Конспект урока "Рациональные выражения"


Тема: Рациональные выражения
Урок: Тождества
Тип урока: Изучение нового материала
Номер урока в разделе «Уравнения и системы уравнений»: 3
Цели урока
Образовательные:
ознакомить и первично закрепить понятия «тождественно равные
выражения», «тождество», «тождественные преобразования»;
рассмотреть способы доказательства тождеств, способствовать выработке
навыков доказательства тождеств;
проверить усвоение учащимися пройденного материала, сформировывать
умения применения изученного для восприятия нового.
Развивающая: развивать мышление, речь учащихся.
Воспитательная: воспитывать трудолюбие, аккуратность, правильность записи
решения упражнений.
Тип урока: изучение нового материала
Оборудование: проектор, презентация, доска, учебник, рабочая тетрадь.
План урока
Организационный момент (нацелить учащихся на урок)
Проверка домашнего задания (коррекция ошибок)
Изучение нового материала (Ознакомление и первичное закрепление
понятий «тождество», «тождественные преобразования»).
Тренировочные упражнения (Формирование понятий «тождество»,
«тождественные преобразования»).
Подведение итогов урока (Обобщить теоретические сведения,
полученные на уроке).
Сообщение домашнего задания (Разъяснить содержание домашнего
задания)
Ход урока
I. Организационный момент.
Проверка домашнего задания.
II. На данном уроке мы сформируем понятие и дадим определение тождества,
сформулируем его отличия от уравнения. Кроме того, мы научимся определять
допустимые значения переменных. Мы решим различные примеры, связанные с
тождествами и тождественными преобразованиями.
1. Формулировка понятия тождества
Рассмотрим примеры.
Пример 1:
;
Данное уравнение мы решали методом выделения полного квадрата и получили
корни х = 7 или х = 3
Пример 2:
;
Данное уравнение мы также решали методом выделения полного квадрата и
получили ответ х = 3 или х = -1.
Это означает, что в случае примера 1 только при х = 7 или х = 3 уравнение
превращалось в верное числовое равенство, для второго примера только при х =
3 или х = -равнение превращалось в верное числовое равенство.
Повторим ход решения примера 1. После преобразований мы получили
уравнение (х - 3)(х - 7) = 0, из которого явно видно, что х = 7 и х = 3 являются
решениями данного уравнения.
Уравнение из примера 2 раскладывалось так: (х - 3)(х + 1) = 0 и отсюда тоже
явно следует ответ.
Для нас важно то, что приведенные выше выражения справедливы каждое
только для своей пары значений переменной и эти значения имеют название
корни уравнения.
Но существуют такие выражения, которые справедливы при любых значениях
переменных, которые в них входят. Рассмотрим примеры:
Пример 3:
;
Подставив в выражение любые значения а и b, мы получим верное числовое
равенство.
Пример 4:
;
Формула квадрата разности утверждает, что данное выражение справедливо при
любых значениях х.
Выражения из примеров 3 и 4 мы будем называть тождествами. Подобных
примеров можно привести очень много:
Пример 5:
;
Данное выражение также справедливо при любых значениях переменных
В этом и заключается принципиальное отличие уравнения от тождества.
Тождество это такое равенство, которое верно при любых значениях
переменных, которые в него входят, уравнение же справедливо только при
некоторых значениях переменных.
Уточним, что значит любые значения переменных. Рассмотрим элементарное
равенство:
х = х;
какое бы значение х не принимал, равенство будет справедливым.
Разделим обе стороны на х - 1
Данное выражение будет справедливо при любых х, кроме х - 1, потому что в
знаменателе обеих дробей стоит двучлен х - 1, и эти дроби определены, то есть
их можно вычислить, только если знаменатель не равен нулю: х -1 0, то есть х
≠ 1.
Пример 6:
Данное выражение является тождеством, так как оно справедливо во всех
случаях кроме тех, когда знаменатель равен нулю. То есть, оно справедливо при
всех х, кроме х= -3, так как в этом случае дробь не имеет смысла.
2. Решение простых примеров
Итак, появились значения переменных, при которых даже само выражение не
имеет смысла, в связи с этим скорректируем определение тождества: тождество
это выражение, обращающееся в верное равенство при всех допустимых
значениях переменных, которые в него входят.
Рассмотрим задачи.
Пример 7 – доказать тождество:
;
Мы уже встречались с подобными примерами, говорили, что (-t)
2
= (t)
2
.
Теперь докажем, что выражение под квадратом можно умножить на минус
единицу и получится верное равенство. Для этого в заданном выражении
раскроем скобки:
;
Мы знаем, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется, таким образом,
тождество доказано.
Но его можно доказать и другим способом:
;
Пример 8:
;
Преобразуем левую часть:
;
После преобразований получаем:
;
Тождество доказано.
Заметим, что тождественные преобразования это те преобразования, при
которых одно выражение заменяется другим, тождественно ему равным.
Пример 9:
;
Есть два способа решения данной задачи. Первый – это напрямую в левой части
раскрыть квадрат, выполнить умножение одночлена на двучлен, привести
подобные члены и посмотреть, окажется ли выражение тождеством или нет.
Второй способ – преобразовать левую часть при помощи метода вынесения
общего множителя:
;
Теперь мы видим, что левая часть – это разность квадратов. Преобразует ее:
;
Получаем выражение:
;
Тождество доказано.
Пример 10 – доказать, что если А = 2х 1, В = 3х + 1, С = , то выражения А +
В + С и С В - А тождественно равны при любых значениях х.
Рассмотри два заданных выражения. В первом А + В стоят с плюсом, а С с
минусом, во втором наоборот С стоит с плюсом, а А + В стоят с минусом,
значит первое выражение равно второму, взятому с противоположным знаком.
То есть имеем некоторое выражение а:
, , ,
подставим значения A, B и С в заданное выражение:
;
Упростим выражение:
;
Приведем подобные члены:
;
;
Тождество доказано.
3. Решение примеров с определением допустимых значений переменных
Пример 11 установите, является ли данное равенство тождеством и если да, то
укажите допустимые значения переменных:
Начнем с определения допустимых значений х:
х
2
2х ≠ 0, х- 2) ≠ 0, х ≠ 0 и х ≠ 2;
Получили, что все значения х, кроме х = 0 и х = 2 являются допустимыми, так
как в этих двух точках знаменатель обращается в ноль и дробь не имеет смысла.
Теперь нужно упростить выражение в левой части. Это алгебраическая дробь и
мы знаем, что нужно разложить на множители входящие в нее многочлены и
сократить. В числителе применим формулу разности квадратов, а знаменатель
оставим:
Получаем:
;
Данное выражение является тождеством при всех значениях х, кроме х=0 и х=2.
Пример 12 - установите, является ли данное равенство тождеством и если да, то
укажите допустимые значения переменных: