Задачи по стереометри


Задачи по стереометрии
1. Осевым сечением конуса является треугольник со сторонами 14 см, 25 см и 25 см. Найдите
объем конуса (в куб. см)
А) 392 B) 196 C)
448
3
D)
446
3
E)
392
3
2. В прямоугольном параллелепипеде с длинами основания 5 см и 12 см его диагональ наклонена
к плоскости основания под углом 30. Найдите объем параллелепипеда (в куб. см)
А)
3260
B)
3390
C) 390 D)
3780
E) 780
3. Если сфера проходит через все вершины прямоугольного параллелепипеда с ребрами 1 см, 2 см и
2 см, то объем шара (в куб. см), ограниченного этой сферой, равен
А) 3 B) 3,5 C) 4 D) 4,5 E) 5
4. Если диагональ куба равна 12 см, то площадь сферы, касающейся всех граней этого куба, равна
А)
32 2
B)
18 6
C)
24 3
D)
36 2
E) 48
5. В правильной шестиугольной пирамиде с высотой 18 см апофема наклонена к плоскости
основания под углом
60
. Найдите (в см ) длину стороны основания пирамиды.
А) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18
6. Если сфера касается всех граней правильной треугольной призмы, а ребро основания призмы
равно 1, то радиус сферы равен
А)
3
2
B)
3
3
C)
3
4
D)
3
5
E)
3
6
7. Шар радиуса 18 см рассечен двумя параллельными плоскостями, расстояние между которыми
10 см. Одна плоскость проходит через центр шара. Определите см) радиус круга,
образовавшегося в сечении шара другой плоскостью
А)
B)
C)
143
D)
145
E)
8. В правильной усеченной шестиугольной пирамиде сумма периметров оснований равна 84 см,
длина бокового ребра равна 9 см, синус угла между боковым ребром и прилежащей к нему
стороной основания равен
5
9
. Найдите площадь боковой грани этой пирамиды (в кв. см)
А) 31 B) 32 C) 33 D) 34 E) 35
9. В усеченной пирамиде с объемом 475 см³ и высотой 15 см площади оснований относятся
как 4 : 9. Найдите площадь (в кв. см) большего основания пирамиды.
А) 20 B) 25 C) 30 D) 40 E) 45
10. В цилиндре сечение площадью
14 3
см², параллельное оси, отсекает от окружности основания
дугу в
120
. Найдите площадь (в кв. см) боковой поверхности цилиндра.
А) 14 B) 28 C) 36 D) 42 E) 56
11. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде длины сторон основания равны 3 см и 5 см,
длина бокового ребра равна
17
. Найдите площадь кв. см) полной поверхности этой
пирамиды.
А) 64 B) 68 C) 76 D) 92 E) 98
12. Все вершины правильной четырехугольной пирамиды с боковым ребром 4 см и высотой 2 см
находятся на сфере. Найдите (в кв. см) площадь сферы.
А) 60 B) 62 C) 64 D) 66 E) 68
13. В правильной треугольной пирамиде с высотой 6 см апофема наклонена к плоскости основания
под углом
30
. Найдите (в см) радиус окружности, описанной около основания
А)
14 3
B)
12 3
C)
10 3
D)
83
E)
63
14. Чему равен объем тела, полученного вращение прямоугольного треугольника с катетами 3 и 1
вокруг гипотенузы?
А)
6
5
B)
3
10
C)
18
5
D)
9
10
E)
35
15. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 3, а угол между боковой гранью и
плоскостью основания
30
. Чему равен объем пирамиды?
А)
3
8
9
B)
9
16
C)
9
8
D)
33
4
E)
33
8
16. В правильной треугольной пирамиде сторона основания 4, а боковое ребро 3. Найдите угол
между боковыми гранями пирамиды
А)
2
3
B)
3
C)
1
9
arcsin
D)
1
10
arcsin
E)
1
10
arccos
17. Найдите радиус шара, описанного около конуса с высотой
32
и образующей 6.
А)
92
4
B)
92
2
C) 2 D) 4 E)
42
18. В прямой призме
ABCA B C
с боковыми ребрами
AA
,
BB
и
CC
АВ=ВС=3, СА=4,
5AA
.
Найдите угол между прямой
AB
и плоскостью
AA C C

.
А)
3
5
arctg
B)
5
5
arctg
C)
5
5
arcctg
D)
5
34
arcsin
E)
5
34
arccos
19. Найдите площадь полной поверхности прямой треугольной призмы высоты 8, в основании
которой лежит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12.
А) 288 B) 342 C) 396 D) 450 E) 504
20. Угол между боковым ребром и основанием правильной четырехугольной пирамиды равен
30
.
Найдите отношение объема пирамиды к объему описанного около пирамиды шара.
А)
1
4
B)
3
4
C)
1
16
D)
9
16
E)
3
16
21. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды со стороной
основания 6 и углом между боковым ребром и основанием
45
.
А) 36 B)
C)
D)
E)
22. Найдите площадь полной поверхности конуса с радиусом основания 1 и высотой 2.
А)
5
B) 3 C)
25

D) 5 E)
5

23. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания 1, боковое ребро 3. Найдите угол
между боковой гранью и основанием.
А)
3
42
arctg
B)
2arc 2tg
C)
3arctg
D)
42
3
arctg
E)
1
22
arctg
24. Найдите объем конуса с радиусом основания 3 и углом при вершине осевого сечения 120º.
А)
B)
C)
12 3
D) 6 E) 9
25. В усеченном конусе площади оснований равны 16π см² и 36π см², образующая составляет с
плоскостью основания угол в 60. Найдите площадь (в кв. см) боковой поверхности этого конуса
А) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60
26. В прямой призме
ABCA B C
с боковым ребром
20AA
в основании лежит прямоугольный
треугольник АВС с катетами АВ=5 и ВС=12. Найдите двугранный угол, образованный
основанием АВС и сечением
CAB
.
А)
1
4
arctg
B)
5
3
arctg
C)
4arctg
D)
13
3
arctg
E)
14
3
arctg
27. Сфера описана около цилиндра с радиусом основания 2 и высоты 6. Найдите площадь сферы.
А) 40 B) 160 C) 64 D) 208 E) 52
28. В правильной пирамиде
SABC
с вершиной S известны сторона основания АВ=8 и боковое ребро
=5. Найдите угол между прямой
BS
и плоскостью
ASC
.
А)
7
15
arccos
B)
7
15
arcsin
C)
4
5
2arccos
D)
4
5
2arcsin
E)
4
5
arccos
29. Даны шар радиуса 3 и цилиндр высотой 3 с радиусом основания 2. Во сколько раз объем шара
больше объема цилиндра?
А) 3 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 5
30. Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 2 и площадью боковой
поверхности
8
3
. Чему равен двугранный угол при основании пирамиды?
А)
75
B)
45
C)
60
D)
30
E)
15
31. Основанием пирамиды служит прямоугольник АВСD со сторонами АВ = 8 см и ВС = 15 см.
Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60; все боковые ребра равны между
собой. Найдите объем пирамиды (в куб. см)
А)
3170
B)
3340
C) 340 D)
3680
E)
31020
32. Шар вписан в правильную треугольную призму. Найдите отношение площади поверхности шара
к площади полной поверхности призмы.
А)
2
33
B)
4
93
C)
33
D)
4
15 3
E)
2
93
33. Имеются шар и конус, у которых равны площади поверхности. Объем шара равен 36, а радиус
основания конуса – 3. Найдите объем конуса.
А)
9 15
B) 15 C)
9 12
D)
E)
24
2
Ответы «Стереометрия»
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
A
A
D
E
B
E
B
E
E
B
E
C
B
B
E
E
A
D
C
E
C
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
E
D
A
С
D
E
A
A
D
B
E
A