Презентация "Решение задач по теории вероятности"

Решение задач по теории вероятности. учитель Мкоу сош№3 с. Чикола Макоева Л. Б. Основные понятия теории вероятности. Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет. Испытанием называют такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов. Вероятность события Вероятность события Если n - число всех исходов некоторого испытания, т - число благоприятствующих событию A исходов, вероятность события A равна P(A) = Пример Пример Бросается игральный кубик, какова вероятность того, что выпадет число 4. Решение: У кубика 6 сторон, выпасть может любая из них ⇒ число всех исходов равно n=6. Число 4 может выпасть только в одном случае ⇒ число благоприятствующих исходов равно m=1. Тогда P(A)=1:6 Ответ: 1/6 Сложение вероятностей Сложение вероятностей Суммой событий A и B называют событие A + B , состоящее либо в появлении только события A, либо только события B, либо и события A и события B одновременно. P(A+B)=P(A)+P(B) Пример Пример В ящике лежат 10 шаров: 4 красных, 1 синий и 5 черных. Наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что шар красный или синий. Решение: Пусть событие A - выбран красный шар. P(A)=4:10=0,4 Событие B - выбран синий шар. P(B)=1:10=0,1 Тогда вероятность того, что выбранный шар красный или синий равна P(A+B)=0,4+0,1=0.5 Произведение вероятностей Произведение вероятностей Произведением событий A и B называется событие P(AB), состоящее в появлении и события A и события B. P(AB)=P(A)P(B) Пример Пример Дважды бросается игральный кубик. Какова вероятность того что оба раза выпадет число 5. Решение: Пусть событие A - 1-й раз выпадет 5; событие B - 2-й раз выпадет 5. P(A)=1:6 P(B)=1:6 Тогда вероятность того, что оба раза выпадет число 5 P(AB)=1/6  1/6=1/36 Если гроссмейстер А играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б с вероятностью 0,6. Если А играет черными, то А выигрывает у Б с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А и Б играют 2 партии, причем во 2-ой партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А выиграет оба раза. Если гроссмейстер А играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б с вероятностью 0,6. Если А играет черными, то А выигрывает у Б с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А и Б играют 2 партии, причем во 2-ой партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А выиграет оба раза. Решение: Пусть Событие F - это выигрыш А в 1-ой партии, P(F)=0,6 Событие G - выигрыш А в 2-ой партии, P(G)=0,4 Событие C - А выиграет обе партии. Вероятность наступления C равна произведению P(F) и P(G) , то есть наступят события G и C P(C)=0,6  0,4=0,24 Ответ: 0,24 Размещения Размещения Размещениями из m элементов по n называются такие соединения, которые содержат n элементов из множества m элементов и отличаются друг от друга либо самими элементами (состав), либо порядком их расположения. Обозначение: = m - общее количество элементов; n - количество отбираемых элементов. Пример Пример В классе 20 человек. Сколькими способами можно выбрать 2 человека для конкурса. Решение: Общее количество элементов m = 20, количество отбираемых элементов n = 2. Порядок не важен. Используя формулу получим число выборов: = = 18!  19  20:18!=380 Ответ: 380 Сочетания Сочетания Сочетаниями из m элементов по n называются такие соединения, которые содержат n элементов из множества m элементов и отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом. Обозначение: = m - общее количество элементов, n - количество отбираемых элементов Пример Пример Имеется стопка из 25 книг. Сколькими способами можно выбрать 3 книги. Решение: Общее количество элементов m = 25, количество отбираемых элементов n = 3. Порядок не важен, выборки отличаются только составом книг. Используя формулу получим число выборок: = 2300 Ответ: 2300 Первый тип задач К первому типу задач отнесем задачу нахождения вероятности наступления того или иного события из общего числа исходов. Пусть n – общее число исходов(испытаний); m – число благоприятных исходов. Тогда вероятность наступления того или иного события вычисляется по формуле: P(A) = m : n Пример Пример В среднем из 1000 упаковок натурального сока, поступивших в продажу, 5 испорченных. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля упаковка сока не испорчена. Решение: n = 1000; m = 1000-5=995 P(A) = 995:1000 = 0,995 Ответ: 0,995 В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Германии, 7 спортсменов из Греции, 9 спортсменов из России и 5 — из США. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Вычислите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из России. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Германии, 7 спортсменов из Греции, 9 спортсменов из России и 5 — из США. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Вычислите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из России. Ответ:0,36 Школьник загадал целое число от 1 до 5. Какова вероятность того. Что он загадал число 3? Школьник загадал целое число от 1 до 5. Какова вероятность того. Что он загадал число 3? Ответ:0,2 Шесть пронумерованных игроков подбрасыванием кубика разыгрывают приз. Приз достанется тому, чей номер совпадет с числом выпавших очков. Какова вероятность, что приз достанется игроку с номером 6? Ответ: 1:6 В фирме такси в данный момент свободно  15  машин: 4 красных, 9 желтых и 2 белых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчику. Какова вероятность того, что к нему приедет желтое такси. Ответ:0,6 Второй тип задач Ко второму типу задач отнесем задачи на нахождение пересечения независимых событий. События А и В независимые, если вероятность каждого из них не зависит от появления или не появления другого. Пусть С, событие является пересечением А и В, если произошли оба события. Если А и В независимы, то вероятность их пересечений равна произведению вероятностей А и В. Р(АВ) = Р(А)Р(В) Если события А и В несовместимы, то вероятность их объединения равна сумме вероятностей А и В. Р(АВ) = Р(А) + Р(В). Пример В некоторой местности утро в июле может быть либо ясным, либо пасмурным. Наблюдения показали:

• Если июльское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1.
• Если июльское утро пасмурное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,5.
• Вероятность того, что утро в июле будет пасмурным, равна 0,2.
Найти вероятность того, что в случайно взятый июльский день дождя не будет.

Решение: Решение: Р(А): Утро ясное, то вероятность того, что дождя не будет равна 1-0,1=0,9 Р(В): Утро пасмурное, но вероятность того, что дождя не будет равна 1-0,5 = 0,5. Р(В):Утро пасмурное с вероятностью 0,2 Вероятность наступления событий Р(В) и Р(В) равна их объединению т.е. 0,5+0,2=0,7. События «ясно» и «пасмурно» независимые. Найдем их пересечение, то есть 0,9 0,7=0,63 Ответ: 0,63 Пример Пример В некоторой местности утро в мае бывает либо ясным, либо облачным. Наблюдения показали:

• Если майское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,2;
• Если майское утро облачное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,6;
• Вероятность того, что утро в мае будет облачным равна 0,4.
Найти вероятность того, что в случайно взятый майский день дождя не будет.

Решение: Решение: Р(А): утро ясное и дождя не будет 1-0,2=0,8. Р(В): облачно, но дождя не будет 1-0,6=0,4. Р(В): утро облачно, вероятность 0,4 Р(ВВ) = Р(В) + Р(В)=0,4+0,4=0,8 Р(А)  Р(ВВ)=0,80,8=0,64 Ответ:0,64 Задачи. Задачи.

• На экзамене 60 билетов, Артур не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.(0,95)
• В фирме такси 20 машин: 10 черных, 2 белых и 8 красных. По вызову выехала одна из машин. Найдите вероятность того, что выехало красное такси. (0,4)