Системы Счисления


Подписи к слайдам:
Слайд 1

Системы счисления

Системы счисления

  • © К.Ю. Поляков, 2007-2012
  • Тема 1. Введение

  • <number>
  • Определения
  • Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр.
  • Числа: 123, 45678, 1010011, CXL
  • Цифры: 0, 1, 2, … I, V, X, L, …
  • Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
  • Типы систем счисления:
    • непозиционные – значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа;
    • позиционные – зависит…

  • <number>
  • Непозиционные системы
  • Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …)
  • Десятичная египетская система счисления:
  • – 1
  • – 10
  • – 100
  • – 1000
  • – 10000
  • – 100000
  • – 1000000
  • чёрта
  • хомут
  • верёвка
  • лотос
  • палец
  • лягушка
  • человек
  • = ?

  • <number>
  • Непозиционные системы
  • Римская система счисления:
  • I – 1 (палец),
  • V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев),
  • X – 10 (две ладони),
  • L – 50,
  • C – 100 (Centum),
  • D – 500 (Demimille),
  • M – 1000 (Mille)

  • <number>
  • Римская система счисления
  • Правила:
    • (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд
    • если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!)
  • Примеры:
  • MDCXLIV =
  • 1000
  • + 500
  • + 100
  • – 10
  • + 50
  • – 1
  • + 5
  • 2389 = 2000 + 300 + 80 + 9
  • 2389 = M M C C C L X X X I X
  • M M
  • CCC
  • LXXX
  • IX
  • = 1644

  • <number>
  • Римская система счисления
  • Недостатки:
    • для записи больших чисел (>3999) надо вводить новые знаки-цифры (V, X, L, C, D, M)
    • как записать дробные числа?
    • как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =?
  • Где используется:
    • номера глав в книгах:
    • обозначение веков: «Пираты XX века»
    • циферблат часов
    • номера месяцев

  • <number>
  • Славянская система счисления
  • алфавитная система счисления (непозиционная)
  • Часы Суздальского Кремля

  • <number>
  • Позиционные системы
  • Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.
  • Десятичная система: первоначально – счет на пальцах изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу
  • Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Основание (количество цифр): 10
  • 3 7 8
  • 2 1 0
  • разряды
  • сотни десятки единицы
  • 8
  • 70
  • 300
  • = 3·102 + 7·101 + 8·100
  • Другие позиционные системы:
    • двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика)
    • двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов)
    • двадцатеричная (1 франк = 20 су)
    • шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

  • <number>
  • Позиционные системы
  • Задача: в какой системе счисления число 58 записывается как «46x»? Определите основание системы счисления X.
    • в записи есть цифра 6, поэтому x > 6
    • переводим правую часть в десятичную систему
    • решаем уравнение
  • 58 = 46x
  • 1 0
  • 58 = 46x
  • = 4·x1 + 6·x0
  • = 4·x + 6
  • 58 = 4·x + 6
  • x = 13

  • <number>
  • Позиционные системы
  • Задача: найдите основание системы счисления, в которой выполняется равенство
    • в записи есть цифра 6, поэтому x > 6
    • переводим в десятичную систему
    • решаем уравнение
  • 16x + 33x = 52x
  • 1 0
  • 16x = x + 6
  • x = 7
  • 1 0
  • 52x = 5·x + 2
  • 4·x + 9 = 5·x + 2
  • 33x = 3·x + 3

  • <number>
  • Позиционные системы
  • Задача: перечислите через запятую все системы счисления, в которых выполняется неравенство
    • в записи есть цифра 3, поэтому x > 3
    • переводим в десятичную систему
    • решаем неравенство (перебор x = 4, 5, 6, …)
  • 21x + 32x > 102x
  • 1 0
  • 21x = 2·x + 1
  • x = 4,5
  • 2 1 0
  • 102x = x2 + 2
  • 5·x + 3 > x2 + 2
  • 32x = 3·x + 2

Системы счисления

  • Тема 2. Двоичная система счисления

  • <number>
  • Перевод целых чисел
  • Двоичная система: Алфавит: 0, 1 Основание (количество цифр): 2
  • 10  2
  • 2  10
  • 19
  • 2
  • 9
  • 18
  • 1
  • 2
  • 4
  • 8
  • 1
  • 2
  • 2
  • 4
  • 0
  • 2
  • 1
  • 2
  • 0
  • 2
  • 0
  • 0
  • 1
  • 19 = 100112
  • система счисления
  • 100112
  • 4 3 2 1 0
  • разряды
  • = 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20
  • = 16 + 2 + 1 = 19

  • <number>
  • Примеры:
  • 131 =
  • 1010112 =

  • <number>
  • Метод подбора
  • 10  2
  • 77 = 64 +
  • 77
  • 1024
  • 512
  • 256
  • 128
  • 64
  • 32
  • 16
  • 8
  • 4
  • 2
  • 1
  • 210
  • 29
  • 28
  • 27
  • 26
  • 25
  • 24
  • 23
  • 22
  • 21
  • 20
  • 77
  • 64
  • Разложение по степеням двойки:
  • 77 = 26 + 23 + 22 + 20
  • + 8 + …
  • + 4 + …
  • + 1
  • 77 = 10011012
  • 6 5 4 3 2 1 0
  • разряды
  • наибольшая степень двойки, которая меньше или равна заданному числу
  • 77 = 126 + 025 + 024 + 123 +122 +021 + 1 20
  • 13
  • 13
  • 5
  • 1
  • 5
  • 1
  • 8
  • 4
  • 1

  • <number>
  • Арифметические операции
  • сложение
  • вычитание
  • 0+0=0 0+1=1
  • 1+0=1 1+1=102
  • 1 + 1 + 1 = 112
  • 0-0=0 1-1=0
  • 1-0=1 102-1=1
  • перенос
  • заем
  • 1 0 1 1 02
  • + 1 1 1 0 1 12
  • 1
  • 0
  • 0
  • 0
  • 1
  • 1
  • 0
  • 2
  • 1 0 0 0 1 0 12
  • – 1 1 0 1 12
  • 0
  • 2
  • 1
  • 0 102
  • 1
  • 0
  • 0 1 1 102
  • 0
  • 1
  • 0

  • <number>
  • Примеры:
  • 1011012
  • + 111112

  • <number>
  • Примеры:
  • 1011012
  • – 111112

  • <number>
  • Арифметические операции
  • умножение
  • деление
  • 1 0 1 0 12
  •  1 0 12
  • 1 0 1 0 12
  • + 1 0 1 0 12
  • 1 1 0 1 0 0 12
  • 1 0 1 0 12
  • – 1 1 12
  • 1 1 12
  • 1
  • 1
  • 2
  • 1 1 12
  • – 1 1 12
  • 0

Системы счисления

  • Тема 3. Восьмеричная система счисления

  • <number>
  • Восьмеричная система
  • Основание (количество цифр): 8
  • Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
  • 10  8
  • 8  10
  • 100
  • 8
  • 12
  • 96
  • 4
  • 8
  • 1
  • 8
  • 4
  • 8
  • 0
  • 0
  • 1
  • 100 = 1448
  • система счисления
  • 1448
  • 2 1 0
  • разряды
  • = 1·82 + 4·81 + 4·80
  • = 64 + 32 + 4 = 100

  • <number>
  • Таблица восьмеричных чисел
  • X10
  • X8
  • X2
  • X10
  • X8
  • X2
  • 0
  • 0
  • 000
  • 4
  • 4
  • 100
  • 1
  • 1
  • 001
  • 5
  • 5
  • 101
  • 2
  • 2
  • 010
  • 6
  • 6
  • 110
  • 3
  • 3
  • 011
  • 7
  • 7
  • 111

  • <number>
  • Перевод в двоичную и обратно
  • 8
  • 10
  • 2
  • трудоемко
  • 2 действия
  • 8 = 23
  • Каждая восьмеричная цифра может быть записана как три двоичных (триада)!
  • !
  • 17258 =
  • 1 7 2 5
  • 001
  • 111
  • 010
  • 1012
  • {
  • {
  • {
  • {

  • <number>
  • Перевод из двоичной системы
  • 10010111011112
  • Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа:
  • 001 001 011 101 1112
  • Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой:
  • 1
  • 3
  • 5
  • 7
  • Ответ: 10010111011112 = 113578
  • 001 001 011 101 1112
  • 1

  • <number>
  • Примеры:
  • 1011010100102 =

Системы счисления

  • Тема 4. Шестнадцатеричная система счисления

  • <number>
  • Шестнадцатеричная система
  • Основание (количество цифр): 16
  • Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
  • 10  16
  • 16  10
  • 107
  • 16
  • 6
  • 96
  • 11
  • 16
  • 0
  • 0
  • 6
  • 107 = 6B16
  • система счисления
  • 1C516
  • 2 1 0
  • разряды
  • = 1·162 + 12·161 + 5·160
  • = 256 + 192 + 5 = 453
  • A, 10
  • B, 11
  • C, 12
  • D, 13
  • E, 14
  • F 15
  • B
  • C

  • <number>
  • Таблица шестнадцатеричных чисел
  • X10
  • X16
  • X2
  • X10
  • X16
  • X2
  • 0
  • 0
  • 0000
  • 8
  • 8
  • 1000
  • 1
  • 1
  • 0001
  • 9
  • 9
  • 1001
  • 2
  • 2
  • 0010
  • 10
  • A
  • 1010
  • 3
  • 3
  • 0011
  • 11
  • B
  • 1011
  • 4
  • 4
  • 0100
  • 12
  • C
  • 1100
  • 5
  • 5
  • 0101
  • 13
  • D
  • 1101
  • 6
  • 6
  • 0110
  • 14
  • E
  • 1110
  • 7
  • 7
  • 0111
  • 15
  • F
  • 1111

  • <number>
  • Перевод в двоичную систему
  • 16
  • 10
  • 2
  • трудоемко
  • 2 действия
  • 16 = 24
  • Каждая шестнадцатеричная цифра может быть записана как четыре двоичных (тетрада)!
  • !
  • 7F1A16 =
  • 7 F 1 A
  • 0111
  • {
  • {
  • 1111
  • 0001
  • 10102
  • {
  • {

  • <number>
  • Примеры:
  • C73B16 =
  • 2FE116 =

  • <number>
  • Перевод из двоичной системы
  • 10010111011112
  • Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа:
  • 0001 0010 1110 11112
  • Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой:
  • 0001 0010 1110 11112
  • 1
  • 2
  • E
  • F
  • Ответ: 10010111011112 = 12EF16

  • <number>
  • Перевод в восьмеричную и обратно
  • трудоемко
  • 3DEA16 =
  • 11 1101 1110 10102
  • 16
  • 10
  • 8
  • 2
  • Шаг 1. Перевести в двоичную систему:
  • Шаг 2. Разбить на триады:
  • Шаг 3. Триада – одна восьмеричная цифра:
  • 011 110 111 101 0102
  • 3DEA16 = 367528