Подготовка к ОГЭ по математике "Углы и отрезки, связанные с окружностью"


Материал по теме «Углы и отрезки, связанные с окружностью.
Подобие треугольников, связанных с окружностью»
Решение задач повышенной сложности Сотникова А.В.,
учитель математики
МАОУ «Многопрофильный лицей №1»
Подборка задач для работы на уроке и самоподготовке по темам
«Углы и отрезки, связанные с окружностью.
Подобие треугольников, связанных с окружностью»
Теория.
1. Углы, связанные с окружностью:
1.1. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
1.1.1. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
1.1.2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр) прямой.
1.1.3. Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду, с вершинами лежат по разные
стороны от хорды, в сумме равны 180
о
.
1.2. Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен
половине дуги, заключенной между ними.
1.3. Угол между пересекающимися хордами равен половине суммы
дуг, заключенных между его сторонами.
1.4. Угол между двумя секущими, проходящими через точку вне окружности, равен
половине разности дуг, заключенных между его сторонами.
2. При пересечении двух прямых с окружностью образуются подобные треугольники:
2.1. При пересечении двух хорд
Следствие:
АА
1
и ВВ
1
в точке С:
2.1.1. Произведения отрезков хорд
АВС~ΔВ
1
А
1
С
равны:
(доказывается на основе 1.1.1)
АС·СА
1
=ВС·СВ
1
2.2. При пересечении двух
Следствие:
секущих АА
1
и ВВ
1
в точке С:
2.2.1. Произведения отрезков
АВС~ΔВ
1
А
1
С
секущих равны:
(доказывается на основе 1.1.1)
АС·СА
1
=ВС·СВ
1
2.3. При пересечении касательной
Следствие:
ВС и секущей АА
1
в точке С:
2.3.1. Квадрат отрезка касательной
АВС~ΔВА
1
С
равен произведению отрезков
(доказывается на основе 1.1 и
секущей:
1.2)
АС·СА
1
=ВС
2
2.4. При пересечении двух
Следствие:
секущих АА
1
и ВВ
1
в точке
2.4.1. Если А
1
В
1
диаметр
С:
окружности, то АВС~ΔВ
1
А
1
С
АВС~ΔВ
1
А
1
С
с коэффициентом подобия
(доказывается на основе 1.1.3)
k=cos C