Чем измеряют симметрию


ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЕМЕРОВСКОЙ ОБЛАСТИ
Государственное образовательное учреждение среднего профессионального
образования
Кемеровский профессионально-технический техникум
Чем измеряют симметрию
(статья)
Подготовил
обучающийся гр. СД-121
Рудич Альберт Артурович
Проверил
преподаватель математики
Коровина Нина Анатольевна
Кемерово 2015
2
Введение
Чем измеряют симметрию? Симметрия господствует в окружающем нас
мире. Многочисленные примеры симметрии поставляет нам живая природа —
флора и фауна. Вид симметрии живого организма (зеркальная, осевая,
поворотная) определен способом его существования и принципом мини-
мальности (экономности). Труднее разглядеть образы симметрии в неживой
природе. Но и здесь ей подчинено устройство и небесных тел, и кристаллов, и
молекул. Оно тоже не случайно, а обусловлено физическими законами.
Человек живет среди симметричных предметов, созданных его руками.
Это дома и машины, мебель и книги, и... почти все предметы нашего обихода.
Своей соразмерностью радуют глаз замечательные произведения искусства и
великолепные архитектурные сооружения. Но в строительстве и технике, да и
при изготовлении предметов быта симметрия используется не только из
соображений красоты и удобства. Пропорциональность и уравновешенность
всех частей сооружения являются основой его прочности.
Немецкий математик Гер ма н В е й ль (1885—1955) писал: «Симметрия
является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков
пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство». Но относится
ли симметрия к ведению математики? Можно ли измерить симметричность
Парфенона или выразить числом симметричность морской звезды? На
первый взгляд это кажется пустым занятием.
Однако не будем торопиться с ответом и обратимся к группам. Сначала
понятие группы связывали только с перестановками корней уравнений. Но
затем обнаружили, что перестановками можно охарактеризовать симметрию
многоугольников и многогранников. Это и понятно: ведь для задания
симметрии достаточно указать какая вершина переходит в какую.
Приведем примеры. Сначала рассмотрим равнобедренный треугольник; на
рисунке 1 его вершины занумерованы. Этот треугольник имеет одну ось
3
симметрии. Симметрия его относительно этой оси определяется
перестановкой (1 2 3) его вершин.
Очевидно, а
2
= е,
где е тождественная перестановка
оставляющая вершины на месте. В самом деле, выполняя последовательно два
раза отражение от оси, мы возвращаемся в исходное состояние.
Таким образом, осевая симметрия описывается циклической группой 2-
го порядка.
Правильный треугольник (рис 2) обладает тремя осями симметрии это
прямые, содержащие высоты треугольника.
Его осевые симметрии определяются следующими перестановками
вершин:
a=(1 2 3 ) , b= (1 2 3), c=( l 2 3)
1 3 2 3 2 1 2 1 3
Каждая из этих перестановок задает циклическую группу 2-го порядка а
2
= b
2
= с
2
= е. Кроме осевых симметрии, правильный треугольник обладает
двумя поворотными симметриями вокруг центра О на 120° и на 240° против
часовой стрелки. Они задаются перестановками
d=(1 2 3) и f=(1 2 3)
2 3 1 3 1 2
Рис 1 рис 2
4
Легко видеть, что d
2
= f выполнение двух последовательных поворо-
тов на 120° дает поворот на 240°. Еще один поворот на 120° и мы воз-
вращаемся в исходное положение: d
3
=e.
Итак, поворотные симметрии правильного треугольника описываются
циклической группой 3-го порядка, состоящей из перестановок d, f,е.
Далее, так как аb = bc = са = d, bа = сb = ас = f, то все шесть
перестановок а, b, с, d, f, е образуют группу.
Ее называют группой симметрии правильного треугольника. Она совпа-
дает с симметрической группой S
3
.
У прямоугольника имеются лишь две оси симметрии (рис. 3), с
которыми связаны перестановки
a = ( 1 2 3 4) b =(1 2 3 4)
2 1 4 3 4 3 2 1
причем а
2
- b
2
= е. Повороту прямоугольника вокруг центра на
180° отвечает перестановка с = (1 2 3 4) л е гко в и де т ь чт о с
2
= е
3 4 1 2
симметрии прямоугольника имеет три циклические подгруппы
второго порядка.
Квадрат обладает четырьмя осевыми симметриями (рис. 4),
Р и с . 2 7 Р и с . 2 8
Рис. 3 . Рис 4
Прямоугольник Квадрат
5
задаваемыми перестановками
a = ( 1 2 3 4) b =(1 2 3 4)
2 1 4 3 4 3 2 1
c = ( 1 2 3 4) d=(1 2 3 4)
3 2 1 4 1 4 3 2
Ясно, что а
2
=b
2
= с
2
= d
2
= е.
Мы видим, что группа симметрии фигуры полностью характеризует все
ее симметрии, при этом, чем большее число элементов содержит эта группа,
тем более симметрична фигура. У окружности, например, она содержит
бесконечное множество элементов: любая прямая, проходящая через центр
окружности, является ее осью симметрии; поворот на произвольный угол
вокруг центра переводит окружность в себя.
Но большинство известных нам числовых множеств с существующими в
них операциями также являются группами. Так, все рациональные числа без
нуля образуют группу относительно операции умножения. Группа с операцией
умножения называется мультипликативной. Если в качестве операции взять
сложение, то соответствующую группу называют аддитивной. В аддитивной
группе вместо единичного элемента рассматривают нуль, а вместо обратного —
противоположный.
Множество целых чисел, а также множество всех рациональных чисел
образуют аддитивные группы. Относительно операции сложения образуют
группы и множество всех действительных чисел, и множество всех
комплексных чисел. Но чтобы рассматривать эти множества как
мультипликативные группы, надо (подобно случаю рациональных чисел)
удалить из них нуль, поскольку для него нет обратного элемента.
Но для знакомства с этими свойствами надо иметь более солидную
подготовку по теории групп. Сегодня почти каждая область математики
обращается к теории групп, без нее нельзя себе представить современную
теоретическую физику.
6
В повседневной жизни мы часто употребляем слово «группа», имея в
виду совокупность каких-либо объектов. Начиная с работ Галуа, оно стало
использоваться и в математике, но здесь оно означает не любое собрание
объектов, а лишь такое, для которого выполняются определенные свойства.
Что это за свойства, мы сейчас узнаем. Пока лишь отметим, что в
исследованиях Абеля и Галуа, посвященных проблеме разрешимости
алгебраических уравнений в радикалах, использовались свойства групп
перестановок корней уравнений.
Симметрия в алгебре? Существует ли она?
Посмотрим разложение многочлена на линейные множители
Р (х) = а
0
х
п
+ а
х
х
п-1
+ ... + а
п
-
1
х + а
п
= = а
0
- х
1
) (х - х
2
) ... (х - х
п
).
вспомним, что х
1,
х
п
корни многочлена Р (х); они могут быть как
действительными, так и комплексными. Если раскрыть скобки в правой части
этого разложения и сравнить коэффициенты при одинаковых степенях х слева и
справа, то получим
х
х
+ х
2
+ ... + х
п
=- а
1
/
а
0
х
1
х
2
+ х
1
х
3
+ ... + х
n-1
х
n
= а
2
/
а
0
х
1
х
2
х
3
+ х
1
х
2
х
4
+ ... + х
n-2
х
n-1
х
n
= а
3
/
а
0
…………………………………………………………………………………………………………..
х
1
х
2
.х
n
=(-1) а
n
/
а
0
Эти соотношения для n 5 вывел Виет, поэтому равенства
называются формулами Виета. При n=2 они принимают вид
х
х
+ х
2
=- а
1
/
а
0
х
1
х
2
= а
2
/
а
0
Из формул Виета вытекает, что основную теорему о симметрических
многочленах можно сформулировать следующим образом:
Любой симметрический многочлен от корней х
1
, х
п
приведенного
алгебраического уравнения х
п
+ а
1
х
п
-
1
+ ... + а
п
= 0 является многочленом
от коэффициентов этого уравнения.
7
Симметрические многочлены применяются для решения
разнообразных задач математики. Приведем примеры
Практическое применение симметрии в алгебре
З а д а ч а .
Составим квадратное уравнение, корни которого были бы
кубами корней уравнения
х
2
- 7х + 11 = 0.
Обозначим корни уравнения х
2
- 7х + 11 = 0 через х
1
и х
2
.
По формулам Виета имеем
х
1
+ х
2
= 7
и
х
1
х
2
= 11.
Корни уравнения, которое требуется составить, имеют вид
y
1
= х
3 ,
y
2
= х
3
Поэтому коэффициенты искомого уравнения
таковы:
р =-( у
г +
у
2)=
-( х
3
+ х
3
),
q = у
1
у
2
= x
3
x
3
.
Но х
3
+ х
3
=
1
+ х
2
) ( ( х
1
+ х
2
)
2
Зх
1
х
2
) = 7 (7
2
- 3 • 11) = 112,
х
3
х
3
=
1
х
2
)
3
= 1331.
Поэтому р = -112, q = 1331 и требуемое уравнение имеет
вид у
2
- 112у + 1331 = 0.
Заключение
Симметрия неотъемлемая часть нашей жизни. Она везде вокруг нас и
мы так привыкли к её существованию, что даже не замечаем красоты и
изящества, которое она придаёт нашей жизни. Существует притча о
буридановом осле. У одного философа, по имени Буридан, был осёл.
Однажды, уезжая надолго, философ положил слева и справа совершенно
одинаковые охапки сена. Осёл не смог решить, с какой охапки ему начать и
8
умер с голода. В каждой шутке есть доля истины: если левое и правое
настолько одинаково, что нельзя отдать предпочтение ни тому, ни другому, то
мы имеем дело с симметрией, проявляющейся в полном равноправии, в
полной уравновешенности левого и правого.
Продолжение данной работы вижу в изучении различных групп
алгебраических перестановок, в изучении движений, простейших
преобразований плоскости, при которых все геометрические фигуры
сохраняют свою форму и размеры.
Для человеческого разума симметрия обладает, по-видимому,
совершенно особой притягательной силой. Симметрия в широком и узком
смысле является той идеей, которой человек на протяжении веков пытался
постичь и создать порядок во всех физических явлениях. Свою работу я
хотел бы закончить следующими словами:
«Радость видеть, понимать, доказывать самый прекрасный дар природы.
Конца познанью нет!».
9
Информационное обеспечение
Интернет-ресурсы:
1. Форум - математический сайт allmatematika.ru [Электронный ресурс]. -
Режим доступа : http://www. allmatematika.ru, свободный. - Загл. с экрана. -
(Дата обращения: 01.03.15).
2. Электронно-библиотечная система издательства «Лань» [Электронный
ресурс]. - Режим доступа : http://lanbook.com/ebs.php, для доступа к информ.
ресурсам требуется авторизация. - Загл. с экрана.- (Дата обращения:
01.03.15).
3. Электронно-библиотечная система «КнигаФонд» [Электронный ресурс]. -
Режим доступа: http://www.knigafund.ru/, для доступа к информ. ресурсам
требуется авторизация. - Загл. с экрана. - (Дата обращения: 01.03.15).