Презентация "Различные способы решения задач с параметрами" 11 класс


Подписи к слайдам:
РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ

  • 11 класс

  • Задача 1
  • Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
  • имеет хотя бы один корень.

  • График левой части уравнения y = a — прямая, параллельная оси Ox. Построим график правой части уравнения:

  • 3. Найдем производную:
  • и ее экстремумы: = 0 при x = 0, x = 2.

  • 4. Найдем критические точки функции:
  • ymax = y(0) = 5, ymin = y(2) = 7.
  • 5. Найдем асимптоты:
  • x = 1 — вертикальная асимптота;
  •  
  • — наклонная асимптота
  • ( ).

  • 6. Найдем значения функции в точках ±2:
  • f(2) = 7,
  • Отметим ограничение, данное в системе: полосу от –2 до 2, включая границы.

  • Ответ: и .

  • Задача 2
  • Найдите значения параметра а, при которых уравнение
  • не имеет решения.

  • Условие (а) не выполняется при x (–2; 2).
  • Условие (б) не выполняется в двух случаях:
  • 1) уравнение (б) не имеет корней, то есть D < 0:
  • (a – 5)2 – 2(a – 5) < 0 a (5; 7); (*)

  • 2) уравнение (б) имеет корни, но они принадлежат интервалу (–2; 2).

  • (**)

  • Объединяя множества (*) и (**), получаем:
  • Итак, если , то уравнение не имеет
  • решений, значит, при всех других значениях параметра a решения есть.
  • Ответ: и .

  • Указания.
  • Возможные способы решения:
  • — используя теорему равносильности;
  • — используя замену переменной;
  • — графический способ;
  • — ваши варианты.
  • Задача 3
  • Найдите значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет только одно решение.

  • Используем теорему равносильности

  • Чтобы исходное уравнение имело ровно один корень, надо потребовать, чтобы получившееся квадратное уравнение имело:
  • 1-й случай
  • 2-й случай
  • один корень, для которого выполнено условие

  • 1-й случай

  • 2-й случай
  • Рассмотрим случай, когда квадратное уравнение имеет два корня, то есть D > 0:
  • 5 – 4a > 0 ⇔ a < 1,25;
  • x– < – ax+,

  • Рассмотрим неравенство
  • при всех a < 1,25.
  • 
  • ⇔⇔ 5 – 4a > 1 ⇔ a < 1.

  • Используем замену переменной
  • Исходное уравнение имеет один корень при тех и только тех значениях а, при которых полученное уравнение имеет один неотрицательный корень.
  • Пусть t ≥ 0, x = t2 – 1.
  • Получим уравнение t2 – t – 1 + а = 0. (*)

  • Если D = 0, a = 1,25, то есть t = 0,5 > 0. Значит, исходное уравнение при а = 1,25 имеет один корень.
  • 1
  • 2
  • Если D > 0, то есть a < 1,25, уравнение (*) имеет два корня. При этом если a – 1 < 0, то эти корни разных знаков, то есть только один из них положительный.
  • При а < 1 уравнение (*) имеет один положительный корень, значит и исходное уравнение имеет один корень.
  • Ответ: a < 1, a = 1,25.

  • Графический способ I
  • Преобразуем уравнение к виду
  • Построим график функции, стоящей в левой части уравнения:

  • Алгоритм.
  • 1. Найдем область определения функции.
  • 2. Найдем точки пересечения с осями координат.
  • 3. Найдем производную, критические точки и экстремумы функции.
  • ymax = y(–0,75) = 1,25

  • Ответ: a < 1, a = 1,25.

  • Графический способ II
  • Построим график левой и правой частей уравнения:
  • y = x + a.

  • Ответ: a < 1, a = 1,25.