Конспект урока "Объёмы многогранников и тел вращения" 11 класс скачать

Открытый урок

Обобщающий урок

Решение задач по теме:

« Объёмы многогранников и тел вращения»

План урока:

1. организационный момент

2. устная работа

3. просмотр презентации по теме «Объёмы»

4. решение задач в группах

5. тестирование на компьютерах

6. решение задач из групп на кадоскопе и доске

7. подведение итогов урока

8. домашнее задание ( творческая работа по карточкам)

I. устная работа

Дано:

АВСДА

1

В

1

С

1

Д

1

параллелепипед

АА

1

– высота

АА

1

=8 м

S

осн

=12 м

2

Найти: V

параллелепипеда

Решение:

1. V

параллелепипеда

= S

осн

*Н=12*8=96 м

3

Дано:

Конус

d=8 см

l=15 см

Найти: V

конуса

Решение:

V

конуса

=

322

8015)4(

3

1

3

1

3

1

смHRHS

осн





Дано:

цилиндр

V

цилиндра

=

3

24 см



R=2 см

Найти: Н

Решение

V

цилиндра

= S

осн

*Н

см

Sосн

V

H 6

2

2424

22









H

R

Дано:

Пирамида

S

осн

=

25

м

2

Н= 9м

Найти: V

пирамиды

Решение

215925

3

1

3

1

 НSV

осн

м

3

Устная работа

Дано:

АВСДА

1

В

1

С

1

Д

1

параллелепипед

АА

1

– высота

АА

1

=8 м

S

осн

=12 м

2

Найти: V

параллелепипеда

Дано:

Конус

d=8 см

Н=15 см

Найти: V

конуса

Дано:

цилиндр

V

цилиндра

=

3

24 см



R=2 см

Найти: Н

Дано:

Пирамида

S

осн

=

25

м

2

Н= 9м

Найти: V

пирамиды

d

H

R

II. Просмотр презентации по теме «Объёмы».

III. Работа учащихся в группах по карточкам.

Задачи по теме «Объёмы» подобраны из тестовых задач по математике 2005

года.

Задачи для группы №1.

1. Образующая прямого конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под

углом 30

0

. Найдите объём конуса ( В - №11 задание 7 )

2. Основание прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Найдите объём

параллелепипеда, если его высота равна 4 см, а диагональ параллелепипеда

образует с плоскостью основания угол 45

0

. ( В - №9 задание 16 )

3. Найдите объём конуса, полученного вращением равнобедренного

прямоугольного треугольника с гипотенузой

23

см вокруг своего катета.

( В - №10 задание 27 )

4. Объём шара



228

см

3

. Вычислите площадь поверхности шара.

( В - №20 задание 11 )

5. Образующая и радиусы большего и меньшего основания усечённого конуса

равны соответственно 13 см, 11 см, 6 см. Вычислите объём этого конуса.

( В - №16 задание 23 )

6. Найдите объём правильной пирамиды, если боковое ребро равно 3см, а сторона

основания – 4см. ( В - №28 задание 13 )

Задачи для группы №2.

1. Основание пирамиды – квадрат. Сторона основания равна 20 дм, а её высота

равна 21 дм. Найдите объём пирамиды. ( В - №8 задание 21 )

2.Диагональ осевого сечения цилиндра 13 см, высота 5 см. Найдите объём

цилиндра. ( В - №4 задание 14 )

3. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м, 36 м. Определите ребро

куба, равновеликого прямоугольному параллелепипеда. ( В - №15 задание 19 )

4. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см,

ширина – 7 см, а диагональ – 11 см. ( В - №14 задание 8 )

5.Высота цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Найдите боковую поверхность и

объём цилиндра. ( В - №14 задание 12 )

6. Объём шара



228

см

3

. Вычислите площадь поверхности шара.

( В - №20 задание 11 )

IV. Тест по теме: «Объёмы геометрических тел»

1. Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса, на плоскость основания называется:

А) образующей Б) высотой В) диагональю Г) диаметром

2. Гранью куба является: А) ромб Б) прямоугольник В) квадрат Г) параллелограмм

3.Сечение конуса, параллельной плоскости основания будет

А) круг Б) прямоугольный треугольник В) равнобедренный треугольник

4. Прямая призма, в основании которой лежит параллелограмм называется:

А) куб Б) квадрат В) параллелепипедом Г) ромбом

5. Тело, состоящее из двух кругов, совмещенных параллельным переносом, и всех

отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов называется

А)цилиндром Б) конусом В) шаром Г) сферой

6. Объём усеченной призмы равен :

А)

HSV

осн

3

1



Б)

HSV

осн



В) V=abc Г)

HRV

2





7. Объём наклонной призмы равен:

А) V=abc Б) нет верного ответа В)V=SH Г) V=a

3

8. Объём шара выражается формулой:

А)

3

4

RV





Б)

3

4

3

RV





В)

2

3

4

RV





Г)

RV



3

4



9. Объём конуса можно вычислить по формуле:

А)

SV

3

1



Б)

SHV

3

1



В)

HV

3

1



Г)

SHV 

10. Объём цилиндра вычисляется с помощью формулы:

А) V=abc Б)

HRV

2





В)

HRV

2

3

1





Г)

RHV





11. Прямая призма, в основании которой правильный многоугольник называется :

А) многогранником Б) параллелепипедом В) правильной Г) додекаэдром

12. Тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не больше

данного от данной точки, называется:

А) сфера Б) шар В) окружность Г) эллипс

13. Отрезок, соединяющий вершину конуса с точками окружности основания, называется:

А) касательной Б) диаметром В) высотой Г) образующей

14. Границей шара является : А) сфера Б) круг В) радиус Г) овал

15. Тело, состоящее из круга и точки, не лежащей в плоскости этого круга, и всех

отрезков, соединяющих эту точку с точками круга, называется:

А) цилиндром Б) усечённым конусом В) конусом Г) шаром

16. Объём усечённого конуса выражается формулой:

А)

)(

3

1

11

SSSShV 

Б)

HSV

осн



В)

SHV

3

1



Г) V=abc

17. Объём параллелепипеда можно найти по формуле:

А) V=ab Б) V=ac В) V=bc Г) V=abc

18. Объём прямой призмы равен:

А)

HSV

осн



Б)

HSV

осн

3

1



В)

HRV

2





Г)

HRV

2

3

1





19. Объём куба можно вычислить по формуле:

А)

3

4

RV





Б)

SHV

3

1



В)

HRV

2

3

1





Г) V=a

3

20. Объём пирамиды вычисляется с помощью формулы:

А)

)(

3

1

11

SSSShV 

Б)

HSV

осн



В) V=abc Г)

HRV

2





Тестирование проходит на компьютерах, поочерёдно по группам.

Учитель вносит первые оценки в протокол урока.

V. Решение задач.

1. Образующая прямого конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под

углом 30

0

. Найдите объём конуса ( В - №11 задание 7 )

Дано:

Прямой конус

l=4 см – образующая

АВО=30

0

Найти:V

конуса

Решение:

1.

ННSV

оснконуса



2

3

1

3

1



2. cosАВО=

АВ

ВО

ВО=R=АВ*cos30

0

=

см32

2

3

4 

3. треугольник АВО –прямоугольный, напротив угла в

30

0

лежит катет, равный половине гипотенузы,

отсюда следует, что Н= 2 см

4.



82)32(

3

1

2



конуса

V

см

3

Ответ: V=8 см

3

2. Основание прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Найдите объём

параллелепипеда, если его высота равна 4 см, а диагональ параллелепипеда

образует с плоскостью основания угол 45

0

. ( В - №9 задание 16 )

Дано:

АВСДА

1

В

1

С

1

Д

1

прямой параллелепипед

АВСД - квадрат

ВВ

1

– высота

ВВ

1

= 4м

В

1

ДВ=45

0

Найти: V

параллелепипеда

Решение:

1 V=abc=S*H

2 рассмотрим треугольник В

1

ВД;

а) треугольник В

1

ВД – прямоугольный, так как ВВ

1

АВСД,

б) В

1

ДВ=45

0

, отсюда следует ДВ

1

В=45

0

, треугольник В

1

ВД -

равнобедренный ВВ

1

=ВД=4 см

3 треугольник АВД – ьпрямоугольный , так как с воновании АВСД –

квадрат и АВ=АД

пусть АВ=АД=а, по теореме Пифагора

а

2

+а

2

=4

2

2а

2

=16

а

2

=8

а

1

=

22

и

а

2

= -

22

( посторонний корень)

4

324)22(

2

V

см

3

Ответ: объём параллелепипеда равен 32 см

3

3. Найдите объём конуса, полученного вращением равнобедренного

прямоугольного треугольника с гипотенузой

23

см вокруг своего катета.

( В - №10 задание 27 )

В Дано:

Конус

Δ АОВ - прямоугольный,

равнобедренный

Найти: V

кон

А С Решение:

1)

2) Δ АОВ - прямоугольный , равнобедренный



АО=ВО, по т. Пифагора

найдем

R=ОА

Пусть АО = а, тогда

а

2

+ а

2

=

 

2

23

2а

2

=18

cмl 23

HSV

оснкон



3

1

О

R

а

2

=9

а

1

=3 - радиус и высота

а

2

= - 3 п. к.

3)

)(933

3

1

3

1

322

cмHRV

кон





Ответ:

)(9

3

cмV

кон





4. Объём шара



228

см

3

. Вычислите площадь поверхности шара.

( В - №20 задание 11 )

Дано:

шар

3

288 смV

ш





Найти: S пов-ти шара

Решение:

1)

3

4

RV

ш





2)

2

.

4 RS

пов





3)

6216216

216

4

3

288

4288

3







RR

R



4)

)(14464

22

.

cмS

пов





Ответ:

)(144

2

.

cмS

пов





5. Образующая и радиусы большего и меньшего основания усечённого конуса

равны соответственно 13 см, 11 см, 6 см. Вычислите объём этого конуса.

( В - №16 задание 23 )

Дано:

Усечённый конус

R=6 см

R

1

=11 см

l= 13см

Найти: V

Решение:

1)

)(

3

1

11.

SSSShV

конусаусеч



, где S- площадь верхнего основания, S

1

-

площадь нижнего основания,

2





S

2) x=R

1

– R=11-6=5 (см)

3) найдём h по теореме Пифагора

12513

2222

 xlh

(см)

4)



892)66157(4)116116(12

3

1

22

V

(см

3

)

ответ: V= 892 см

3

6. Найдите объём правильной пирамиды, если боковое ребро равно 3см, а сторона

основания – 4см. ( В - №28 задание 13 )

Дано:

SABCD- прав. 4

х

уг.

пирамида

ABCD- квадрат

SA=3 см, AB=4 см

SO- высота

Найти: V

Решение:

1)

НSV

оснпир



3

1

2)

)(164

22

смS

осн



3) треугольник АВС – прямоугольный, АС=

2444

2222

 ВСАВ

смАО=ОС=

22

4) Н, высоту найдём из прямоугольного треугольника АОS,

189)22(3

2222

 AOSASO

см

5) V=

3

1

5116

3

1



см

3

Ответ: объём усечённого конуса равен

3

1

5

см

3

1. Основание пирамиды – квадрат. Сторона основания равна 20 дм, а её высота

равна 21 дм. Найдите объём пирамиды. ( В - №8 задание 21 )

Дано:

SABCD- прав. 4

х

уг.

пирамида,

АВСД – квадрат

SO – высота,

SO = 21дм

АВ= 20 дм

Найти: V

Решение:

1

НSV

оснпирам иды



3

1

2

28002120

3

1

2



пирам иды

V

дм

3

Ответ: V=2800 дм

3

2. Диагональ осевого сечения цилиндра 13 см, высота 5 см. Найдите объём

цилиндра. ( В - №4 задание 14 )

Дано:

Цилиндр

АВСД – осевое сечение

АС= 13 см

Н=СД= 5 см

Найти: V

Решение:

1) V=S

осн

*Н=

Н

2



2) Треугольник АСД – прямоугольный, по теореме Пифагора

12513

22

АД



3) АД=2R R=6 см

4)



18056

22

 HV

см

і

Ответ: объём цилиндра равен



180

см

3

3. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м, 36 м. Определите ребро

куба, равновеликого прямоугольному параллелепипеда. ( В - №15 задание 19 )

Дано:

Куб куб, параллелепипед,

а=15 м

с=50 м

в=36 м.

V

куб

= V

пар

Найти:

сторону куба

Решение:

1) V

пар-да

=авс

V

куба

=а

3

V

пар-да

=V

куб

(по условию)

2)

V

пар-да

=15*36*50=27000 см

3

3)

а=

cмV 3027000

33



Ответ: а куба= 30 см.

В-16 №23

Дано:

Усеч конус

R =6 см

R

1

=11 см

l = 13 см

Найти:V

усеч конуса

Решение:

1)

)(

3

1

11

SSSShV

усечкон



,

2

1

,

RS

ованиеверхнееоснS

ваниенижнееосноS







2) х=R

1

-R=11-6=5 (см)

3) Найдем h по т. Пифагора h=√l

2

-x

2

= √13

2

-5

2

= 12 (см)

4)

)(892)66157(4116116(12

3

1

32222

смV





Ответ: V=892π см

3

VI. Подведение итогов урока

VII. Домашнее задание

Объемы тел вращения

1. Отрезок CD, концы которого лежат на разных окружностях оснований цилиндра, пересекает ось цилиндра под углом 60°.

Найдите объем цилиндра, если CD=8 см

а) 84 см

3

б) 723 см

3

в) 363 см

3

г) 48 см

3

2. Объем цилиндра равен 60 см

3

, а площадь осевого сечения 24 см

2

. Найдите радиус основания цилиндра.

а) 42 см б) 6 см

3

в) 5 см г) 8 см

3. Плоскость, проходящая через вершину конуса и хорду CD основания, образует с основанием угол, равный 60°, и удалена от

центра основания на 6 см. Найдите объем конуса, если длина хорды CD равна 4 см.

а) 1723 см

3

б) 1803 см

3

в) 208 см

3

г) 192 см

3

4. Объем конуса равен 18 дм

3

. Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник. Найдите высоту конуса.

а) 3 2 дм б) 22 дм в) 23 дм г) 3 3 дм

5. Шар касается сторон треугольника МКР, причем МК = 4 см, МР = 5 см, КР = 7 см. Центр шара – точка О находится от

плоскости треугольника МКР на расстоянии, равном

10

/

2

см. Найдите объем шара.

а) 15 см

3

б)

32

/

3

 см

3

в) 12 см

3

г) 82 см

3

6. Равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и углом при вершине 120° вращается вокруг оси, содержащей

боковую сторону. Найдите объем фигуры вращения.

а) 140 см

3

б) 1402

 см

3

в) 1363  см

3

г) 250 см

3

7. Алюминиевый шар объемом 36 см

3

переплавили в равновеликий конус, образующая которого равна 35 см. Найдите

высоту этого конуса, если она не более 4 см.

а) 2,5 см б) 10

см в) 3 см г) 23 см

8. Внутри прямоугольного параллелепипеда лежит шар таким образом, что он касается трех граней, имеющих общую вершину.

Найдите расстояние от центра шара до этой вершины, если объем шара равен 32/3 см

3

.

а) 33 см б) 23 см в) 32 см г) 22 см

Объёмы многогранников.

1. Диагональ куба равна 15см. Найдите объём куба. А)

3

3225 см

Б)

3

3375 см

В)

3

3625 см

Г) 450см

3

2. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 1дм и

32

дм, а угол между ними равен 30

0

.

Найдите объём параллелепипед, если площадь большего сечения параллелепипеда равна

2

83 дм

.

А)

3

22 дм

Б)

3

34 дм

В)

3

33 дм

Г)

3

6дм

3. Все рёбра наклонного параллелепипеда равны, причём боковое ребро образует с плоскостью

основания угол, равный 45

0

. Меньшая диагональ основания равна

см24

, а один из углов 120

0

.

Найдите объём параллелепипеда, если меньшее диагональное сечение перпендикулярно основанию. А)

3

364 см

Б) 84 см

3

В)

3

272 см

Г)

3

284 см

.

4. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы образует с основанием угол, равный 30

0

.

Найдите объём призмы, если площадь боковой поверхности призмы равна

3

372 см

.

А)

3

3120 см

Б)

3

684 см

В)

3

2108 см

Г)

3

696 см

5. В основании прямой призмы СДЕКС

1

Д

1

Е

1

К

1

лежит равнобедренная трапеция, ДЕ параллельна СК,

причём ЕК=6 см, СК=10 СМ. Диагональ призмы СЕ

1

образует с основанием угол 45

0

, а плоскости СС

1

Е

1

и КЕЕ

1

перпендикулярны. Найдите объём призмы. А)

3

3240 см

Б) 300 см

3

В) 272,8

см

3

Г) 245,76 см

3

.

6. Диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды является прямоугольным

треугольником. Площадь которого равна 24 см

2.

Найдите объём пирамиды.

А)

3

340 см

Б)

3

632 см

В)

3

248 см

Г) 54 см

3

7. В треугольной пирамиде MNKP MN┴MK и MK┴MP, а угол PMN равен 60

0

. Найдите объём

пирамиды ,

если MN=

см32

, MK=12 см, РМ=4 см.

А) 28см

3

Б)

3

318 см

В) 24 см

3

Г)

3

620 см

8. Через точку В бокового ребра пирамиды проведена плоскость, параллельная плоскости

основания, причём объём образовавшейся усечённой пирамиды равен 372 см

3

. Найдите объём

пирамиды, если точка В делит ребро пирамиды в отношении 1:4, считая от вершины.

А)

3

5240 см

Б)

3

3300 см

В) 375 см

3

Г) 420 см

3

Конспект урока "Объёмы многогранников и тел вращения" 11 класс

Математика - еще материалы к урокам:

Предметы

Похожие материалы