Презентация "Производная сложной функции" 10 класс


Подписи к слайдам:
Слайд 1

  • Производная

Содержание:

  • Приращение функции
  • Понятие о производной
  • Определение производной
  • Правила вычисления производной
  • Производная сложной функции
  • Производные тригонометрических функций

Приращение функции.

  • Δf=f(x0+ Δ x)-f(x0)
  • конспект

Определение.

  • Производной функции ƒ в точке
  • х0 называется число, к которому стремится разностное отношение, при Δ х, стремящемся к нулю.
  • Конец.

Понятие о производной.

  • (x2)΄= Δ у/ Δx=(x0+ Δx)2-x02/ Δx=x20+2x Δx+
  • +Δx2-x02/ Δx=2x0 Δx+ Δx2/ Δx=2x0+Δx→2x0
  • 0
  • Назад

Определение производной.

  • f΄(x0)=lim /Δx →0
  • f(x0+ Δx)-f(x0)/Δx
  • f (x)-дифференцируема
  • с΄=0; x΄=1; (c x)΄=c (x)΄= c
  • Далее.

Правило вычисления производных.

  • (u ± v ) ΄ = u ΄± v ΄
  • (u · v ) ΄ = u΄ v + u v ΄
  • (u / v) ΄ =u ΄ v – u v ΄/ v2
  • (x n) ΄=n x n-1
  • Вперед.

Производная сложной функции.

  • h ( x ) = g ( f ( x ) )
  • h ΄(x0)=g ΄(f(x0))·f ΄(x0)
  • Далее.

Производные тригонометрических функций.

  • (sin x) ΄ =cos x
  • (cos x) ΄ = - sin x
  • (tg x) ΄ = 1/cos2
  • (ctg x) ΄ = -1/sin2 x
  • h( x)=g ( f ( x ) )
  • h ΄ (x0)=g ΄ (f(x0))·f ΄ (x0)
  • Далее.

Дифференцирование.

  • Функцию, имеющую производную в точке хо называют дифференцируемой в этой точке. Пусть D1-множество точек, в которых функция ƒ дифференцируема.Сопоставляя каждому х € D1число ƒ ΄ (х), получим новую функцию с областью определения D1.Эта функция называется производной функции
  • y = ƒ (х).Мы получаем формулы (х3)=3х2
  • (х2)=2х,(kх +b) ΄ =k.В формуле k=0, b=С
  • где С произвольная постоянная получаем
  • что С΄ =0,производная постоянная равна нулю.

Приращение функции.

  • При сравнении значения функции ƒ в некоторой фиксированной точке х0 значениями этой функции в различных
  • Точках х лежащих в окрестности х0,удобно выражать разность ƒ (х)-ƒ (х0)
  • Через разность х-х0,пользуясь понятиями «приращение аргумента»и
  • «приращение функции».
  • Δ х = х-х0 → х = х0+ Δ х.
  • Вследствие этого функции ƒ изменится на
  • Величину ƒ (х)- ƒ (х0)= ƒ (х0+ Δ х)-ƒ (х0).

Приращение функции.

  • Эта разность называется приращением
  • Функции ƒ в точке х0 соответствующим
  • приращению Δ х, и обозначается Δ ƒ ,
  • Т.е.по определению Δ ƒ = ƒ (х0+ Δ х)- ƒ (х0),
  • откуда
  • ƒ(х)= ƒ (х0+ Δ х)= ƒ (х0)+ Δ ƒ .
  • Обратите внимание :при фиксированном х0
  • Приращение Δ ƒ есть функция от Δ х.
  • Δ ƒ называют также приращением зависимой
  • Переменной и обозначают через Δ у для функции
  • У= ƒ (х).
  • ДАЛЬШЕ

Производная сложной функции

  • Если функция f имеет производную в точке х0,а функция g имеет производную в точке у0=f(х0),то сложная
  • функция h(х)=g (f(х)) также имеет производную в точке х0,причем
  • h΄(х0)=g΄(f(х0)) · f΄(х0).
  • Далее.

Приращение функции.

  • Пример 1.Найдем приращения Δ х и Δ f в точке х0 ,если f(х)= Х2 ,А) Х0=2 и: Х=1,9;
  • Δ х = х-х0=1,9-2= - 0,1;
  • Δ f =f(1,9)-f(2)=1,92-22= - 0,39
  • НАЗАД

Производная сложной функции.

  • Пример 1.Найдем производную функции
  • h (x)=(2x+3)100
  • Функцию h можно представить в виде сложной функции
  • h (x)=g (f (x)), где g (y)=y100, y=f (x)=2x+3.
  • Так как f ΄(x)=2 и g΄(y)=100y99, имеем
  • h΄(x)=2·100y99=200(2x+3)99
  • Назад.

Правила вычисления производных.

  • Правило 1.Если функции U и v дифференцируемое в точке х0 ,то их сумма дифференцируема в этой точке и производная суммы равна сумме производных.
  • (U + v) ΄ = U΄ + v΄ .
  • Правило 2.Если функции u и v дифференцируемы в точке х0,то их произведение дифференцируемо в этой точке (u v ) ΄= u΄ v +u v΄.
  • Правило 3.Если функции u и v дифференцируемы в точке х0 и функции v не равна нулю в этой точке то
  • Частное u/ v также дифференцируемо в х0 и
  • (u/ v ) ΄ =(u΄ v- u v΄)/v2.
  • Далее.

Правила вычисления производных.

  • Пример 1. Найдем производные функций:
  • А) f (x)=x2-1/x
  • (1/x) ΄= - x΄/x2= -1/x2, поэтому (x2- 1/x) ΄=
  • =(х2) ΄-(1/x) ΄=2x-(-1/x2)=2x+1/x2
  • Конец.

Производные тригонометрических функций.

  • Формула производной синуса. Докажем, что функция синуса имеет производную в любой точке и (sin x) ΄= cos x.
  • Применяя формулу
  • sin α –sinβ=2cos α β/2 · sin α+β/2,
  • Находим
  • Δ sin x/ Δ x=sin(x0+Δ x)-sin x0/Δ x =
  • =2cos(x0+Δ x/2)sin Δx/2/ Δ x=
  • = sinΔx/2/Δx/2cos(x0+Δx/2).
  • Далее.

Производные тригонометрических функций.

  • Для вывода формулы достаточно показать ,что
  • а) sinΔx/2/Δx/2→ 1при Δx→ 0;
  • б) cos(x0+Δx/2) → cos x0 при Δx→ 0
  • Опираясь на эти утверждения, можно получить формулу. Действительно, при Δ х→0
  • (x0+Δx/2) Δ Δ sin x/Δx=sinΔx/2/Δx/2Δ· cos →
  • →1· cos x0=cos x0.
  • Конец.

Формула приближенного вычисления.

  • У=f(x0)+f΄(x0)(x-x0)
  • У ≈f(x0)+f '(x0) Δx

Производная в физике и технике.

  • Vср (Δt)=Δx/Δt→v(t0)
  • Δx/Δt→x'(t0)
  • V (t)= x´(t)
  • a=v' (t)

Метод интервалов.

  • 1f <=>Δf →0 при Δ х →0
  • f (x) →(a) при х →а
  • f '=> f
  • 2 f и f ≠ 0 => (±соns)

Метод интервалов.

  • У=k x + b A(x0;f(x0))
  • У=f '(x) • x + b
  • f(x0)<number>=f´(x0) • x0 + b
  • b= f(x0)-f´(x0) • x0
  • У=f ´(x0) x + f(x0)-f´(x0) • x0
  • У=f(x0)+f´(x0) (x-x0)

Касательная к графику функции.

  • k=f ´(x0)=tgα
  • f ´(x1)>0; f ´(x2)=0; f ´(x3)<0
  • f ´(x1)=1; f ´(x2)=0; f ´(x3)=-1

Касательная к графику функции.

  • f (c)= f (b ) – f ( a ) / b - a