Презентация "О множествах" 9 класс


Подписи к слайдам:
PowerPoint Presentation

О МНОЖЕСТВАХ

Учитель математики Грязнова Александра Константиновна

март 2007 г

с. Кочневка

ЧТО ТАКОЕ МНОЖЕСТВО? (1)

  • Множества могут состоять из различных элементов – рыб, домов, квадратов, чисел, точек и т.д.
  • Этим и объясняется чрезвычайная широта теории множеств и её приложимость к самым разным областям знаний(математике, механике, физике, биологии, лингвистике м т.д.

ЧТО ТАКОЕ МНОЖЕСТВО? (2)

«Множество есть многое, мыслимое нами как единственное».

Георг Кантор (основатель теории множеств)

  • Нет строгого определения. Это основное понятие. В обиходном языке – это «совокупность», «собрание», «коллекция», «класс», «система» и тд.
  • Это несколько объектов объединённых общим признаком
  • (множество стульев в комнате, множество атомов на Юпитере, множество картофелин в данном мешке, множество рыб в океане, множество точек на окружности и тд).

  • Предметы составляющие данное множество – его элементы:
  • А = {х, у,…,z}, xA.

    C –множество дней недели, то С={понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}; январь С, среда  С

Виды множеств

Основные виды множеств, с которыми мы познакомимся:

  • Конечные
  • Пустое
  • Бесконечные(счётные, несчётные)
  • Счётное множество – самое маленькое из бесконечных*

    Несчётные множества существуют. Например: множество всех точек на прямой линии. Доказать несчётность нелегко

Как задают множества ?

  • Перечислением всех элементов(для конечных множеств)
  • Указанием характеристического свойства
  • (оно должно формулироваться тщательно, чтобы избежать неясности и двусмысленности, свойственных обычному нашему языку)

П у с т о е м н о ж е с т в о. Зачем они нужны?

  • Множество не содержащее ни одного элемента называют пустым и обозначают Ø
  • Например

    - Множество лошадей, пасущихся на луне,

    - множество десятиногих млекопитающих,

    - множество действительных решений

    уравнения х2 = - 4

  • Когда множество задано характеристическим свойством, то не всегда известно, существует ли хоть один элемент с таким свойством.
  • Пустое множество единственное: нет двух разных пустых множеств.

Это интересно!!

  • Не решена проблема Ферма:
  • Пусто ли множество натуральных чисел n таких, что n > 2, уравнение хn + уn =zn имеет положительные целочисленные решения.

Подмножество

  • Пусть даны два множества А и В. причём каждый элемент второго множества является элементом первого множества. Тогда В называют подмножеством (или частью) множества А. Записывают это так: А  В
  • (Читают: «множество В содержится в множестве А» или «множество А содержит множество В»).

  • Считается, что пустое множество Ø является подмножеством любого множества.

В

А

N Z Q R , где

N- множество натуральных чисел; Q- множество рациональных чисел;

Z- множество целых чисел; R- множество действительных чисел

Z

N

R

Q

Диаграммы Эйлера. Наглядно указанные зависимости можно изобразить с помощью так называемых кругов Эйлера:

Операции над множествами

Пересечение множеств

Пересечением множеств А, В, С,… называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из этих множеств. закрашенная фигура А В - пересечение

___________________________

Пересечение множеств иногда называют их произведением, а операцию пересечения – умножением множеств. Многие свойства пересечения напоминают свойства умножения чисел.

Операции над множествами

А В

Объединение или сумма множеств

Объединением или суммой множеств называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

____________________________

обозначают АВ или А + В.

На рис. это закрашенная фигура

Если какой-нибудь элемент входит в несколько слагаемых, то в сумме он берётся лишь один раз.

Операции над множествами

  • Если множество Х является суммой множеств А, В ,С,…, причём никакие два из них не имеют общих элементов, то говорят, что множество Х разбито на (непересекающиеся) подмножества А, В ,С,… .
  • Примеры

    а) Множество натуральных чисел разбивается на подмножества чётных и нечётных чисел.

    б) Множество учеников в классе на подмножества учеников, фамилии которых начинаются на одну и ту же букву.

  • Разбиение множества на попарно непересекающиеся подмножества называют классификацией, а полученные подмножества – классами.

Разбиение множеств.

Операции над множествами

  • Разностью множеств А и В называют такое множество Х = А\ В или (А – В), в которое входят все элементы из А, не принадлежащие множеству В.
  • При этом не предполагается, что множество В является частью множества А.

    Таким образом при вычитании множества В из А из А удаляют общую часть (пересечение) А и В:

    А\ В = А \ А В.

  • Например.
  • А – множество всех учащихся IX класса данной школы, а В – множество всех девочек России,

    то Х= А\ В – множество всех мальчиков, обучающихся в IX классе этой школы.

Вычитание множеств

Операции над множествами

  • В случае, когда множество В является частью А , разность множеств А – В называют дополнением.
  • Дополнением множества В до множества А называется множество всех элементов А, не являющихся элементами множества В.
  • На рисунке это закрашенная фигура

Дополнение множеств

Как сравнивать множества

  • В каком случае надо говорить, что одно множество содержит столько элементов, сколько и второе?
  • В каких случаях два бесконечных множества имеют «поровну» элементов?

Равна ли часть целому?

  • Основная догма, которую необходимо отбросить: «часть меньше целого»
  • На длинном и коротком отрезках точек поровну

Как сравнивать множества

О

В

С

D

А

Трудно примериться, что дорога в миллион световых лет имеет столько же точек, сколько и радиус атомного ядра!

  • Трудно примериться, что дорога в миллион световых лет имеет столько же точек, сколько и радиус атомного ядра!
  • На всей бесконечной прямой не больше точек, чем на отрезке (т.е. между между точками прямой и отрезка можно установить взаимнооднозначное соответствие)

О

А

В

Тайны бесконечности

  • Математики и философы всегда интересовались понятием бесконечности.
  • Парадоксы бесконечности приучили древних греков к осторожности
  • (парадокс Зенона о том, что стрела не может сдвинуться с места, Ахиллес никогда не догонит черепаху)

    Например: Евклид, формулировал свою знаменитую теорему о бесконечности простых чисел, выражается так: «Простых чисел существует больше всякого предложенного количества простых чисел», а бесконечно много или нет – об этом Евклид умалчивает.

Тайны бесконечности (2)

  • Основные заслуги в развитии теории множеств
  • принадлежат Г. Кантору (родился в 1845 г в

    Петербурге, умер в 1918 г в Галле).

  • Исследования бесконечных множеств
  • потребовало развития математической логики.

    Первоначально эта область математики была очень далека

    от практических приложений, но впоследствии её принципы составили идейную основу конструирования

    электронных вычислительных машин и программирования вычислений на этих машинах.

    Большой вклад в теорию множеств сделан трудами советских

    математиков Н.Н.Лузина (1883 – 1950), П.С.Новикова, М.Я.

    Суслина (1894 – 1919), П.С.Александрова, А.Н. Колмогорова и

    др.

Используемая литература

1. Виленкин Н.Я. «Рассказы о множествах»/ НАУКА главная редакция физико-математической литературы: МОСКВА 1996

2. Сост. Никольская И.Л. Факультативный курс по математике7–9 кл/ М: Просвещение /Блох А.Я. «Числовые множества»

3. Нешков К.И. и др «Множества. Отношения. Числа. Величины.» Пособие для учителей/ М: Просвещение 1978