Презентация "Решение неравенств с параметром"


Подписи к слайдам:
Слайд 1

Решение неравенств

С параметром

МАСТЕР- КЛАСС

Учитель математики абубакиров ж.а.

2011 год

Цель: ознакомить учителей с опытом обучения учащихся решению неравенств с параметром

план

1. Графики уравнения с двумя переменными.

2. Метод областей.

3. Решение неравенств с двумя переменными.

4. Рационализация неравенств.

5. Решение неравенств с параметрами.

6. Творческая лаборатория.

7. Итоги

Графики уравнения с двумя переменными

3x+y-5=0

Прямая.

(x-2)2+(y-3)2=16

Окружность

y=x2-5x+6

Парабола вида

y=ax2

Парабола вида

x=ay2

x=y2-3y+2

Гипербола вида

(x-2)(y-3)=6

Квадрат

Ромб

Параллелограмм

Пара параллельных прямых

3x-y+2=3

Метод областей

Пусть F(x;y)=F1(x;y)F2(x;y) …Fn(x;y) (1)

где Fi(x;y)=pix+qiy+ri, причем прямые pix+qiy+ri=0 и pjx+qjy+rj=0

попарно различны.

Выражению (1) соответствует разбиение плоскости на области прямыми линиями pix+qiy+ri=0 . Точки пересечения прямых называют особыми точками границы области, другие точки- обыкновенными. Метод областей опирается на следующее свойство чередования знака выражения (1):

.

.

При переходе через обыкновенную точку прямой pix+qiy+ri=0 из одной области в смежную знак значения выражения (1) меняется на противоположный

Обобщенный метод областей

Пусть (2)

где Fi(x;y)=pix+qiy+ri, причем прямые pix+qiy+ri=0 и pjx+qjy+rj=0

попарно различны.

Обобщенный метод областей опирается на следующее свойство чередования знака выражения (2):

При переходе через обыкновенную точку прямой pix+qiy+ri=0 из одной области в смежную знак значения выражения (2) меняется на противоположный, если ki – нечетное число, и не меняется, если ki – четное число.

Решение неравенств с двумя

Переменными методом

областей

Пусть дано неравенство F(x;y)∨0,где символ ∨ заменяет один из знаков , , , .

  • Найти ОДЗ.
  • Построить график уравнения F(x;y)=0.
  • График уравнения разбивает плоскость xOy на области, в каждой из которых выражение F(x;y) сохраняет постоянный знак.
  • Определить знак выражения F(x;y) в каждой из этих областей.
  • Записать ответ.

  • Решить графически неравенство
  • (y+x)(x-y-1)(x+2)0.

Решение.

  • F(x;y)=(y+x)(x-y-1)(x+2)
  • 2. ОДЗ: xR, yR

    3. F(x;y)=0, (y+x)(x-y-1)(x+2)=0,

    y+x=0 или x-y-1=0 или x+2=0,

    y=-x, y=x-1, x=-2

    4. F(2;0)=(0+2)(2-0-1)(2+2)=8, 8>0.

    Ответ:

D1=(x;y) x0,5; -xyx-1;

D3=(x;y) x-2; y-x;

D5=(x;y) x-2; yx-1;

D7=(x;y) -2x0,5; x-1y-x;

2. Решить графически неравенство

(y+x-1) 3(2x-3y+8) 20.

Решение.

  • F(x;y)= (y+x-1) 3(2x-3y+8) 2
  • 2. ОДЗ: xR, yR

    3. F(x;y)=0, (y+x-1) 3(2x-3y+8) 2 =0,

    y+x-1=0 или 2x-3y+8=0 ,

    y=1-x,

    4. F(0;2)= (2+0-1) 3(20-32+8) 2 =4, 4>0.

    Ответ:

(x;y) xR, y1-x

- 1

- 1

1

1

х

у

0

+

+

+

+

3. Решить графически неравенство

.

1.

2. ОДЗ: x2+y21

3. F(x;y)=0, x2-y2=0, x=y и x2+y2 =1

4. F(0;3)=- 1,125, 1,125>0

D1

D2

D3

D4

D5

D6

D7

D8

Ответ: D1=(x;y) x2+y2 >1;-yxy;

D7=(x;y) x2+y2 <1;-1<x0; xy-x;

D3=(x;y) x2+y2 >1;yx-y;

D5=(x;y) x2+y2 <1;0x<1; -xyx;

4.Найти все значения параметра р, при каждом из которых

множество решений неравенства (p-x2)(p+x-2)<0

не содержит ни одного решения неравенства x21

.

1. F(x;p)=(p-x2)(p+x-2)

Из полученного множества

исключим решения неравенства

x21. Получим p0, p3.

Ответ: p0, p3.

х

р

2. F(x;p)=0, (p-x2)(p+x-2)=0,

p= x2 или p=-x+2

р = 3

р = 0

0

2

2

-1

1

3

1

-

+

-

+

3. F(3;1)=(1-9)(1+3-2)=-16, -16<0

-

D1

D2

D3

D4

D5

Решение.

Рационализация неравенств

Выражение F

Выражение G

1

1(а)

1(б)

logaf – logag

logaf-1

logaf

(a-1)(f-g)

(a-1)(f-a)

(a-1)(f-1)

2

2(a)

2(б)

loghf- loghg

loghf- 1

loghf

(h-1)(f-g)

(h-1)(f-h)

(h-1)(f-1)

3

loghf- loggf (g1)

(f-1)(h-1)(g-1)(g-h)

4

4(a)

hf- hg (h>0)

hf-1

(h-1)(f-g)

(h-1)f

5

hf- gf (h>0, g>0)

(h-g)f

6

p-q

(p-q)(p+q)

F(x;y)∨0  G(x;y)∨0 ; a>0, a1; h>0, h1; f>0, g>0

Утверждение:

u+vh 

u+vh

u-vh

5. Найти все значения параметра a, при каждом из которых множество решений неравенства loga-1(a-x+1)>0 содержит все решения неравенства x-41.

Решение.

ОДЗ: a-1>0; a2

Применяя замену 1(б) имеем

(a-2)(a-x+1)>0

  • F(x;a)=(a-2)(a-x+1)
  • F(x;a)=0, (a-2)(a-x+1)=0,
  • a-2=0 или a-x+1=0,

    a=2 или a=x-1

    3. F(3;1,5)=(1,5-2)(1,5-3+1)=0,25,

    0,25>0. Множество решений неравенства x-41 отрезок

    3;5.

Ответ: 1<a<2.

6. Найти все значения, которые может принимать сумма x+a при условии 2x+4-2a+x-2+a3.

Решение.

2x+4-2a+x-2+a3 

3x-a+23

x-3a+63

  • 3x-a+2=3, 3x-a+2=3 или
  • 3x-a+2=-3, a=3x-1 или a=3x+5

    2. x-3a+6=3, x-3a+6=3 или

    x-3a+6=-3, или

Наибольшее значение x+a равно 1,5+3,5=5.

Наименьшее значение x+a равно -1,5+0,5=-1.

Ответ: -1;5

7. Для каждого значения а, принадлежащего отрезку -1;0 решите неравенство logx+a(x2-(a+1)x+a)1.

Решение. ОДЗ: x+a>0, x+a1.

Используя замену 1(а) получим x(x+a-1)(x-a-2)0

  • F(x;a)= x(x+a-1)(x-a-2)
  • F(x;a)=0, x(x+a-1)(x-a-2)=0, x=0 или x+a-1=0 или x-a-2=0
  • a=-x+1 a=x-2

    3. F(1;1)=-2, -2<0

    Ответ: при а=-1 x(2;+);

    при а(-1;-0,5)

    x(1;a+2)(1-a;+);

    при а=-0,5 x(1;1,5)(1,5;+);

    при а(-0,5;0) x(0;1-a)(а+2;+);

    при а=0 x(0;1)(2;+).

7. Записать неравенство, которое задает множество точек плоскости, показанное штриховкой на рисунке.