Методы решения тригонометрических уравнений

Методы решения тригонометрических уравнений Содержание

• Метод замены переменной
• Метод разложения на множители
• Однородные тригонометрические уравнения
• С помощью тригонометрических формул:
• Формул сложения
• Формул приведения
• Формул двойного аргумента

Метод замены переменной

С помощью замены t = sinx или t = cosx, где t ∈ [−1;1] решение исходного уравнения сводится к решению квадратного или другого алгебраического уравнения.

См. примеры 1 – 3

Иногда используют универсальную тригонометрическую подстановку: t = tg

x

2

Пример 1 Пример 2 Пример 3 Метод разложения на множители

Суть этого метода заключается в том, что произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а другие при этом не теряют смысл:

f(x) · g(x) · h(x) · … = 0 ⟺ f(x) = 0 или g(x) = 0 или h(x) = 0

и т.д. при условии существования каждого из сомножителей

См. примеры 4 – 5

Пример 4 Пример 5 Однородные тригонометрические уравнения Уравнение вида a sin x + b cos x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.

a sin x + b cos x = 0

Замечание.

Деление на cos x допустимо, поскольку решения уравнения cos x = 0 не являются решениями уравнения a sin x + b cos x = 0.

: cos x

a sin x b cos x 0

cos x

+

cos x

=

cos x

a tg x + b = 0

tg x = –

a

b

Однородные тригонометрические уравнения

a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0

Уравнение вида a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

: cos2x

a tg2x + b tg x + c = 0

a sin2x b sin x cos x c cos2x 0

cos2x

+

cos2x

=

cos2x

+

cos2x

Далее, вводим новую переменную tg x = t и решаем методом замены переменной.

Замечание. Если в данном уравнении а = 0 или с = 0 то, уравнение решается методом разложения

на множители.

Пример 6

Пример 7

Пример 8 Пример 9 Пример 10 Пример 11 С помощью тригонометрических формул 1. Формулы сложения:

sin (x + y) = sinx cosy + cosx siny

cos (x + y) = cosx cosy − sinx siny

tgx + tgy

tg (x + y) =

1 − tgx tgy

sin (x − y) = sinx cosy + cosx siny

cos (x − y) = cosx cosy + sinx siny

tgx − tgy

tg (x − y) =

1 + tgx tgy

сtgx сtgy − 1

сtg (x + y) =

сtgу + с tgх

сtgx сtgy + 1

сtg (x − y) =

сtgу − с tgх

Пример 12 Пример 13 С помощью тригонометрических формул 2. Формулы приведения:

Лошадиное правило

В старые добрые времена жил рассеянный математик, который при поиске ответа менять или не менять название функции (синус на косинус), смотрел на свою умную лошадь, а она кивала головой вдоль той оси координат, которой принадлежала точка, соответствующая первому слагаемому аргумента π/ 2 + α или π + α.

Если лошадь кивала головой вдоль оси ОУ, то математик считал, что получен ответ «да, менять», если вдоль оси ОХ, то «нет, не менять».

С помощью тригонометрических формул 3. Формулы двойного аргумента:

sin 2x = 2sinx cosx

cos 2x = cos2x – sin2x

cos 2x = 2cos2x – 1

cos 2x = 1 – 2sin2x

tg 2x =

2tgx

1 – tg2x

ctg 2x =

2ctgx

ctg2x – 1

Пример 14 С помощью тригонометрических формул 4. Формулы понижения степени:

5. Формулы половинного угла:

С помощью тригонометрических формул 6. Формулы суммы и разности: С помощью тригонометрических формул 7. Формулы произведения: Мнемоническое правило “Тригонометрия на ладони”

Очень часто требуется знать наизусть значения cos, sin, tg, ctg для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

Но если вдруг какое-либо значение забудется, то можно воспользоваться правилом руки.

Правило: Если провести линии через мизинец и большой палец,

то они пересекутся в точке, называемой “лунный бугор”.

Образуется угол 90°. Линия мизинца образует угол 0°.

Проведя лучи из “лунного бугра” через безымянный, средний, указательный пальцы, получаем углы соответственно 30°, 45°, 60°.

Подставляя вместо n: 0, 1, 2, 3, 4, получаем значения sin, для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

Для cos отсчет происходит в обратном порядке.