Презентация "Уравнения и методы их решения"


Подписи к слайдам:
Показательные уравнения

Уравнения и методы их решения

  • Над проектом работали:
  • Маслов Андрей
  • Мулярчук Екатерина
  • Фадеенко Виктор
  • МКОУ СОш с Красное 2014

Показательные уравнения

  • Опред.: Уравнение вида aх=b , называется показательным

Методы решения:

  • Приведение к одному основанию
  • Разложение левой части уравнения на множители (выносим степень с наименьшим показателем)
  • Замена переменной, приведение к квадратному (подстановка)
  • Деление левой и правой частей уравнения на степень

Приведение к одному основанию:

  • 2 3х · 3 х =576
  • (2³) х · 3 х =576
  • 8 х ·3 х =576
  • 24 х =24²=>х=2

Разложение левой части уравнения на множители:

  • 3 х+1 - 2 · 3 х-2 =25
  • 3 х-2(3³-2)=25
  • 3 х-2 · 25=25 |:25
  • 3 х-2 = 1
  • 3 х-2 = 30=>х-2=0
  • х=2

Замена переменной, приведение к квадратному:

  • 9х – 4 · 3х – 45=0
  • 32х– 4 ·3х -45=0
  • 3х =t=>t²-4t-45=0
  • t1+t2 =4 t1 =9
  • t1 +t2 =45 t2 =-5п.к.
  • 3х =9
  • 3х =3²=>х=2

Деление левой и правой частей уравнения на степень:

  • 3х = 52х
  • 3х = 25 х |÷3х
  • 1= 25 х
  • 3
  • 25 º 25 х =>x=0
  • 3 3

Примеры для самопроверки:

  • 1 0,5х-1 9; 7 · 5х– 5х+1 = 2 · 5-3;
  • 27
  • 2х² + 14 · 2х +1 – 29=0;
  • 7х +6 · 3х +6=73х·33х

Типовые задания ЕГЭ:

  • 1.Решить уравнение:
  • 5х=125;
  • 2.Решить уравнение:
  • 1 0,1х-1_ 16;
  • 32 ¯
  • 3.Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения:
  • 3х²+х-12 = 1;

  • 4.Решить уравнение:
  • 3х+1 - 2 ·3х-2 =25;
  • 5.Решить уравнение:
  • 32х– 4 ·3х– 45=0;
  • 6.Решить уравнение:
  • 32х-1 – 22х-1 = 0;
  • 7.Решить уравнение:
  • 32х+5– 22х+7 + 32х+4 - 22х+4= 0;

  • 8.Найти промежуток, которому принадлежат все решения уравнения:
  • 3 · 16х + 2 · 81х =5 · 36х;
  • 9.Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения:
  • 52х– 4 · 5х– 5 = 0;
  • 10.Решить уравнение:
  • 3Sin²x + 3Cos²x = 4

  • В4.Найти модуль разности корней:
  • 4х-√х²-5 - 12 · 2х-1-√х²-5 + 8 = 0;
  • В5.Решить уравнение:
  • 23х-1 · 53х-1 = 100;
  • В6.Решить уравнение:
  • √3 · 2х − 4х − 2 = 1−2х;
  • В7.Решить уравнение:
  • 32х+3 · 33х+1 · 625х+2 = 600х+7;

Тригонометрические уравнения

I) Уравнения Cosx=a, a [-1; 1]

  • а) Cosx=a, а
  • (0; 1)
  • X=
  • аrccosa +2
  • n , n
  • б)Cosx=a, a
  • (-1;0)
  • X=
  • (
  • -arccosa) +2
  • Cosx=0
  • Cosx=-1
  • ,
  • X=
  • +2
  • n
  • X=
  • +2
  • Cosx=1
  • X=2

Например.

  • Cosx=
  • ,
  • X=
  • + 2
  • X=
  • +2
  • Cosx=-
  • -
  • ,
  • (-1; 0)
  • X=
  • (
  • -arccos
  • )
  • +2
  • k, k
  • X=
  • -
  • ) + 2
  • k, k
  • X=
  • +2
  • k, k
  • Z

II) Уравнения sinx=a, a 1; 1]

  • Sinx=a, a
  • (0; 1)
  • X= (-1)narcsina +
  • n, n
  • Z
  • Sinx=a, a
  • (-1;0)
  • X= (-1)n+1arcsina+
  • n, n
  • Z
  • Sinx= 0
  • X=
  • n, n
  • Z
  • Sinx= 1
  • X=
  • +2
  • K, k
  • Z
  • Sinx= -1
  • X= -
  • + 2
  • n, n

Например.

  • Sinx=
  • ,
  • (0; 1)
  • X= (-1)narcsin
  • +
  • n
  • Z
  • X= (-1)n
  • +
  • Z
  • Sinx= -
  • , -
  • (-1; 0)
  • X=(-1)n+1arcsin
  • +
  • Z
  • X=(-1)n+1
  • +
  • n, n
  • Z

III) Уравнения tgx=a, a

  • tgx=a, a
  • 0
  • x=arctga +
  • Z
  • tgx= -a , a
  • x= -arctga +
  • n, n
  • Z

Например.

  • tgx=
  • ,
  • [0;
  • )
  • x=arctg
  • x=
  • +
  • Z
  • tgx= -
  • , -
  • (-
  • ; 0)
  • x= -arctg
  • +
  • n, n
  • Z
  • x= -
  • +
  • Z

Методы решения тригонометрических уравнений.

  • 1)Уравнения, сводящиеся к квадратным
  • а) Sin2x + sinx – 2=0
  • Sinx=t, t
  • [-1;1]
  • t2 +t-2=0
  • t1=1, t2=-2-п.к так
  • -1; 1]
  • как -2∉
  • sinx=1,
  • x=
  • + 2

2.разложение левой части на множители

  • Cosx=cos3x
  • Cosx-cos3x=0
  • -2sin2xsin(-x) =0
  • Sin2x=0 или
  • sinx=0
  • x=
  • 2x=
  • X=
  • n
  • ,

3.однородное уравнение 1-ой степени asinx+bcosx=0 Решается делением на cosx0

  • 0
  • +
  • = 0
  • sinx+cosx=0 |:cosx
  • atgx+b=0
  • x=-arctg
  • +
  • tgx+1=0
  • tgx=-1
  • +
  • x=-arctg1
  • n, n
  • Z
  • x=-
  • +

4.однородное уравнение 2-ой степени asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0

  • asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0
  • |:cos2x
  • 0
  • atg2x+btgx+c=0
  • tgx=t, at2+bt+c=0
  • Д=b2-4ac
  • t1,2=
  • tgx=
  • x1=arctg(
  • ) +
  • n
  • x2= arctg(
  • ) +
  • n
  • 3sin2x-7sinxcosx+2cos2x=0|:cos2x
  • 0
  • 3tg2x-7tgx+2=0
  • tgx=t, 3t2-7t+2=0
  • Д= b2-4ac=25, Д
  • t1,2=
  • tgx=2
  • tgx=
  • x=arctg2+
  • x=arctg
  • +
  • k,
  • k
  • Z

5. Уравнение вида asinx+bcosx=c

  • asinx+bcosx=c
  • Sinx +
  • cosx=
  • =cos
  • =sin
  • Cos
  • + sin
  • cosx=
  • Sin (
  • + x) =
  • X= (-1)narcsin
  • - +
  • z
  • n, n
  • Sinx-cosx=1
  • =
  • sinx –
  • cosx=
  • Sin( -
  • x
  • )=
  • X -
  • =
  • (-1)n
  • +
  • , n
  • Z
  • X= (-1)n
  • +
  • +

Уравнения для самостоятельной работы! Базовый уровень

  • Sinx=
    • Cosx=-
  • tgx=
  • 1+sin(
  • )=0
    • Sin2x=
  • Sinx+cosx=0
  • 2cos(2x-
  • )=
  • Sin(x-
  • )=0
  • +1=0
  • tgx-1=0

Повышенный уровень

  • 2sin2x+3sinxcosx-2cos2x=0
  • =0
  • 3sinx+4cosx=10
  • Sinx-sin2x+sin3x-sin4x=0
  • Sinx-sin2x+sin3x-sin4x=0
  • Cosx+cos
  • =
  • Sin3x-sin9x=0
      • tg(3x+600)=
  • ctg(
  • -1)sin(
  • -1)ctgx=0
  • 4sin
  • cos
  • =
  • -
  • Sinx-cosx=4sinxcos2x

Трудные задания

      • Cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=2
  • (cos6x-1)ctg3x=sin3x
    • Cos(x+
  • )+sin2x=-2
    • Cos2x+
  • |cosx|sinx=0
    • Cos2x+sin22x+cos23x=
  • (cos2x + 3
  • sinx-4)=0
  • =0
  • cosx+2sinx)=1
  • -1=4sinx
  • + ctgxtg
  • =0

Трудные задания

  • cosx-cos3x+2
  • =0
  • удовлетворяющие условие:
  • |x+
  • |
  • +2cosx=0
  • =0,
  • удовлетворяющие условию |x|
  • = -4
  • +
  • =8

Уравнение с модулем

  • Определение:
  • a
  • a

Методы решений.

  • По определению модуля:
  • |x+1|=3
  • =
  • и
  • =
  • =
  • =>x=-4

метод интервалов:

  • |x+1| + |x-1| + |x+10|=12
  • 1.найдём корни подмодульных выражений:
  • X=-1 x=1 x=-10
  • 2.нанесём корни на числовую ось
  • -10 -1 1

метод интервалов:

  • 3.
  • =
  • =
  • x=
  • посторонний корень
  • =
  • =
  • =

метод интервалов:

  • =
  • =
  • =
  • x=
  • – посторонний корень
  • Ответ:x1=-2 x2=0

Базовый уровень

  • 1.|x+3|=12
  • 2. x+5=|x|
  • 3. |x-15|=25x
  • 4.|2x|=100
  • 5.|x-40|=80
  • 6.|x|=5
  • 7. |x|=3x+10
  • 8. |3x-9|=1

Повышенный уровень

  • 1.|
  • -
  • – 5
  • =
  • 2.|x2-5x+6|=x+1
  • 3.|x-3|+2|x+1|=4
  • 4.|5-2x|+|x+3|=2-3x
  • 5.
  • =|x|+2
  • 6. x|x|+7x+12=0
  • 7. x2-5x -
  • 8. x2-|3x-5|=5|x|
  • 9. |x+5|=|2x-3-x2|
  • 10. 3|2x2+4x+1|=|x2+5x+1|
  • 11.|2x-y-3|+|x+5y-7|=0

  • Логарифмические уравнения

При решение логарифмических уравнений применяют, такие преобразования, которые не приводят к потери корней, но могут привести к приобретению посторонних корней. Поэтому проверка каждого из полученных корней путем подстановок и их в исходное уравнение обязательно, если нет уверенности в равносильности уравнений. Проверку найденных корней можно заменить нахождением области определения уравнений. Тогда корнями уравнения, будут те числа, которые принадлежат этой области.

  • При решение логарифмических уравнений применяют, такие преобразования, которые не приводят к потери корней, но могут привести к приобретению посторонних корней. Поэтому проверка каждого из полученных корней путем подстановок и их в исходное уравнение обязательно, если нет уверенности в равносильности уравнений. Проверку найденных корней можно заменить нахождением области определения уравнений. Тогда корнями уравнения, будут те числа, которые принадлежат этой области.

  • логарифмических
  • Методы
  • решения
  • уравнений.

  • 1)Решение логарифмических уравнений
  • на основании определения логарифма.
  • (2x+1)=2
  • 2x+1=
  • 2x+1=9
  • X=4
  • (2×4+1)=
  • Проверка
  • 9=2
  • Ответ:х=4

2)Метод приведения логарифмических уравнений к квадратному.

  • (
  • +1)=2
  • ОДЗ:
  • =
  • =
  • X
  • По определению логарифма
  • (x+1
  • =2
  • +1
  • +2x+1=
  • +1
  • -2x=0
  • =0
  • =2
  • Ответ: х=2

3) Метод потенцирования

  • )
  • ОДЗ
  • =
  • =
  • =
  • 0
  • Применяя метод потенцирования, получили
  • Х=6-
  • +х-6=0
  • =2,
  • =-3 –п.к
  • Ответ:х=2

4)Метод приведения логарифмов к одному основанию. Используя формулу

  • =2n
  • f(x)
  • Где а
  • 1,n
  • z.
  • =2n|
  • |,
  • где a
  • ,
  • a
  • .
  • ОДЗ:
  • -5 0
  • +5x-6=0
  • +
  • =-5
  • =-6

5)Метод логарифмирования

  • ОДЗ:
  • =
  • =
  • x
  • =
  • =
  • 1+
  • , 2
  • 1+
  • 2
  • X=3
  • ОДЗ

Решить уравнение показательные по образцу.

  • -6
  • =4
  • ОДЗ:
  • =
  • =
  • Ответ: Х =1
  • )=
  • ОДЗ:
  • р.м.п
  • У=
  • У=0=
  • Д=4+24=28
  • =
  • х
  • 1-
  • ;
  • ;

  • =6+2х-
  • =
  • Ответ:х=-1,х=2
  • 1)
  • =0
  • 2)
  • 3)

Решить логарифмические уравнения, упростив правую часть.

  • 1)
  • 2)
  • 3)
  • 4)

  • Решить уравнение по образцу
  • 2
  • Х=0∉ОДЗ , х=
  • Ответ: х=

Решите уравнения, приведя к логарифмам с одинаковыми основаниями.

  • lg (x+2) +
  • 3+26)=0
  • 3) +log3(-x-1)=0
  • 2+x-5)+
  • =log3
  • -log4
  • =-9

Решить уравнения

  • Xlog3x-3=
  • 0,1x1+lgx=1
  • Xlog4x=23(log4x+3)=0
  • log3x-log3(x+8)=-log3(x+3)
  • log2(x+1)+log2(x+2)=1
  • 2log4(4-x)=4-log2(-2-x)
  • log2(x+1)=1+2log2x
  • lg(x+
  • )-lg(x-
  • )=
  • lg(x+6)-
  • lgx
  • log2
  • -1=log2
  • 5x2-8x+5
  • =0
  • Log2 (24-x-2x+7)=3-x
  • 2log2(1-
  • )=3log2(2+
  • )+12
  • 4log7(
  • (
  • )0,75)
  • =
  • X2log2x+3
  • -6=0
  • -4+log2(5-log0,2125)x2-x=0
  • Log2
  • 2
  • Log2(log5x)=1
  • 2
  • +7=0
  • Lg2(x+1)=lg(x+1)lg(x-1)+2lg2(x-1)
  • 3log2x2-log22(-x)=5
  • logx
  • log25x=-1
  • log3|x+8|+
  • log3x4=2

Решить уравнение

  • Log3x+7(9+12x+4x2)+log2x+3(6x2+23x+21)=4
  • log(100x3)lg
  • =8
  • log6(x+5)+
  • log6x2=1
  • =
  • Log3(x+2)(5x)-log3
  • Log4log2x+log2log4x=2
  • -log77=
  • 4
  • -log24=log77x
  • lg
  • +lg
  • log23x+ log2x3+3log3x+3logx3=2
  • 2log3xlog2x+2log3x-log2x-1=0

Метод монотонности функций.

  • Теорема 1. Если одна из функций возрастает, а другая убывает
  • на промежутке, то уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного корня.
  • Теорема 2. Если одна функция возрастает (убывает), а вторая принимает
  • постоянные значения на некотором промежутке, то уравнение
  • имеет не более одного корня.

Алгоритм решения уравнения методом использования монотонности.

  • 1.Иследовать на монотонность функции f(x) и g(x) в О.О.У
  • 2.Если выполняются условия теоремы f(x) и g(x) и удается подобрать
  • удовлетворяющие уравнению f(x)=g(x), то
  • -единственный корень
  • этого уравнения
  • , (
  • )-функция возрастает т.к
  • возрастает и
  • возрастает и в правой части уравнения постоянная функция, то
  • уравнения имеет один корень.
  • 9+16=25
  • 25=25

  • ,
  • возрастает функция и
  • -возрастающая и
  • (
  • )-возрастающая функция ,в правой части постоянная
  • функция.
  • Х=1, 6- 4
  • Х=2, 36-16
  • Х=3 , 216-64=152

  • Х=1 ,
  • +
  • Х=4,
  • -
  • -функция убывает, а
  • -возрастает, теорему не применять
  • Ф.М.У
  • а=
  • У=х-4,а=1 прямая направлена
  • Применяем теорему: уравнений имеет один корень
  • Х=3 ,
  • -1=-1,
  • Х=3

Уравнение с завуалированным обратным числом.

  • (
  • )x +(
  • )x=8
  • (4+
  • )=16-16=1=
  • 4+
  • =t
  • t (
  • ) =1=
  • 4-
  • =
  • t+
  • =8|
  • t
  • t2-8t+1=0
  • д=b2-4ac=64-4=60
  • t1,2=
  • =
  • =4
  • (
  • )x=(4+
  • )
  • (
  • )x=(4-
  • )
  • =1
  • = -1
  • X=2 x= -2

Например!

  • (
  • )x + (
  • )x=6
  • (
  • )x + (
  • )x=10

Используемая литература

  • С.М.Никольский- алгебра 10-11класс
  • Ш.А.Алимов и др- алгебра 10-11класс
  • Справочник по математике 5-11 класс
  • Т.С. Кармакова -элективный курс «Методы решения нестандартных уравнений»