Методическая разработка "Матричные уравнения"


Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова»
Кемеровский институт (филиал)
Техникум информационных технологий, экономики и права
УЧЕБНАЯ ДИСЦИПЛИНА
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Методическая разработка по теме
«Матричные уравнения»
подготовила
преподаватель
математических дисциплин
Новосёлова Елена Викторовна
2016
2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
3
МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
4
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
8
ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ МЕТОДИЧЕСКОЙ
РАЗРАБОТКИ
9
3
ВВЕДЕНИЕ
Методическая разработка по теме «Матричные уравнения» составлена в
соответствии с требованиями ФГОС СПО третьего поколения.
Предлагаемая методическая разработка включает основной теоретический
материал по теме «Матричные уравнения», решение типовых примеров и задания
для самостоятельной работы обучающихся по теме с ответами.
Методическую разработку можно использовать как на уроках, так и для
организации индивидуальной и самостоятельной работы обучающихся, на
дополнительных занятиях и консультациях. В качестве дополнительного
материала она может быть использована на факультативных занятиях.
Цель методической разработки помочь обучающимся в освоении
материала по теме «Матричные уравнения» и получить необходимые
практические навыки по применению теоретического материала в условиях
конкретного задания.
4
МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
* Уравнения вида А Х = В и Х А = В, где А, В заданные матрицы, а Х
неизвестная матрица, называются матричными уравнениями.
* Решить матричное уравнение − значит найти неизвестную матрицу Х.
* Матрица Х называется решением матричного уравнения, если при подстановке
обращает его в верное равенство.
Матричное уравнение имеет решение только тогда, когда определитель
матрицы А отличен от нуля, т.е.
0Adet
.
Решение матричного уравнения находится с помощью обратной матрицы:
Матричное уравнение: А ∙ Х = В Х ∙ А = В
Решение: А
1
А ∙ Х = А
1
В Х ∙ А ∙ А
1
= В ∙ А
1
Е ∙ Х = А
1
∙ В
Х ∙ Е
= В ∙ А
1
Х = А
1
∙ В
Х
= В ∙ А
1
Пример 1. Решить
02
13
Х
11
02
.
Решение.
Обозначим А =
11
02
, В =
02
13
, тогда имеем матричное уравнение вида
А ∙ Х = В, решение которого находим по формуле Х = А
1
∙В.
Считаем определитель матрицы А.
.
Т.к.
0Adet
, то матрица А
1
существует и находится по формуле:
А
1
=
2212
2111
AA
AA
Adet
1
.
Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А:
1М)1(А
11
2
11
0М)1(А
21
3
21
5
1М)1(А
12
3
12
2М)1(А
22
4
22
Тогда А
1
=
21
01
2
1
. Обязательна проверка: А ∙ А
1
= А
1
А = Е.
Находим неизвестную матрицу Х:
Х = А
1
∙ В =
21
01
2
1
02
13
=
02)1()1(2231
00)1()1(2031
2
1
=
.
11
13
2
1
Ответ:
.
11
13
2
1
Пример 2. Решить Х
232
111
190
+ 3
118
092
=
166
12110
.
Решение.
Обозначим А =
232
111
190
, С =
118
092
, D =
166
12110
, тогда имеем
матричное уравнение Х
А + 3
С = D. Приводим его к виду Х
А = В, т.е.
находим матрицу В:
Х
А + 3
С = D
Х
А = D 3
С
В = D 3
С =
166
12110
3
118
092
=
166
12110
3324
0276
=
=
2318
1616
.
6
Имеем матричное уравнение вида Х А = В, решение которого находим по
формуле
Х = В А
1
. Считаем определитель матрицы А.
)2(1921)1(2)1(9)1(31)2(10
232
111
190
Adet
0)1(3
= − 1.
Т.к.
0Adet
, то матрица А
1
существует и находится по формуле:
А
1
=
332313
322212
312111
ААА
ААА
ААА
Аdet
1
.
Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А:
1
23
11
А
11
15
23
19
А
21
8
11
19
А
31
0
22
11
А
12
2
22
10
А
22
1
11
10
А
32
1
32
11
А
13
18
32
90
А
23
9
11
90
А
33
Тогда А
1
=
9181
120
8151
=
9181
120
8151
.
Находим неизвестную матрицу Х:
Х = В ∙ А
1
=
2318
1616
9181
120
8151
=
=
9213818)18(2)2(3)15(18)1(203)1(18
9116816)18(1)2(6)15(16)1(106)1(16
=
7
=
12322816
14327017
.
Ответ:
12322816
14327017
.
8
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Решить матричные уравнения:
1.
86
22
45
23
Х
Ответ:
1832
11
.
2.
31
52
Х
12
64
Ответ:
20
238
16
1
.
3.
011
110
212
315
112
Х
Ответ:
333
421
3
1
.
4.
01
10
12
Х
465
254
233
Ответ:
21
810
812
4
1
.
5.
8710
7210
031
012
423
321
Х
Ответ:
87112152
5877105
131520
.
6.
15
8
3
3
2
1
5Х
010
012
111
Ответ:
1
0
1
.
7.
4122
011
111
112
Х012
Ответ:
173
5
1
8.
612
444
1523
14
05
10
19
82
Х
232
111
190
Ответ:
2
29
84
1
78
32
37
1
.
9
ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
МЕТОДИЧЕСКОЙ РАЗРАБОТКИ
1. Башмаков М.И. Математика. Книга для преподавателя: методическое пособие
для НПО, СПО. – М.: Академия, 2013 – 224с.
2. Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб. Пособие для образоват.
Учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Академия, 2013 – 416с.
3. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 11 кл. / Под ред. Колмогорова А.Н.
11 изд. – М.: Просвещение, 2009 – 384 с.
4. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа./ Под ред. Яковлева Г.Н.
М.: Наука, 2008 294 с.
5. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник для средних специальных учебных
заведений. – М.: Академия, 2006 – 241 с.
6. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учебное пособие, 5е
издание. – М.: Высшая школа, 2009 – 323 с.