Конспект урока "Решение систем алгебраических уравнений методом Крамера"

2
Разработка урока на тему:
«Решение систем алгебраических уравнений методом
Крамера»
Выполнила : Курлина Лидия
Николаевна, преподаватель СПО
Нижнекамского политехнического
колледжа им. Е.Н. Королёва
3
Содержание
Аннотация ........................................................................................................................................... 4
Методические пояснения .................................................................................................................. 5
Структура занятия ............................................................................................................................. 6
Ход урока ............................................................................................................................................ 8
4
Аннотация
Достижения профессиональной компетентности обучающегося ГАОУ СПО
«Нижнекамский политехнический колледж им.Е.Н.Королева» обеспечивается интеграцией
двух групп компетенций: профессиональных и общих.
Федеральными государственными стандартами СПО по специальности 270802
Строительство и эксплуатация зданий и сооружений определены общие компетенции и
профессиональные компетенции, формированию которых способствуют дисциплины
Математика и Информационные технологии в профессиональной деятельности.
Одной из задач профессионального образования сегодня является создание таких
условий обучения и развития, при которых возможен перенос сформированных знаний,
умений и навыков из области учебной деятельности в область трудовой деятельности.
Формированию компетенций способствует проведение нетрадиционных уроков, цель
которых получение новых знаний, приобретение умений и навыков, развитие
познавательной активности, получение студентами навыков решения реальных проблем,
формирования интереса к будущей профессиональной деятельности. Эти задачи успешно
решаются при проведении бинарных занятий. Такие занятия значительно повышают
эффективность процесса обучения, позволяют организовывать совместную творческую
работу преподавателей и студентов, расширяют межпредметные связи.
Решение систем линейных уравнений используются при решении профессиональных
задач по дисциплинам «Техническая механика», «Основы электротехники».
Бинарный урок по дисциплинам «Математика» и «Информационные технологии в
профессиональной деятельности» проводился с целью получения и закрепления новых
знаний.
5
Методические пояснения
Урок на тему «Решение систем алгебраических уравнений методом Крамера» по
дисциплинам «Математика» и «Информационные технологии в профессиональной
деятельности» проведен в группе 2 курса по специальности 270802 Строительство и
эксплуатация зданий и сооружений
Формируемые компетенции:
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной
деятельности.
ПК 1.4. Участвовать в разработке проекта производства работ с применением
информационных технологий.
Цели урока:
Обучающая: изучить методы решения систем уравнений, основные этапы решения задач с
помощью ЭВМ;
Развивающая: стимулировать студентов в саморазвитии; развивать логику мышления;
развивать положительные мотивы творческой инициативы и активности.
Воспитательная: проявлять интерес к дисциплине, проявлять самостоятельность при
решении расчетных задач по индивидуальным заданиям.
Методы: словесные, наглядные, практические, проблемно-поисковые, самостоятельная
работа, мультимедийное сопровождение.
Тип урока: изучение нового материала
Вид урока: объяснение, решение задач
Оснащение урока:
Техническое: доска, экран, ПЭВМ, мультимедийный проектор;
Программное: MS Excel, NetopSchool, MS Power Point
6
Структура занятия
п/п
Название этапа
Приемы и методы обучения
Время
(мин.)
1
Организационный
момент
Осуществляют:
приветствие студентов;
постановку целей и задач;
объяснение условий
проведения занятия
5
2
Актуализация знаний
Экспресс – опрос по ранее
изученным темам (Словесные:
вопросы)
10
3
Объяснение нового
материала
Словесные, устный с
использованием компьютера,
проектора и экрана
40
4
Закрепление нового
материала:
4.1. решение линей-
ных уравнений
методом Крамера;
4.2. Выполняют
расчет в программе
MS Excel;
4.3. Записывают
Наглядный, с использованием
компьютера, проектора и
экрана;
Практический, с
использованием компьютера
25
7
синтаксис функции
МОПРЕД()
5
Рефлексия
5
6
Домашнее задание:
Подведение итогов
занятия.
Заключительная беседа,
объявление результатов,
анализ занятия.
Словесный.
5
Вопросы для рефлексии:
Назовите, чем вы занимались на уроке?
Какие трудности ты испытывал на уроке?
Какие формы работы на уроке тебе нравятся больше всего?
Поставь баллы от 1 до 5:
Индивидуальная - работа в парах -
По карточкам - самостоятельная работа -
Работа в группах - коллективная работа -
Необычные уроки (экскурсия, путешествия) -
8
Ход урока
Этапы урока
Содержание этапов урока
1. Организационный момент
Цели для преподавателя:
Создать условия для
возникновения у
студентов потребности
включения в учебную
деятельность;
Способствовать
повышению мотивации
обучения.
Цели для студентов:
Включиться в учебную
деятельность;
Подготовиться к
восприятию нового
материала
1.1 Проверка наличия студентов
1.2 Целевая установка на урок
Тема сегодняшнего урока «Решение системы
уравнений методами Крамера и обратной матрицы».
Студенты записывают тему урока
При решении задач по технической механике и
электротехнике необходимо уметь решать уравнения и
системы уравнений. На прошлом уроке мы рассмотрели
формулу нахождения определителя третьего порядка, а
сегодня рассмотрим один из способов решения систем
линейных уравнений.
2.Актуализация знаний
Устный опрос:
1.Что такое матрица, определители?
2.Способ нахождения определителей.
3.Какие способы решения систем линейных
уравнений вы знаете?
3. Объяснение материала по
математике
Проводится объяснение нового учебного материала
2.1 Метод Крамера.
Сегодня мы изучим новый способ решения систем
линейных уравнений - метод Крамера.
Решим систему уравнений:
Дана система линейных уравнений
9
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
Неизвестные x
1
, x
2
, x
3
находятся по формулам
Крамера:
3
3x,
2
2x,
1
1x
где
0
aaa
aaa
aaa
333231
232221
131211
0
aab
aab
aab
33323
23222
13121
1
0
aba
aba
aba
33331
23221
13111
2
0
baa
baa
baa
33231
22221
11211
3
Рассмотрим теперь на примере:
Вычислим определитель системы
19884821224
24273166420421583
34
42
)4(
24
52
2
23
54
3
234
542
423
3 2 4 8
2 4 5 11
4 3 2 1
x y z
x y z
x y z
10
38
31
411
4
21
511
2
23
54
8
231
5411
428
x
2
19
38x
x
57
14
112
4
24
52
8
21
511
3
214
5112
483
y
3
19
57y
y
19
34
42
8
14
112
2
13
114
3
134
1142
823
z
1
19
19z
z
Получили ответы: (2; 3; 1)
Для закрепления изученного материала вычислите
новую систему уравнений.
Вычислим определитель системы 𝛥
7
23
31
1
23
21
4
22
23
2
223
231
142
3223
723
342
zyx
zyx
zyx
11
7
323
731
342
z
14
233
271
132
y
21
223
237
143
x
1
7
7
z,2
7
14
y,3
7
21
x
Ответ: (-3; 2; -1)
4. Объяснение материала по
информатике
Цели для преподавателя:
Обеспечить понимание
нового материала;
Сформировать умение
выполнять решение
систем уравнений в
программе MS Excel;
Способствовать
развитию
познавательных
способностей студентов;
Цели для студентов:
Понять объясняемы
материал;
записать и понять
синтаксис функции
МОПРЕД();
Уметь применять
Проводится объяснение нового учебного материала
3.1 Назначение функции МОПРЕД()
На практике мы убедились, что расчет определителя
матриц занимает много времени и может быть трудоёмким
при большой размерности системы или при дробных
коэффициентах при неизвестных.
Рассмотрим, как можно автоматизировать решение
системы уравнений.
Для решения систем уравнений методом Крамера,
необходимо уметь применять функцию МОПРЕД().
Данная функция вычисляет определитель матрицы.
Запишем синтаксис функции:
МОПРЕД(Массив)
где массив это диапазон ячеек в которых
расположены значения матрицы (массива).
Процесс вычисления определителя матрицы
трудоёмкий, особенно если матрица большой размерности
и мы убедимся насколько этот процесс упрощен в
программе MS Excel.
Рассмотрим пример, который вы решили на уроке
12
функцию при решении
систем уравнение
методом Крамера.
Цели этапа урока
достигаются посредством:
Обеспечения понимания
математики.
Запишем значения коэффициентов x, y, z в виде
таблицы и обозначим буквой A, свободные члены запишем
в виде таблицы B:
Теперь необходимо найти определители. Для этого
записываем в виде таблиц все значения и обозначаем их
как принято в математике: , x, y, z. Для ввода
значений обязательно используем перенос данных с
помощью формул. Т.е. используем сочетание клавиш
SHIFT+CTRL+ENTER, предназначенный для заполнения
выделенного фрагмента текущей формулой, при этом
получается массив. Ячейка должна быть в режиме
редактирования.
Для ввода символа воспользуемся командой Меню
Вставка
Символы (Шрифт Symbol). Рассчитываем
определитель матрицы с помощью функции МОПРЕД().
Для этого устанавливаем курсор в ячейку F6 и в меню
Формулы открываем список функций категории
Математические. Выбираем функцию МОПРЕД(), в
качестве аргументов выделяем диапазон ячеек B5:D7 и
нажимаем на кнопку ОК. Таким же образом определяем
все оставшиеся определители.
3 2 4 8
2 4 5 11
4 3 2 1
x y z
x y z
x y z
13
Формулы для самопроверки:
F6
=МОПРЕД(B5:D7)
F10
=МОПРЕД(B9:D11)
F14
=МОПРЕД(B13:D15)
F18
=МОПРЕД(B17:D19)
Теперь приступим непосредственно к вычислению x,
y, z. Для нахождения x необходимо x разделить на , для
y разделим y на и для нахождения z разделим z на .
То есть для нахождения x устанавливаем курсор в ячейку
B22 и вводим формулу =F10/F6. Таким же образом
находим y и z. Получим:
Сравните результаты с расчетами выполненными
вручную.
14
Теперь убедимся, что наша программа может
вычислить любую систему из трех уравнений с тремя
неизвестными. Подставим значения новой системы,
которую вы решили самостоятельно.
Что произошло во всех остальных ячейках?
5. Закрепление учебного
материала
Цели для преподавателя:
Организовать
самостоятельную работу
по индивидуальным
заданиям;
Определить ошибки и
пробелы в знаниях, пути
их устранения;
Дать оценку
выявленного уровня
знаний
Цели для студентов:
Самостоятельно
выполнить задание;
Проявлять
интеллектуальную и
творческую инициативу
при выполнении
индивидуального
задания
Закрепление изученного материала проводится по
индивидуальным заданиям.
Для того чтобы понять освоили ли вы новую тему
выполним работу по индивидуальным заданиям. Вам
необходимо решить систему из четырех уравнений.
Проявите творческую инициативу для красивого
оформления решения.
Задания:
Компьютер № 1
6x5x2x2x2
3xxx3
2x3xx2
1xxxx2
4321
431
421
4321
Ответ:
x1=
-0
x2=
2
x3=
1,7
x4=
-1,3
Компьютер № 2
4x3xxx2
1x2xxx5
2x3x2x2x3
1xxxx2
4321
4321
4321
4321
Ответ
x1=
0,1
x2=
0,3
x3=
-2,9
x4=
-2,3
Компьютер № 3
3xx3x7
1x3x2x3x
3xxx
4x4x3x2x
432
4321
432
4321
1
2x
Ответ:
x1=
-0,9
x2=
-0,5
x3=
-1,4
x4=
-2,1
Компьютер № 4
Ответ:
15
14x3x2xx4
13x2x2x4x3
12xx4x3x2
11x4x3x2x
4321
431
4321
4321
x1=
2
x2=
1
x3=
1
x4=
1
Компьютер № 5
1x2x2x2x4
3x1x4x4x
1x2x3xx3
2xx3x2x2
4321
4321
4321
4321
Ответ:
x1=
-1,3
x2=
0,6
x3=
1,5
x4=
1
Компьютер № 6
1x2x3x3x
2x2xx2x3
1xx2x2x
6xxxx2
4321
4321
4321
4321
Ответ:
x1=
2
x2=
-1
x3=
-0
x4=
3
Компьютер № 7
3x2x4x
1x3x2x3
1xx3x4x2
2x4xx2x
431
321
4321
4321
Ответ:
x1=
-0
x2=
-0,3
x3=
-0,5
x4=
0,5
Компьютер № 8
1x2x2xx
3x2xx2x3
1xx3xx2
0xx3x3x
4321
4321
4321
4321
Ответ:
x1=
1
x2=
2
x3=
2
x4=
-1
Компьютер № 9
4x2xx2x
4x3xx2
6x3x3
8x3x2xx2
4321
421
31
4321
Ответ:
x1=
1
x2=
1
x3=
1
x4=
1
Компьютер № 10
Ответ
16
7x3x2x
8xxxx
17x2xx3x2
22x4x3x2x
431
4321
4321
4321
x1=
4
x2=
1
x3=
4
x4=
1
Компьютер № 11
2x6x7x4x
2x2xx2
7x6x3x
4xx5xx2
4321
432
421
4321
Ответ:
x1=
2
x2=
1
x3=
2
x4=
1
Компьютер № 12
1x2x2xx4
26x2xx4x3
34xx4x3x2
26x4x3x2x
4321
4321
4321
4321
Ответ:
x1=
2,8
x2=
2,8
x3=
4,8
x4=
0,8
6.Рефлексия
Отвечают на вопросы
7. Подведение итогов урока
Цели для преподавателя:
Провести анализ и
оценку успешности
достижения цели урока
Подводят итог занятия, объявляют оценки
Подводя итог сегодняшнего урока, хочу сказать, что
целей, поставленных в начале занятия мы достигли. Мы
разобрались, как решать системы уравнений методом
Крамера, сумели автоматизировать свою работу с
помощью программы MS Excel. Надеюсь, что полученные
знания пригодятся вам на уроках технической механики и
при расчетах курсовой и дипломной работы в будущем.
Преподаватель объявляет оценки, полученные в ходе
урока, комментирует их.
8.Домашнее задание
Цели для преподавателя:
Поставить цели
самостоятельной работы
для студентов (что
должны сделать
Домашнее задание, инструктаж по его выполнению
Преподаватель математики: Дома вам необходимо
закрепить полученные знания. Выполните вручную расчет
системы уравнений, которые вы самостоятельно решили с
помощью программы MS Excel.
Преподаватель информатики: Тем, кто хочет
17
обучающиеся в ходе
выполнения домашнего
задания)
Цели для студента:
Уяснить цели и
содержание домашнего
задания
получить на следующем уроке более высокую оценку,
предлагаю выполнить следующее задание:
Из школьного курса математики вы знаете метод
Гаусса. Составьте автоматизированный расчет
системы из трех уравнений методом Гаусса в
программе MS Excel.
18
ПРИЛОЖЕНИЯ
19
Решить систему уравнений методом Крамера с помощью программы
MS Excel
3z2y2x3
7z2y3x
3zy4x2
Решение выполнить по образцу:
Самостоятельная работа:
Компьютер № 1
6x5x2x2x2
3xxx3
2x3xx2
1xxxx2
4321
431
421
4321
Решить систему уравнений методом Крамера с помощью программы
MS Excel
20
3z2y2x3
7z2y3x
3zy4x2
Решение выполнить по образцу:
Самостоятельная работа:
Компьютер № 2
4x3xxx2
1x2xxx5
2x3x2x2x3
1xxxx2
4321
4321
4321
4321
21
Решить систему уравнений методом Крамера с помощью программы
MS Excel
3z2y2x3
7z2y3x
3zy4x2
Решение выполнить по образцу:
Самостоятельная работа:
Компьютер № 3
3xx3x7
1x3x2x3x
3xxx
4x4x3x2x
432
4321
432
4321
1
2x
22
Решить систему уравнений методом Крамера с помощью программы
MS Excel
3z2y2x3
7z2y3x
3zy4x2
Решение выполнить по образцу:
Самостоятельная работа:
Компьютер № 4
14x3x2xx4
13x2x2x4x3
12xx4x3x2
11x4x3x2x
4321
431
4321
4321
23
Решить систему уравнений методом Крамера с помощью программы
MS Excel
3z2y2x3
7z2y3x
3zy4x2
Решение выполнить по образцу:
Самостоятельная работа:
Компьютер № 5
1x2x2x2x4
3x1x4x4x
1x2x3xx3
2xx3x2x2
4321
4321
4321
4321
24
Решить систему уравнений методом Крамера с помощью программы
MS Excel
3z2y2x3
7z2y3x
3zy4x2
Решение выполнить по образцу:
Самостоятельная работа:
Компьютер № 6
1x2x3x3x
2x2xx2x3
1xx2x2x
6xxxx2
4321
4321
4321
4321
25
Решить систему уравнений методом Крамера с помощью программы
MS Excel
3z2y2x3
7z2y3x
3zy4x2
Решение выполнить по образцу:
Самостоятельная работа:
Компьютер № 7
3x2x4x
1x3x2x3
1xx3x4x2
2x4xx2x
431
321
4321
4321
26
Решить систему уравнений методом Крамера с помощью программы
MS Excel
3z2y2x3
7z2y3x
3zy4x2
Решение выполнить по образцу:
Самостоятельная работа:
Компьютер № 8
1x2x2xx
3x2xx2x3
1xx3xx2
0xx3x3x
4321
4321
4321
4321
27
Решить систему уравнений методом Крамера с помощью программы
MS Excel
3z2y2x3
7z2y3x
3zy4x2
Решение выполнить по образцу:
Самостоятельная работа:
Компьютер № 9
4x2xx2x
4x3xx2
6x3x3
8x3x2xx2
4321
421
31
4321
28
Решить систему уравнений методом Крамера с помощью программы
MS Excel
3z2y2x3
7z2y3x
3zy4x2
Решение выполнить по образцу:
Самостоятельная работа:
Компьютер № 10
7x3x2x
8xxxx
17x2xx3x2
22x4x3x2x
431
4321
4321
4321
29
Решить систему уравнений методом Крамера с помощью программы
MS Excel
3z2y2x3
7z2y3x
3zy4x2
Решение выполнить по образцу:
Самостоятельная работа:
Компьютер № 11
2x6x7x4x
2x2xx2
7x6x3x
4xx5xx2
4321
432
421
4321
30
Решить систему уравнений методом Крамера с помощью программы
MS Excel
3z2y2x3
7z2y3x
3zy4x2
Решение выполнить по образцу:
Самостоятельная работа:
Компьютер № 12
1x2x2xx4
26x2xx4x3
34xx4x3x2
26x4x3x2x
4321
4321
4321
4321