Презентация "Арифметическая прогрессия" 9 класс Мордкович


Подписи к слайдам:
Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия

  • Учебное пособие для 9 класса
  • Учитель математики Комсомольского филиала МЬОУ Шпикуловской СОШ
  • Булдыгина НН

Содержание

  • Понятие арифметической прогрессии
  • Формула n-го члена арифметической прогрессии
  • Сумма первых n членов арифметической прогрессии
  • Тест

Понятие арифметической прогрессии

Определение.

  • Определение.
  • Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.

Пример 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, …- это арифметическая прогрессия, у которой

  • Пример 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, …- это арифметическая прогрессия, у которой
  • Пример 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, … - это арифметическая прогрессия, у которой
  • Пример 3. 8, 8, 8, 8, 8, … - это арифметическая прогрессия, у которой

  • Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность , заданная рекуррентно соотношениями
  • ,

Арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d>0, и убывающей, если d<0.

  • Арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d>0, и убывающей, если d<0.
  • Для обозначения арифметической прогрессии используется знак .
  • запомни

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Рассмотрим арифметическую прогрессию

  • Рассмотрим арифметическую прогрессию
  • с разностью d.
  • и т.д.

Для любого номера справедливо равенство

  • Для любого номера справедливо равенство
  • Это формула n-го члена арифметической прогрессии.

Пример. Дана арифметическая прогрессия .

  • Пример. Дана арифметическая прогрессия .
  • Известно, что . Найти .
  • Положим n=22, воспользуемся формулой , получим

Перепишем формулу n-го члена арифметической прогрессии

  • Перепишем формулу n-го члена арифметической прогрессии
  • в виде
  • Введем обозначения:
  • Получим
  • Подробнее

Пример. , 3, 5, 7, 9, 11, … - арифметическая прогрессия, у которой .

  • Пример. , 3, 5, 7, 9, 11, … - арифметическая прогрессия, у которой .
  • Составим формулу n-го члена:

Арифметическую прогрессию рассматривают как линейную функцию y=dx+m, заданную на множестве N натуральных чисел.

  • Арифметическую прогрессию рассматривают как линейную функцию y=dx+m, заданную на множестве N натуральных чисел.
  • Угловой коэффициент этой линейной функции равен d – разности арифметической прогрессии.

Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии

Пусть -

  • Пусть -
  • конечная арифметическая прогрессия
  • - сумма первых n членов арифметической прогрессии
  • -
  • сумма членов прогрессии в порядке возрастания их номеров.
  • -
  • сумма членов прогрессии в порядке убывания их номеров.

Сложим эти равенства, группируя попарно слагаемые, получим

  • Сложим эти равенства, группируя попарно слагаемые, получим
  • В каждой из скобок записана сумма, равная сумме .
  • Всего таких скобок n. Следовательно,

Формула суммы n членов арифметической прогрессии

  • запомни

Пример.

  • Пример.
  • Дана конечная арифметическая прогрессия
  • Известно, что Найти , т.е. .
  • Решение. Имеем
  • Значит,

  • С формулой связан один из эпизодов биографии К.Гаусса. Однажды на уроке учитель, чтобы занять первоклассников пока он будет заниматься с учениками третьего класса, велел сложить все числа от 1 до 100, надеясь, что это займет много времени. Но маленький Гаусс сразу сообразил, что 1+100=101, 2+99=101 и т.д. и таких чисел будет 50. осталось умножить 101*50. Это мальчик сделал в уме. Едва учитель закончил чтение условия, он предъявил ответ. Изумленный учитель понял, что это самый способный ученик в его практике.
  • Интересно!

Из предложенных последовательностей выберите ту, которая является арифметической прогрессией

  • Из предложенных последовательностей выберите ту, которая является арифметической прогрессией
  • а) 2; 4; 8; 16 б) -7; -7; -7; -7 в) 1; 3; 9; 27
  • 2. Какая из данных арифметических прогрессий является возрастающей?
  • а) 15; 12; 9; 6 б) 3; 3; 3; 3 в) 5; 8; 11; 14
  • 3. Найдите , если .
  • а) 5 б) 13 в) -21
  • 4. Найдите , если .
  • а) 54 б) 27 в)9
  • 5.Известно, что . Найдите n.
  • а) 41 б) -23 в) 23
  • 6. Известно, что . Найдите d.
  • а) -3 б) 3 в) 2

Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если .

  • Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если .
  • а) 294 б) 41 в) 57
  • 2. Известно, что . Найдите d.
  • а) 5 б) 3 в) 9
  • 3. Найдите сумму первых четырнадцати членов арифметической прогрессии, заданной формулой .
  • а) 497 б) 511 в)1022