Презентация "Производная сложной функции" 10 класс

• Производная

Содержание:

• Приращение функции
• Понятие о производной
• Определение производной
• Правила вычисления производной
• Производная сложной функции
• Производные тригонометрических функций

Приращение функции.

• Δf=f(x0+ Δ x)-f(x0)

• конспект

Определение.

• Производной функции ƒ в точке
• х0 называется число, к которому стремится разностное отношение, при Δ х, стремящемся к нулю.

• Конец.

Понятие о производной.

• (x2)΄= Δ у/ Δx=(x0+ Δx)2-x02/ Δx=x20+2x Δx+
• +Δx2-x02/ Δx=2x0 Δx+ Δx2/ Δx=2x0+Δx→2x0
• ↓
• 0

• Назад

Определение производной.

• f΄(x0)=lim /Δx →0
• f(x0+ Δx)-f(x0)/Δx
• f (x)-дифференцируема
• с΄=0; x΄=1; (c x)΄=c (x)΄= c

• Далее.

Правило вычисления производных.

• (u ± v ) ΄ = u ΄± v ΄
• (u · v ) ΄ = u΄ v + u v ΄
• (u / v) ΄ =u ΄ v – u v ΄/ v2
• (x n) ΄=n x n-1

• Вперед.

Производная сложной функции.

• h ( x ) = g ( f ( x ) )
• h ΄(x0)=g ΄(f(x0))·f ΄(x0)

• Далее.

Производные тригонометрических функций.

• (sin x) ΄ =cos x
• (cos x) ΄ = - sin x
• (tg x) ΄ = 1/cos2
• (ctg x) ΄ = -1/sin2 x
• h( x)=g ( f ( x ) )
• h ΄ (x0)=g ΄ (f(x0))·f ΄ (x0)

• Далее.

Дифференцирование.

• Функцию, имеющую производную в точке хо называют дифференцируемой в этой точке. Пусть D1-множество точек, в которых функция ƒ дифференцируема.Сопоставляя каждому х € D1число ƒ ΄ (х), получим новую функцию с областью определения D1.Эта функция называется производной функции
• y = ƒ (х).Мы получаем формулы (х3)=3х2
• (х2)=2х,(kх +b) ΄ =k.В формуле k=0, b=С
• где С произвольная постоянная получаем
• что С΄ =0,производная постоянная равна нулю.

Приращение функции.

• При сравнении значения функции ƒ в некоторой фиксированной точке х0 значениями этой функции в различных
• Точках х лежащих в окрестности х0,удобно выражать разность ƒ (х)-ƒ (х0)
• Через разность х-х0,пользуясь понятиями «приращение аргумента»и
• «приращение функции».
• Δ х = х-х0 → х = х0+ Δ х.
• Вследствие этого функции ƒ изменится на
• Величину ƒ (х)- ƒ (х0)= ƒ (х0+ Δ х)-ƒ (х0).

Приращение функции.

• Эта разность называется приращением
• Функции ƒ в точке х0 соответствующим
• приращению Δ х, и обозначается Δ ƒ ,
• Т.е.по определению Δ ƒ = ƒ (х0+ Δ х)- ƒ (х0),
• откуда
• ƒ(х)= ƒ (х0+ Δ х)= ƒ (х0)+ Δ ƒ .
• Обратите внимание :при фиксированном х0
• Приращение Δ ƒ есть функция от Δ х.
• Δ ƒ называют также приращением зависимой
• Переменной и обозначают через Δ у для функции
• У= ƒ (х).

• ДАЛЬШЕ

Производная сложной функции

• Если функция f имеет производную в точке х0,а функция g имеет производную в точке у0=f(х0),то сложная
• функция h(х)=g (f(х)) также имеет производную в точке х0,причем
• h΄(х0)=g΄(f(х0)) · f΄(х0).

• Далее.

Приращение функции.

• Пример 1.Найдем приращения Δ х и Δ f в точке х0 ,если f(х)= Х2 ,А) Х0=2 и: Х=1,9;
• Δ х = х-х0=1,9-2= - 0,1;
• Δ f =f(1,9)-f(2)=1,92-22= - 0,39

• НАЗАД

Производная сложной функции.

• Пример 1.Найдем производную функции
• h (x)=(2x+3)100
• Функцию h можно представить в виде сложной функции
• h (x)=g (f (x)), где g (y)=y100, y=f (x)=2x+3.
• Так как f ΄(x)=2 и g΄(y)=100y99, имеем
• h΄(x)=2·100y99=200(2x+3)99

• Назад.

Правила вычисления производных.

• Правило 1.Если функции U и v дифференцируемое в точке х0 ,то их сумма дифференцируема в этой точке и производная суммы равна сумме производных.
• (U + v) ΄ = U΄ + v΄ .
• Правило 2.Если функции u и v дифференцируемы в точке х0,то их произведение дифференцируемо в этой точке (u v ) ΄= u΄ v +u v΄.
• Правило 3.Если функции u и v дифференцируемы в точке х0 и функции v не равна нулю в этой точке то
• Частное u/ v также дифференцируемо в х0 и
• (u/ v ) ΄ =(u΄ v- u v΄)/v2.

• Далее.

Правила вычисления производных.

• Пример 1. Найдем производные функций:
• А) f (x)=x2-1/x
• (1/x) ΄= - x΄/x2= -1/x2, поэтому (x2- 1/x) ΄=
• =(х2) ΄-(1/x) ΄=2x-(-1/x2)=2x+1/x2

• Конец.

Производные тригонометрических функций.

• Формула производной синуса. Докажем, что функция синуса имеет производную в любой точке и (sin x) ΄= cos x.
• Применяя формулу
• sin α –sinβ=2cos α β/2 · sin α+β/2,
• Находим
• Δ sin x/ Δ x=sin(x0+Δ x)-sin x0/Δ x =
• =2cos(x0+Δ x/2)sin Δx/2/ Δ x=
• = sinΔx/2/Δx/2cos(x0+Δx/2).

• Далее.

Производные тригонометрических функций.

• Для вывода формулы достаточно показать ,что
• а) sinΔx/2/Δx/2→ 1при Δx→ 0;
• б) cos(x0+Δx/2) → cos x0 при Δx→ 0
• Опираясь на эти утверждения, можно получить формулу. Действительно, при Δ х→0
• (x0+Δx/2) Δ Δ sin x/Δx=sinΔx/2/Δx/2Δ· cos →
• →1· cos x0=cos x0.

• Конец.

Формула приближенного вычисления.

• У=f(x0)+f΄(x0)(x-x0)
• У ≈f(x0)+f '(x0) Δx

Производная в физике и технике.

• Vср (Δt)=Δx/Δt→v(t0)
• Δx/Δt→x'(t0)
• V (t)= x´(t)
• a=v' (t)

Метод интервалов.

• 1f <=>Δf →0 при Δ х →0
• f (x) →(a) при х →а
• f '=> f
• 2 f и f ≠ 0 => (±соns)

Метод интервалов.

• У=k x + b A(x0;f(x0))
• У=f '(x) • x + b
• f(x0)<number>=f´(x0) • x0 + b
• b= f(x0)-f´(x0) • x0
• У=f ´(x0) x + f(x0)-f´(x0) • x0
• У=f(x0)+f´(x0) (x-x0)

Касательная к графику функции.

• k=f ´(x0)=tgα
• f ´(x1)>0; f ´(x2)=0; f ´(x3)<0
• f ´(x1)=1; f ´(x2)=0; f ´(x3)=-1

Касательная к графику функции.

• f (c)= f (b ) – f ( a ) / b - a