоченное множество - множество, каждому элементу которого поставлено в соответствие некоторое число (номер этого элемента) от 1 до n, где n - число элементов множества, так что различным элементам соответствуют различные числа.
• Каждое конечное множество можно сделать упорядоченным, если, например, переписать все элементы в некоторый список (a, b, c, d,...), а затем поставить в соответствие каждому элементу номер места, на котором он стоит в списке.

Способы задания множеств

• Пример: Множество учеников данного класса определяется их списком в классном журнале.
• Пример: Хотя множество всех рыб в океане конечно, вряд ли его можно задать списком.
• В тех случаях, когда множество нельзя задать при помощи списка, его задают путем указания некоторого характеристического свойства. Свойство является характеристическим для некоторого множества, если этому множеству принадлежат в точности те элементы, которые обладают данным свойством.
• Пример: Свойство "быть квадратом целого числа" задает (бесконечное) множество всех квадратов целых чисел.

Множества А и В равны, если они состоят из одних и тех же элементов.

• Множества А и В равны, если они состоят из одних и тех же элементов.
• Равенство множеств А и В записывают в виде А=В. Отношение "=" называется отношением равенства.
• Множество А называют подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В.
• То, что множество А является подмножеством множества В обозначают так АВ
• Данное отношение называется отношением включения.
• Таким образом, подмножеством данного множества В является и само множество В.
• Пустое множество, по определению, считают подмножеством всякого множества.

На диаграмме Эйлера-Венна

• утверждение "множество А является подмножеством множества В" изображают так

Основные теоретико-множественные операции

• 1. Объединение
• 2. Пересечение
• 3. Разность
• 4. Дополнение.

Объединение

• Объединением двух множеств называется новое множество

• Суммой, или объединением произвольного конечного или бесконечного множества
• множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В.

Пересечение

• Пересечением любого конечного или бесконечного множества множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

• Пересечением двух множеств называется новое множество

Разность

• Разностью между множеством В и множеством А называется множество всех элементов из В, не являющихся элементами множества А.

• Разностью двух множеств называется новое множество

Дополнение

• Если класс объектов, на которых определяются различные множества обозначить (Универсум), то дополнением множества называют разность

• Примеры для закрепления

Литература

• Гладков, Л.А. Дискретная математика / Л.А. Гладков, В.В. Курейчик, В.М. Курейчик. - М.: Физматлит, 2014. - 496 c.
• Спирина М.С., Спирин П.А. Дискретная математика. – М.: Издательский центр «Академия», 2011.