Методическое пособие для учителя математики "Разложение многочленов на множители"


Коммунальное государственное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 10»
Восточно-Казахстанской области, г. Семей
Методическое пособие для начинающего учителя математики и
учащихся выпускных классов
«Разложение многочленов на множители»
Подготовила
учитель математики
Сулейменова Нурия Канашевна
Г. Семей
2016 г.
Цель методического пособия - оказать конкретную помощь
начинающему учителю математики в развитии умения раскладывать
многочлены на множители. Наличие подробно разобранных примеров даст
возможность использовать пособие учащимися старших классов при
подготовке к экзаменам.
В методическом пособии более 40 примеров различных по трудности для
самостоятельного решения. Решение этих примеров поможет учащемуся и
начинающему учителю в формировании умения решать примеры на
разложение многочленов на множители.
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
При решении многих алгебраических задач бывает необходимо
данный многочлен представить в виде произведения двух или более
многочленов или в виде произведения многочлена на одночлен,
содержащий не менее одной переменной. Однако не каждый многочлен
допускает разложение на множители над полем действительных чисел.
Например, многочлены х + 3, х
2
+ + 10 разложить на множители
нельзя. Такие многочлены называют неприводимыми. Разложение
многочлена на множители считается законченным, если все полученные
множители неприводимы.
При разложении многочленов на множители применяются различные
приемы: вынесение общего множителя за скобки, группировка,
использование формул сокращенного умножения и др. Рассмотрим
несколько примеров применения этих приемов.
Пример1. Разложить на множители многочлен:
а) а
2
-
3
b 2ab
3
+ b
2
;
б) а
3
-
2
+ 7а + 15.
Решение.
а) Объединим крайние слагаемые в одну группу, а средние – в
другую и во второй группе вынесем за скобки общий множитель.
Получим:
а
2
-
3
b 2ab
3
+ b
2
=(а
2
+ b
2
)-(2а
3
b+ 2ab
3
)=(а
2
+ b
2
) b
2
+ b
2
)=
=(а
2
+ b
2
)(1 - b).
б)Представим второй и третий члены заданного многочлена
следующим образом: -
2
= -
2
2
; = 12а 5а. Тогда исходный
многочлен примет вид: а
3
-
2
2
+ 12а – 5а + 15. Сгруппируем
слагаемые попарно и в каждой группе вынесем за скобки общие
множители:
3
-
2
) (4а
2
- 12а)- (5а - 15)
2
- 3) -4а(а - 3) 5(а - 3)=(а - 3)(а
2
-
- 5).
Теперь разложим на множители многочлен а
2
- 5. Это можно
сделать двумя способами.
1-й способ.а
2
- 4а – 5= а
2
+ а – 5а – 5=(а
2
+ а) -(5а + 5)=а(а + 1)-
- 5(а + 1)=(а + 1)(а -5).
2-й способ. Изуравнения а
2
- 5=0 находим корни а
1
=-1,а
2
=5.
Применив формулу разложения на множители квадратного трехчлена
(ах
2
+bх +с = а(х –х
1
)(х – х
2
)), получим: а
2
- 4а – 5=(а – а
1
)(а – а
2
)=
=(а + 1)(а -5).
Итак, а
3
-
2
+ 7а + 15=(а - 3)(а + 1)(а -5).
Пример 2.Разложим на множителиab(a +b) bc(b + c) + ac(a - c).
Решение.Воспользуемся тем, что выражение в первых скобках есть
сумма выражений, содержащихся во вторых и третьих скобках: a +b = (b
+ c) + (a + c). Тогдаab(a +b) bc(b + c) + ac(a - c)=
= ab((b + c) + +(a + c)) - bc(b + c) + ac(a - c)=ab(b +c) + ab(a - c)
- bc(b + c) + ac(a - c).
Выполним далее группировку членов и вынесем общий множитель за
скобки. Получим: (ab(b +c)- bc(b + c)) +( ab(a - c)+ ac(a - c)) =
= (b + c)(ab - bc) + (a - c)(ab + ac)=(b + c)b(a -c) +(ac)a(b + c) =
= (a -c)(b + c)(a + b).
Пример 3. Разложим на множители a
3
5a
2
a + 5.
Решение. Выполним группировку и затем вынесем общий множитель за
скобки: (a
3
5a
2
) (a- 5)=а
2
- 5) - 5) = (а - 5)(а
2
-1).
Применяя далее формулу а
2
в
2
= (а - в)(а + в), получим :
a
3
5a
2
a + 5= ( а - 5)(а - 1)(а + 1).
Пример 4.Разложим на множители 4а
2
12ab + 5b
2
.
Решение. Дополним двучлен
2
12ab до полного квадрата. Получим:
(2а)
2
-2(2а)(3b) + (3b)
2
.Тогда (4a
2
12ab + 9b
2
) -9b
2
+ 5b
2
=
= (2a 3b)
2
(2b)
2
= (2a 3b 2b)(2a 3b + 2b) = (2a 5b)(2a - b).
Пример 5. Разложим на множители а
4
-10а
2
+ 169.
Решение.Заметив, что а
4
+ 169=(а
2
)
2
+ (13)
2
, и дополнив эту сумму до
полного квадрата, получим:(а
4
+ 26а
2
+169) 26а
2
- 10а
2
=
2
+ 13)
2
(6а)
2
=(а
2
- 6а + 13)(а
2
+ 6а + 13).
Пример 6.Разложим на множители а
6
+ a
4
+ a
2
b
2
+ b
4
b
6
.
Решение.Так как а
6
- b
6
= (а
3
)
2
(b
3
)
2
= (а
3
- b
3
)(а
3
+b
3
)=(a - b)(a
2
+ab
+b
2
) (a+b)(a
2
- ab +b
2
)иa
4
+ a
2
b
2
+ b
4
=( a
4
+ 2a
2
b
2
+ b
4
) - a
2
b
2
= (a
2
+ b
2
)
2
(ab)
2
=(a
2
+ab + b
2
)(a
2
- ab + b
2
), тоа
6
+ a
4
+ a
2
b
2
+ b
4
b
6
= (a -
b)(a
2
+ab +b
2
) (a+b)(a
2
- ab +b
2
) +(a
2
+ab + b
2
)(a
2
- ab + b
2
) =(a
2
+ab +
b
2
)(a
2
- ab + b
2
)∙((a - b)(a+b)+1) =(a
2
+ab + b
2
)(a
2
- ab + b
2
)(a
2
b
2
+ 1).
Пример 7. Разложим на множители a
3
+ 9a
2
+ 27a + 19.
Решение.Нетрудно увидеть, что в данном многочлене до полного
куба суммы не хватает 8. Поэтомуможнозаписать (a
3
+ 9a
2
+ 27a + 27) 8
=(a + 3)
3
2
3
=(a + 3 - 2)((a + 3)
2
+ (a+3)∙2 + 4)=(a+1)(a
2
+8+19).
Упражнения
1.
a
4
1.
22.
a(b 2c)
2
+b(a 2c)
2
-c(a+b)
2
+8abc
2.
a
6
-1.
23.
a
3
(a
2
-7)
2
- 36a.
3.
a
6
+ 1.
24.
(a + b)
5
(a
5
+ b
5
).
4.
a
4
18a
2
+ 81.
25.
a
2
b
2
(b - a) + b
2
c
2
(c - b) + a
2
c
2
(a- c)
5.
a
12
2a
6
+ 1.
26.
8a
3
(b + c) - b
3
(2a + c) - c
3
(2a - b).
6.
a
5
+ a
3
a
2
1.
27.
(a + b + c)
3
- (a
3
+ b
3
+ c
3
).
7.
a
4
+ 2a
3
2a 1.
28.
a
4
+ 9.
8.
4b
2
c
2
(b
2
+ c
2
a
2
)
2
.
29.
a
4
+ b
4
.
9.
a
4
+ a
2
b
2
+ b
4
.
30.
a
3
+ 5a
2
+ 3a 9.
10.
a
4
+ 4a
2
-5.
31.
a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1.
11.
4a
4
+ 5a
2
+1.
32.
(a + 1)(a + 3)(a + 5)(a + 7) + 15.
12.
c
4
(1 +ab)c
2
+ ab.
33.
(a - b)c
3
(a c )b
3
+ (b - c)a
3
.
13.
a
4
+ 324.
34.
(a - b)
3
+ (b - c)
3
(a - c)
3
.
14.
a
4
+ a
2
+ 1.
35.
(a
2
+ b
2
)
3
(b
2
+ c
2
)
3
(a
2
c
2
)
3
.
15.
a
8
+ a
4
+ 1.
36.
a
4
+ 2a
3
b 3a
2
b
2
4ab
3
b
4
.
16.
2a
4
+ a
3
+ 4a
2
+ a +2.
37.
a
2
b + ab
2
+ a
2
c + b
2
c + bc
2
+ 3abc.
17.
a
4
+ 3a
3
+ 4a
2
-6a -12.
38.
a
4
+ b
4
+ c
4
-2a
2
b
2
2a
2
c
2
-2b
2
c
2
.
18.
(a
2
+a +3)( a
2
+a +4) 12.
39.
a
5
+ a
4
+ a
3
+ a
2
+ a + 1.
19.
a
5
+ a
3
a
2
-1.
40.
a
4
+2a
3
+ 3a
2
+ 2a + 1.
20.
2a
2
b+4ab
2
a
2
c+ac
2
-4b
2
c+2bc
2
-4abc
41.
a
4
- 2a
3
b - 8a
2
b
2
6ab
3
b
4
.
21.
(ab + ac + bc)(a + b + c) abc.
42.
a
10
+ a
5
+ 1.
Использованная литература:
1. Задачи по алгебре для 6-9 классов/ Д.К Фаддеев, Н.Н. Лященко, М.С.
Никулин, И.Ф. Соколовкский-М.: Просвещение, 1988г.
2. Практикум по решению математических задач: Алгебра/ Литвиненко
В.Н.,Мордкович А.Г.: Просвещение, 1984г.
3. Алгебра. Учебник 7класса, 2011г.