Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Комбинаторные задачи и их решение"

Комбинаторные задачи и их решение
Правило суммы: Если объект а можно выбрать m способами, а объект b - k способами (не
такими, как а), то выбор "либо а, либо b" можно осуществить m+k способами.
Пример 1. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать
один плод?
5+4=9 способами.
Правило произведения: Если объект а можно выбрать m способами, а объект b - k
способами, то пару (а,b) можно выбрать m*k способами.
Пример 2. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать пару
плодов, состоящую из яблока и апельсина?
5*4=20 способами.
Упражнение1. Сколько всего двузначных чисел можно составить из цифр 7, 4 и 5 при
условии, что они в записи числа не повторяются. (3*2=6)
Упражнение2. Сколько всего трехзначных чисел можно составить из цифр 7, 4 и 5?
(3*3*3=27)
Упражнение3. Сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 3?
(1*2*2*2=8)
Виды комбинаций
Определение
Формула
Пример
Размещения с
повторениями из k
элементов по m
элементов
Размещения с
повторениями из k
элементов по m
элементов - это
кортеж,
составленный из m
элементов k-
элементного
множества.
Сколько двузначных
чисел можно записать,
используя цифры 7, 4 и 5.
Так как речь идет о
размещениях с
повторениями из трех
элементов по два, то
Размещения без
повторений из k
элементов по m
элементов
Размещения без
повторений из k
элементов по m
элементов - это
кортеж,
составленный из m
неповторяющихся
элементов множества,
в котором k
элементов


Сколько двузначных
чисел можно записать,
используя цифры 7, 4 и 5,
чтобы цифры в записи
числа не повторялись?
Перестановки без
повторений из k
элементов
Размещения из k
элементов по k
элементов называют
перестановками из k
элементов без
повторений
P
k
=k!, где
k!=1*2*3*...*k и читают
k факториал
Сколько всевозможных
трехзначных чисел
можно записать,
используя цифры 7, 4 и 5,
чтобы цифры в записи
числа не повторялись?
3!=1*2*3=6
Сочетания без
повторений из k
элементов по m
элементов
Сочетания без
повторений из k
элементов по m
элементов - это m-
элементное
подмножество
На прямой взяли десять
точек. Сколько всего
получилось отрезков,
концами которых
являются эти точки?
множества,
содержащего k
элементов





Решите предложенные задачи:
1. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе -
мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье - чай и компот.
Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?
2. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9?
3. Сколькими способами 7 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?
4. Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки
нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр?
5. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 3 членов, можно образовать из 10
преподавателей?
6. Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они
рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?
7. В 8 “а” классе лучше всех математику знают 5 учеников: Вася, Дима, Олег, Катя и Аня.
На олимпиаду по математике нужно отправить пару, состоящую из 1 мальчика и 1
девочки. Сколькими способами учительница может эту пару выбрать?
8. В 9 “б” классе 6 человек (Галя, Света, Катя, Оля, Максим, Витя) учатся на все пятерки.
Департамент образования премировал лучших учащихся путевками в Анапу. Но, к
сожалению, путевок всего четыре. Сколько возможно вариантов выбора учеников на
отдых?
9. На выборах победили 9 человек - Сафонов, Николаев, Петров, Кулаков, Мишин, Гусев,
Володин, Афонин, Титов. Из них нужно выбрать председателя, заместителя и профорга.
Сколькими способами это можно сделать?
10. В районе построили новую школу. Из пришедших 25 человек нужно выбрать директора
школы, завуча начальной школы, завуча среднего звена и завуча по воспитательной
работе. Сколькими способами это можно сделать?
11. В кабинете заведующего ювелирного магазина имеется код, состоящий из двух различных
гласных букв русского алфавита, за которой следуют 3 различные цифры. Сколько
вариантов придется перебрать мошеннику, чтобы раздобыть драгоценности, которые там
хранятся?
12. В 9 классе 15 предметов. Завучу школы нужно составить расписание на субботу, если в
этот день 5 уроков. Сколько различных вариантов расписания можно составить, если все
уроки различные?
13. Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?
14. Сколько существует четырёхзначных пин-кодов?
Самостоятельная работа:
1. Восемь студентов обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?
2. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг из пяти
различных по цвету отрезков материи?
3. Сколько имеется вариантов составления расписания на понедельник, если
предметов у студентов 9, а в понедельник четыре пары занятий и предметы не
повторяются?
4. Сколькими способами можно расставить на книжной полке девять книг, среди
которых есть трехтомник А.С. Пушкина?
5. Сколькими способами можно назначить в группе из 30 человек 3 дежурных?
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: