Презентация "Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом"


Подписи к слайдам:
Слайд 1

  • Презентация к занятию
  • по математике
  • «Аксиомы стереометрии.
  • Некоторые следствия из аксиом."

  • - Что такое геометрия?
  • Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур
  • «Геометрия» - (греч.) – «землемерие»
  • - Что такое планиметрия?
  • Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости.
  • А
  • а
  • Основные понятия планиметрии:
  • точка
  • прямая
  • - Основные понятия планиметрии?

  • Стереометрия
  • - раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве

  • Основные фигуры в пространстве:
  • точка прямая плоскость
  • α
  • β
  • Обозначение: А; В; С; …; М;…
  • а
  • А
  • В
  • М
  • N
  • Р
  • Обозначение: a, b, с, d…, m, n,…(или двумя заглавными латинскими)
  • Обозначение: α, β, γ…
  • Ответьте на вопросы по рисунку:
  • 1. Назовите точки, лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β.
  • 2. Назовите прямые, лежащие в плоскости β; не лежащие в плоскости β

  • Некоторые геометрические тела.
  • А
  • В
  • С
  • Д
  • Д1
  • С1
  • В1
  • А1
  • куб
  • А
  • В
  • С
  • Д
  • А1
  • В1
  • С1
  • Д1
  • параллелепипед
  • А
  • В
  • С
  • Д
  • тетраэдр
  • цилиндр
  • конус

  • Назовите какие геометрические тела вам напоминают предметы, изображенные на этих рисунках:
  • Назовите предметы из окружающей вас обстановки ( нашей классной комнаты) напоминающие вам геометрические тела.

  • Практическая работа.
  • 1. Изобразите в тетради куб (видимые линии – сплошной линией, невидимые – пунктиром).
  • 2. Обозначьте вершины куба заглавными буквами АВСДА1В1С1Д1
  • А
  • В
  • С
  • Д
  • Д1
  • С1
  • В1
  • А1
  • 3. Выделите цветным карандашом:
  • вершины А, С, В1, Д1
  • отрезки АВ, СД, В1С, Д1С
  • диагонали квадрата АА1В1В

  • - Что такое аксиома?
  • Аксиома – это утверждение о свойствах геометрических фигур, принимается в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия.
  • Аксиомы планиметрии:
  • - через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
  • из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими.
  • имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой…

  • Аксиомы стереометрии.
  • А
  • В
  • С
  • А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.
  • α

  • Если ножки стола не одинаковы по длине, то стол стоит на трех ножках, т.е. опирается на три «точки», а конец четвертой ножки (четвертая точка) не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.

  • Аксиомы стереометрии.
  • А
  • В
  • α
  • А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости.
  • Говорят: прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

  • а
  • М
  • Прямая лежит в плоскости
  • Прямая пересекает плоскость
  • Сколько общих точек имеют прямая и плоскость?

  • Аксиомы стереометрии.
  • α
  • β
  • А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Говорят: плоскости пересекаются по прямой.
  • А
  • а

  • Решить задачи: №1(а,б); 2(а)
  • А
  • В
  • С
  • Д
  • Р
  • Е
  • К
  • М
  • А
  • В
  • С
  • Д
  • А1
  • В1
  • С1
  • Д1
  • Q
  • P
  • R
  • К
  • М
  • Назовите по рисунку:
  • а) плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, ДВ, АВ, ЕС; б) точки пересечения прямой ДК с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью АДВ.
  • а) точки, лежащие в плоскостях ДСС1 и ВQС

  • Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.
  • Дано:
  • а, М ¢ а
  • Доказать:
  • (а, М) с α
  • α- единственная
  • а
  • М
  • α
  • Доказательство :
  • 1. Р, О с а; {Р,О,М} ¢ а
  • Р
  • О
  • По аксиоме А1: через точки Р, О, М проходит плоскость .
  • По аксиоме А2: т.к. две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости, т.е. (а, М) с α
  • 2. Любая плоскость проходящая через прямую а и точку М проходит через точки Р, О, и М, значит по аксиоме А1 она – единственная. Ч.т.д.
  • Некоторые следствия из аксиом:

  • Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
  • Дано:
  • а∩b
  • Доказать:
  • 1. (а∩b) с α
  • 2. α- единственная
  • а
  • b
  • М
  • Н
  • α
  • Доказательство:
  • 1.Через а и Н а, Н b проходит плоскость α.
  • (М , Н) α, (М,Н) b, значит по А2 все точки b принадлежат плоскости.
  • 2. Плоскость проходит через а и b и она единственная, т.к. любая плоскость, проходящая через прямые а и b, проходит и через Н, значит α – единственная.

  • Решить задачу № 6
  • А
  • В
  • С
  • α
  • Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.
  • Доказательство:
  • 1. (А,В,С) α, значит по А1 через А,В,С проходит единственная плоскость.
  • 2. Две точки каждого отрезка лежат в плоскости, значит по А2 все точки каждого из отрезков лежат в плоскости α.
  • 3. Вывод: АВ, ВС, АС лежат в плоскости α
  • 1 случай.
  • А
  • В
  • С
  • α
  • 2 случай.
  • Доказательство:
  • Так как 3 точки принадлежат одной прямой, то по А2 все точки этой прямой лежат в плоскости.

  • Задача.
  • А
  • В
  • С
  • Д
  • М
  • О
  • АВСД – ромб, О – точка пересечения его диагоналей, М – точка пространства, не лежащая в плоскости ромба. Точки А, Д, О лежат в плоскости α.
  • Определить и обосновать:
  • Лежат ли в плоскости α точки В и С?
  • Лежит ли в плоскости МОВ точка Д?
  • Назовите линию пересечения плоскостей МОВ и АДО.
  • Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 4 см, а угол равен 60º. Предложите различные способы вычисления площади ромба.

  • А
  • В
  • С
  • Д
  • 60º
  • 4
  • 4
  • 4
  • 4
  • SАВСД = АВ · АД · sinA
  • SАВСД = (ВД · АС):2
  • Формулы для вычисления площади ромба:
  • ∆АВД = ∆ВСД (по трем сторонам), значит SАВД = SВСД.

  • Математический диктант
  • Как называется раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве?
  • Назовите основные фигуры в пространстве.
  • Сформулируйте аксиому А2.
  • Сформулируйте аксиому А3.
  • Могут ли прямая и плоскость иметь две общие точки?
  • Сколько плоскостей можно провести через одну точку?
  • 1 вариант
  • 2 вариант
  • Как называется раздел геометрии, изучающий фигуры на плоскости?
  • Назовите основные фигуры на плоскости.
  • Сформулируйте аксиому А1.
  • Сколько плоскостей можно провести через прямую и не лежащую на ней точку?
  • Сколько может быть точек у прямой и плоскости?
  • Могут ли прямая и плоскость иметь одну общую точку?

  • Устная работа.
  • А
  • В
  • С
  • Д
  • А1
  • В1
  • С1
  • Д1
  • α
  • Дано: куб АВСДА1В1С1Д1
  • Найдите:
  • Несколько точек, которые лежат в плоскости α;
  • Несколько точек, которые не лежат в плоскости α;
  • Несколько прямых, которые лежат в плоскости α;
  • Несколько прямых, которые не лежат в плоскости α;
  • Несколько прямых которые пересекают прямую ВС;
  • Несколько прямых, которые не пересекают прямую ВС.

  • Устная работа.
  • А
  • В
  • С
  • Д
  • А1
  • В1
  • С1
  • Д1
  • α
  • Прямые АА1, АВ, АД проходят через точку А, но не лежат в одной плоскости
  • Лежат ли прямые АА1, АВ, АД в одной плоскости?

  • Задача
  • А
  • В
  • С
  • Д
  • А1
  • В1
  • С1
  • Д1
  • М
  • N
  • F
  • К
  • Дано: куб АВСДА1В1С1Д1
  • т.М лежит на ребре ВВ1, т.N лежит на ребре СС1 и точка К лежит на ребре ДД1
  • а) назовите плоскости, в которых лежат точки М; N.
  • б) найдите т.F-точку пересечения прямых МN и ВС. Каким свойством обладает точка F?
  • в) найдите точку пересечения прямой КN и плоскости АВС
  • О
  • г) найдите линию пересечения плоскостей МNК и АВС

  • А
  • В
  • С
  • Д
  • О
  • Повторение.
  • Формула для вычисления площади четырехугольника.

  • Задача
  • α
  • А
  • В
  • С
  • Д
  • О
  • Докажите, что все вершины четырехугольника АВСД лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВД пересекаются.
  • Вычислите площадь четырехугольника, если АС┴ВД, АС = 10см, ВД = 12см.
  • Доказательство:
  • 1. (АС ∩ ВД) =α АС α, ВД α, (А, В, С, Д ) α
  • 2. SАВСД = АС · ВД · sin90º = 10 · 12 = 120 (см2)
  • Ответ: 120 см2

  • А
  • В
  • С
  • Д
  • А1
  • В1
  • С1
  • Д1
  • Задача
  • Как построить точку пересечения плоскости АВС с прямой Д1Р?
  • Как построить линию пересечения плоскости АД1Р и АВВ1?
  • Вычислите длину отрезков АР и АД1, если АВ = а
  • Р
  • К

  • 1 уровень
  • А
  • В
  • С
  • S
  • К
  • М
  • N
  • 1. Пользуясь данным рисунком, назовите: а) четыре точки, лежащие в плоскости SАВ; б)плоскость, в которой лежит прямая МN; в) прямую по которой пересекаются плоскости SАС и SВС.
  • 2. Точка С – общая точка плоскости и . Прямая с проходит через точку С. Верно ли, что плоскости и пересекаются по прямой с. Ответ объясните.
  • 3. Через прямую а и точку А можно провести две различные плоскости. Каково взаимное расположение прямой а и точки А. Ответ объясните.
  • 2 уровень
  • S
  • А
  • В
  • С
  • Д
  • Е
  • F
  • 1. Пользуясь данным рисунком назовите: а) две плоскости, содержащие прямую ДЕ; б) прямую, по которой пересекаются плоскости АЕF и SВС; в) плоскости, которые пересекает прямая SВ.
  • 2. Прямые а, b и с имеют общую точку. Верно ли, что данные прямые лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.
  • 3. Плоскости и пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости и пересекает плоскость . Каково взаимное расположение прямых а и с?

  • А
  • В
  • С
  • Д
  • А1
  • В1
  • С1
  • Д1
  • Уровень 3 (на карточках)
  • 1. Пользуясь данным рисунком, назовите: а) две плоскости, содержащие прямую В1С; б) прямую, по которой пересекаются плоскости В1СД и АА1Д1; в) плоскость, не пересекающуюся с прямой СД1.
  • 2. Четыре прямые попарно пересекаются. Верно ли, что если любые три из них лежат в одной плоскости, то все четыре прямые лежат в одной плоскости? Ответ объясните.
  • 3. Вершина С плоского четырехугольника АВСД лежит в плоскости , а а точки А, В, Д не лежат в этой плоскости. Прямые АВ и АД пересекают плоскость в точках В1 иД1 соответственно. Каково взаимное расположение точек С, В1 и Д1 ? Ответ объясните.

  • Домашнее задание: пункты 1-3 прочитать.
  • Решить задачи:
  • Прямые а и b пересекаются в точке О, А а, В b, Р АВ. Докажите, что прямые а и b и точка Р лежат в одной плоскости.
  • На данном рисунке плоскость содержит точки А, В, С, Д, но не содержит точку М. Постройте точку К – точку пересечения прямой АВ и плоскости МСД. Лежит ли точка К в плоскости .
  • А
  • В
  • С
  • Д
  • М