Решение заданий ЕГЭ "Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей" 11 класс


Подписи к слайдам:
Решение заданий ЕГЭ 2012

Решение заданий ЕГЭ

Элементы комбинаторики,

статистики и теории

вероятностей

Айшаев Мухадин Муратович

Айшаев Мухадин Муратович учитель математики МКОУ «Средняя общеобразовательная школа с.п.Кара-Суу» и преподаватель «Лицея для одаренных детей» г.Нальчик Айшаев Кязим Мухадинович «Решение заданий ЕГЭ по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей»

Введение

  • Задания открытого банка заданий ЕГЭ. В презентацию включен необходимый теоретический материал и образцы решений заданий (практика), а также задачи для самостоятельного решения (домашнее задание) и ответы к ним. Может быть полезна учащимся для самостоятельной подготовки к ЕГЭ.

Для успешного решения задач этого типа необходимо:

  • Уметь строить и исследовать простейшие математические модели
  • Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры
  • Моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин
  • Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения

Повторить материал по темам:

  • Элементы комбинаторики
  • Поочередный и одновременный выбор
  • Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона
  • Элементы статистики
  • Табличное и графическое представление данных
  • Числовые характеристики рядов данных
  • Элементы теории вероятностей
  • Вероятности событий
  • Примеры использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач

Классическое определение вероятности

  • Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m к n, где n – это число всех возможных исходов эксперимента, а m – это число всех благоприятных исходов.
  • Формула представляет собой так называемое классическое определение вероятности по Лапласу, пришедшее из области азартных игр, где теория вероятностей применялась для определения перспективы выигрыша.

Формула классической теории вероятностей

Число благоприятных исходов

Число всех равновозможных исходов

Вероятность события =

Вероятность события - это десятичная дробь, а не целое число!

Перестановки

  • Перестановкой множества из n  элементов называется расположение элементов в определенном порядке.

Число перестановок можно вычислить по формуле Pn=n!

Размещения

  • Размещениями множества из n различных элементов по m (m≤n) элементов называются комбинации, которые составлены из данных n элементов по m элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Сочетания

  • Сочетаниями из n различных элементов по k элементов называются комбинации, которые составлены из данных n элементов по k элементов и отличаются хотя бы одним элементом (иначе говоря, k -элементные подмножества данного множества из n элементов).

Задача 1:В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

  • Решение: Всего возможных комбинаций при вбрасывании двух кубиков: 6 * 6 = 36. Из них благоприятные исходы можно перечислить: 2+6;6+2; 3+5;5+3; 4+4.
  • Таким образом, всего благоприятных исходов 5. Вероятность найдем, как отношение числа 5 благоприятных исходов к числу всех возможных комбинаций 36. = 0,13888… Округлим до сотых. Ответ: 0, 14.
  •  

Задача 2: В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

  • Задача 2: В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
  • Решение: Условие можно толковать так: какова вероятность, что все 4 раза выпадет решка. Вероятность того, что решка выпадет
  • 1 раз равна ,
  • 2 раза равна =(Теорема об умножении вероятностей),
  • 3 раза равна =,
  • а 4 раза равна ()4==0,0625.
          • Ответ: 0,0625
  •  

Задача 3: Игральный кубик подбрасывают дважды. Определите вероятность того, что при двух бросках выпадет разное количество очков. Результат округлите до сотых.

  • Решение: Всего возможных комбинаций: 6 * 6 = 36. Из них благоприятные исходы можно перечислить: 1-й кубик 2-й кубик 1 очко 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 2 очка 1, 3, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 3 очка 1, 2, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 4 очка 1, 2, 3, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 5 очков 1, 2, 3, 4 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. 6 очков 1, 2, 3, 4 или 5 очков. Благоприятных исходов 5. Хотя проще было бы посчитать число неблагоприятных для нас исходов. Когда выпадет одинаковое число очков 1 и 1, 2 и 2, 3 и 3, 4 и 4, 5 и 5, 6 и 6. Таких исходов 6. Всего исходов 36. Тогда благоприятных исходов 36 – 6 = 30. Итак, всего благоприятных исходов 30. Найдем отношение 30/36 = 0,83333…
  • Ответ. 0,83

Для самостоятельного решения

  • В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.(ответ: 0,11)
  • В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.(ответ: 0,14)
  • В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.(ответ: 0,17)
  • В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых. (ответ: 0,01)
  • В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. (ответ: 0,07)

Задача 4: Вова точно помнит, что в формуле азотной кислоты подряд идут буквы H, N, O и что есть один нижний индекс – то ли двойка, то ли тройка. Сколько имеется вариантов, в которых индекс стоит не на втором месте?

  • Решение: По условию индекс может стоять либо на первом, либо на втором месте:
  • H2NO HNO2
  • H3NO HNO3
  • 2 + 2 = 4
  • Ответ: 4

Задача 5: Сколько разных типов гамет может дать гибрид, гетерозиготный по 3 независимым признакам?

  • а, в, с – признаки
  • 1 случай – гамета не обладает ни одним из этих признаков – только 1тип
  • 2 случай – одним из этих признаков: а; в; с – 3 типа
  • 3 случай - двумя из трех признаков: ав, ас, вс – 3 типа
  • 4 случай – всеми тремя признаками: авс – 1 тип
  • 1+3+3+1=8 типов гамет
  • Ответ: 8

Задача 6: Перечислить все трехзначные числа, в записи которых встречаются только цифры 1 и 2.

  • 111 сотни десятки единицы
  • 112 а в с
  • 121 1 1 1
  • 122 8 2 2 2
  • 211 222=8
  • 212
  • 221
  • 222
  •  

Задача 7:Три друга – Антон (А), Борис (Б) и Виктор (В) – приобрели два билета на футбольный матч. Сколько различных вариантов посещения футбольного матча для троих друзей?

  • А Б В
  • (АБ)
  • (АВ) 3 варианта посещения
  • (БВ)
  • Сочетание из 3 по 2
  • С3= =3
  • Ответ: 3
  •  

2

Задача 8: Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Антонов (А), Григорьев (Г), Сергеев (С) и Федоров (Ф), тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

  • А Г С Ф – число сочетаний из 4 по 2
  • АГ
  • АС
  • АФ С4==6
  • ГС
  • ГФ
  • СФ
  • Ответ: 6
  •  

2

Задача 9: Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из 5 языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского, на любой другой из этих 5 языков?

Число размещений: А5= =20

Ответ: 20

  •  

2

Задача 10: Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько у друзей есть вариантов занять эти два места на стадионе?

  • А Б В
  • Число сочетаний из 3 по 2: 3 способа
  • Количество перестановок: Р2=2!=2
  • СР=3
  • или А-размещения
  • А3==6
  •  

2

Задача 11: Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, при условии, что цифра в числе не может повторяться?

  • 12 21 23 32 13 31
  • А3=
  • Ответ: 6
  •  

2

Задача 12: В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

  • Задача 12: В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
  • Решение: Всего участвует 20 спортсменок, из них из Китая 20-(8+7)=5 спортсменок.
  • Вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая будет
  • Р =
  • Ответ: 0,25
  •  

Задача 13: В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

  • n=25
  • m=23 билета без вопроса о грибах
  • P(A)===0,92
  • Ответ: 0,92
  •  

Для самостоятельного решения

1. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 9 спортсменов из Дании, 3 спортсмена из Швеции, 8 спортсменов из Норвегии и 5 — из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Финляндии. (0,2)

2. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Македонии, 9 спортсменов из Сербии, 7 спортсменов из Хорватии и 5 — из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Македонии.(0,16)

3. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 22 из Великобритании, 19 из Франции, остальные — из Германии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Германии.(0,18)

4. В чемпионате по гимнастике участвуют 40 спортсменок: 12 из Аргентины, 9 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая.(0,475)

5. В чемпионате по гимнастике участвуют 64 спортсменки: 20 из Японии, 28 из Китая, остальные — из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи. (0,25).

Задача 14: В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

  • Задача 14: В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
  • А = {Насос не подтекает}
  • n=1000
  • m=1000-5=995насосов не подтекают
  • P(A)===0,995
  • Ответ: 0,995
  •  

Задача 15: Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

  • Задача 15: Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
  • А={Сумка качественная}
  • n=100
  • m=100-8 без скрытых дефектов
  • P(A)===0,92
  • Ответ: 0,92
  •  

Задача 16: В среднем из 50 аккумуляторов, поступивших в продажу 7 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.

  • Решение: 50-7=43 – исправных аккумуляторов
  • Вероятность – покупка исправного аккумулятора
  • 43 - Число благоприятных исходов

    50 - Число всех равновозможных исходов

    Р =

    Ответ: 0,86

  •  

Для самостоятельного решения

  • Фабрика выпускает сумки. В среднем на 180 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. (Ответ:0,96 )
  • Фабрика выпускает сумки. В среднем на 170 качественных сумок приходится шесть сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,96)
  • В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. (0,995)
  • В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.(0,992)
  • Люба включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по шести каналам из сорока восьми показывают документальные фильмы. Найдите вероятность того, что Люба попадет на канал, где документальные фильмы не идут. (0,875)
  • В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 10 черных, 2 желтых и 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси. (0,4)

Произведение вероятностей

  • Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно.
  • Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

Сложение вероятностей

  • Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.
  • Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Список использованной литературы

  • А.Л. Семенов, И.В. Ященко «Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ 2015. Математика»;
  • http://mathege.ru/ - открытый банк заданий по математике.