Конспект урока "Квадратный корень. Теорема о квадратном корне из произведения и дроби" 8 класс


Конспект урока- изучения нового.
«Квадратный корень.
Теорема о квадратном корне из произведения и
дроби»
Тип урока: урок- изучение нового
2
Цель (учебная задача): « открыть», сформулировать и доказать теоремы о
квадратном корне из произведения и дроби. И научить применять в
стандартных ситуациях.
В результате ученик:
знает о существовании теорем о квадратном корне из произведения и
квадратном корне из дроби
осознает и обосновывает каждый шаг в выполненных преобразованиях
выражений, содержащих корень
обосновывает каждый шаг доказательства теоремы о квадратном корне
из дроби и произведения.
Метод обучения: УДЕ
Форма работы: фронтальная
Ход урока:
1. актуализация
2. мотивация
3. постановка целей
4. работа с теоремами
5. рефлексивно-оценочный этап
Здравствуйте, ребята!
Квадратным корнем из числа а
3
Вспомните определение квадратного
корня.
Известно, что √а=в. Получите
следствия.
Решим упражнение:
Верно ли равенство?
1. √16=4
2. √0=0
3. √25=-5
Почему?
4.√25=3
Почему?
5. √5
2
=5
6. √(-27)
2
=-27
Вычислить:
1. √81=
2. √(16/25)=
3. √0,16=
4. √(4/9)=
5. (5·4)
2
=
Чем вы воспользовались?
Как это свойство запишется в
буквенном виде?
Запишите в буквенном виде свойство
степени для дроби
Например: (2/3)
2
=
Как другим способом вычислить
(2/3)
2
=
Сравните числа:
1) √8 и √7
2) √2 и √5
3) √3·√27 и √63
Почему испытываете затруднение?
В каком случае вопроса не возникло
бы?
Как думаете, какую задачу надо
решить?
Вычислить:
называется такое неотрицательное
число, квадрат которого равен а.
√а=в
1)в>0
2)в
2
Да
Да
Нет
-5<0
нет
3
2
≠25
Да
Нет. -27<0
9
4/5
0,4
2/3
5
2
·4
2
=25·16
Свойством степени для произведения
(а · в)
n
n
· в
n
/в)
n
n
/ в
n
4/9
2
2
=4
3
2
9
Т.к. 8>7, то √8>√7
Т.к. 5>2 то √5>√2
(?)
Первое число является произведением
корней.
Если бы первое число было одним
корнем
Найти способ сведения произведения
корней к одному корню
4
√9·25= √9· √25=
√0,01·16= √0,01·√16=
Как выполнить:
√9·25=
√9· √25=
Следующий пример:
√0,01·16=
√0,01·√16=
Ребята, посмотрите, пожалуйста, на
первую таблицу. Какое возникает
предположение?
Да, а в буквальном виде?
Для любых ли чисел а и в это
выполнимо?
√(-4)·25=
Почему?
Т.е как наша гипотеза будет звучать
вместе с дополнением?
Вернемся к свойствам степени
Как возводим произведение в
степень?
Как возводим дробь в степень?
Как связаны между собой возведение
в степень и корень?
Умножение и деление?
Какое возникает предположение?
Запишем в буквенном виде:
Для любого а и в выполняется?
Для в>0?
Все согласны?
Почему?
Итак, как звучит наша гипотеза
√255= 15
3·5=15
√0,16=0,4
0,1·4=0,4
√9·25= √9· √25
√0,01·16= √0,01·√16
√а · в= √а · √в
Да, нет
Не имеет значения
√(-4) не существует
Корень из произведения
неотрицательных чисел есть
произведение корней из этих
множителей.
√а · в= √а · √в
а>0, в>0
Возводим в степень каждый множитель
и перемножаем
Возводим числитель в степень и делим
на знаменатель, возведенный в степень
Корень является обратной операцией
для степени
Деление обратная операция для
умножения
√а/в= √а / √в
Нет. Только для а>0, в>0
нет
на 0 делить нельзя
√а/в= √а / √в
5
теперь, когда появились
существенные дополнения?
Что у нас есть на данный момент?
Мы можем судить об их истинности?
Чтобы судить об истинности гипотез
необходимо их доказать.
Что нам нужно доказать?
Чем является √а · √в по отношению к
√а· в
а>0, в>0
Исходя из определения квадратного
корня, что мы должны доказать?
Хорошо! Почему мы можем сделать
вывод, что (√а · √в)
2
= ав
Хорошо! Из 1) и 2) какой сделаем
вывод?
Мы доказали?
Какими теоретическими положениями
мы воспользовались?
Гипотеза о свойстве корня из дроби
доказывается аналогично.
Что нам нужно доказать?
Чем является √а / √в по отношению к
√а/ в
а>0, в>0
Исходя из определения квадратного
корня, что мы должны доказать?
План доказательства обсудили,
а>0, в>0
Корень из дроби равен корню из
числителя, деленному на корень из
знаменателя.
Две гипотезы о свойстве квадратного
корня
Нет
√а · в= √а · √в
а>0, в>0
Квадратным корнем
1) √а · √в>0
2) (√а · √в)
2
= ав
а>0, √а – имеет смысл, √а >0
в>0, √в – имеет смысл, √в >0
Произведение неотрицательных чисел
равно неотрицательному числу
1)по свойству степени о произведении
2) р>0, то (√р)
2
= р
√к · √n>0
(√к · √n)
2
= к · n ,следовательно
(√к · n= √к · √n
Да.
Определением квадратного корня и
свойством степени
√а / в= √а · √в
а>0, в>0
Квадратным корнем
1) √а / √в>0
2) (√а / √в)
2
= а/в
а>0, √а – имеет смысл, √а >0
в>0, √в – имеет смысл, √в >0
Частное неотрицательных чисел равно
неотрицательному числу
6
гипотезу доказать дома.
Итак, истинность гипотез доказана.
Мы получили теоремы.
Выделите в теореме о корне из
произведения условие и заключение.
Прочтите это свойство слева направо:
Справа налево:
Теперь в теореме о корне из дроби
выделите условие и заключение:
Теперь прочитайте свойство слева
направо
Справа налево:
Теперь решим упражнения:
1)√16 ·4=
2)√12·3=
Не всегда удобно сразу пользоваться
свойством, иногда удобнее
представить сначала произведение в
виде произведения чисел, из которых
корень извлекается
3)√36·√100=
4) √3·√12=
5)√2·√32=
6)√25/36=
7) √100/121=
8) √72/√2=
9) √27/√3=
Верно ли равенство?
1) √64/25=8/5
Как можно проверить?
Каким еще способом?
Как?
Верно?
2) √25·(121/144)=5(11/12)
|если а>0 и в>0 |, то |√а · в= √а · √в |
Корень из произведения
неотрицательных чисел есть
произведение корней из этих
множителей.
Произведение корней неотрицательных
множителей равно корню из
произведения этих множителей.
|если а>0 и в>0 |, то |√а /в= √а /√в |
Корень из дроби равен корню из
числителя, деленному на корень из
знаменателя.
Корень из числителя, деленного на
корень из знаменателя равен корню из
дроби.
√16·√4=4·2=8
√12·3=4·2
6·10=60
√3·12=√36=6
√2·32=√64=8
√25/√36=5/6
√100/√121=10/11
√72/2=√36=6
√27/3=√9=3
Да, нет
Воспользоваться свойством
По определению
8/5 возвести в квадрат и сравнить с
подкоренным выражением
да
7
Как проверили?
3) √25+(121/144)=5+(11/12)
Что нужно сделать, чтобы проверить?
5 +(11/12)
2
=25+2·5·(4/11)+(121/144)
Хорошо, это не равно 25+(121/144)?
4)√1(69/100)=13/10
Как можно преобразовать
подкоренное выражение, чтобы
можно было воспользоваться
свойством. Какой ответ получили?
5) √1¼=1½
Как доказать?
(1½)
2
=9/4
6)√(3·48)·25=√3·48·√25
Теорема справедлива для любого
числа неотрицательных множителей
7)√16·9·25=·√16·√9·√25=4·3·5
(4·3·5)=16·9·25
8)√9/36=3/36
(3/36)
2
≠9/36
Вернемся к началу нашего урока, к
сравнению чисел
√3·√27 и √63
Теперь мы можем выполнить это
задание?
Чем нужно воспользоваться?
√81 и √63
Какие цели были нами поставлены в
начале урока?
Мы изучили?
Для чего же нам нужны свойства
Еще раз вспомним эти свойства.
Запишите домашнее задание 342(2,4),
343(2,5), 344(2), 345(3), 346(2), 363(2),
364(2,4), 365(2).
Воспользовались свойством
Да, нет
5 +(11/12) возвести в квадрат
Да, нет
Представить 1(69/100) в виде
неправильной дроби
верно
а)1½>
б) (1½)
2
=(5/2)
2
=9/4=2¼
2¼≠1¼
да
(√3·48·√25)
2
= (3·48)·25
да
нет
да
свойством для корня из произведения
81>63, √81 >√63
Изучить теоремы, отражающие
свойства квадратного корня
Да
Для упрощения и для сравнения
√а · в= √а · √в
а>0, в>0 и
√а/в= √а / √в
а>0, в>0