Презентация "Решение задач по теории вероятности"


Подписи к слайдам:
Решение задач в ЕГЭ по теории вероятности.

Решение задач по теории вероятности. учитель Мкоу сош№3 с. Чикола Макоева Л. Б.

Основные понятия теории вероятности.

Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.

Испытанием называют такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов.

Вероятность события

Вероятность события

Если n - число всех исходов некоторого испытания,

т - число благоприятствующих событию A исходов,

вероятность события A равна

P(A) =

Пример

Пример

Бросается игральный кубик, какова вероятность того, что выпадет число 4.

Решение:

У кубика 6 сторон, выпасть может любая из них ⇒ число всех исходов равно n=6.

Число 4 может выпасть только в одном случае ⇒ число благоприятствующих исходов равно m=1.

Тогда P(A)=1:6

Ответ: 1/6

Сложение вероятностей

Сложение вероятностей

Суммой событий A и B называют событие A + B , состоящее либо в появлении только события A, либо только события B, либо и события A и события B одновременно.

P(A+B)=P(A)+P(B)

Пример

Пример

В ящике лежат 10 шаров: 4 красных, 1 синий и 5 черных. Наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что шар красный или синий.

Решение:

Пусть событие A - выбран красный шар.

P(A)=4:10=0,4

Событие B - выбран синий шар.

P(B)=1:10=0,1

Тогда вероятность того, что выбранный шар красный или синий равна

P(A+B)=0,4+0,1=0.5

Произведение вероятностей

Произведение вероятностей

Произведением событий A и B называется событие P(AB), состоящее в появлении и события A и события B.

P(AB)=P(A)P(B)

Пример

Пример

Дважды бросается игральный кубик. Какова вероятность того что оба раза выпадет число 5.

Решение:

Пусть

событие A - 1-й раз выпадет 5;

событие B - 2-й раз выпадет 5.

P(A)=1:6

P(B)=1:6

Тогда вероятность того, что оба раза выпадет число 5

P(AB)=1/61/6=1/36

Если гроссмейстер А играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б с вероятностью 0,6. Если А играет черными, то А выигрывает у Б с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А и Б играют 2 партии, причем во 2-ой партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А выиграет оба раза.

Если гроссмейстер А играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б с вероятностью 0,6. Если А играет черными, то А выигрывает у Б с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А и Б играют 2 партии, причем во 2-ой партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А выиграет оба раза.

Решение:

Пусть

Событие F - это выигрыш А в 1-ой партии, P(F)=0,6

Событие G - выигрыш А в 2-ой партии, P(G)=0,4

Событие C - А выиграет обе партии.

Вероятность наступления C равна произведению P(F) и P(G) , то есть наступят события G и C

P(C)=0,6  0,4=0,24

Ответ: 0,24

Размещения

Размещения

Размещениями из m элементов по n называются такие соединения, которые содержат n элементов из множества m элементов и отличаются друг от друга либо самими элементами (состав), либо порядком их расположения.

Обозначение:

=

m - общее количество элементов;

n - количество отбираемых элементов.

Пример

Пример

В классе 20 человек. Сколькими способами можно выбрать 2 человека для конкурса.

Решение:

Общее количество элементов m = 20,

количество отбираемых элементов n = 2.

Порядок не важен.

Используя формулу получим число выборов:

= = 18!  19  20:18!=380

Ответ: 380

Сочетания

Сочетания

Сочетаниями из m элементов по n называются такие соединения, которые содержат n элементов из множества m элементов и отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.

Обозначение:

=

m - общее количество элементов,

n - количество отбираемых элементов

Пример

Пример

Имеется стопка из 25 книг. Сколькими способами можно выбрать

3 книги.

Решение:

Общее количество элементов m = 25,

количество отбираемых элементов n = 3.

Порядок не важен, выборки отличаются только составом книг.

Используя формулу получим число выборок:

= 2300

Ответ: 2300

Первый тип задач

К первому типу задач отнесем задачу нахождения вероятности наступления того или иного события из общего числа исходов.

Пусть

n – общее число исходов(испытаний);

m – число благоприятных исходов.

Тогда вероятность наступления того или иного события вычисляется по формуле:

P(A) = m : n

Пример

Пример

В среднем из 1000 упаковок натурального сока, поступивших в продажу, 5 испорченных. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля упаковка сока не испорчена.

Решение:

n = 1000; m = 1000-5=995

P(A) = 995:1000 = 0,995

Ответ: 0,995

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Германии, 7 спортсменов из Греции, 9 спортсменов из России и 5 — из США. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Вычислите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из России.

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Германии, 7 спортсменов из Греции, 9 спортсменов из России и 5 — из США. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Вычислите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из России.

Ответ:0,36

Школьник загадал целое число от 1 до 5. Какова вероятность того. Что он загадал число 3?

Школьник загадал целое число от 1 до 5. Какова вероятность того. Что он загадал число 3?

Ответ:0,2

Шесть пронумерованных игроков подбрасыванием кубика разыгрывают приз. Приз достанется тому, чей номер совпадет с числом выпавших очков. Какова вероятность, что приз достанется игроку с номером 6?

Ответ: 1:6

В фирме такси в данный момент свободно  15  машин: 4 красных, 9 желтых и 2 белых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчику. Какова вероятность того, что к нему приедет желтое такси.

Ответ:0,6

Второй тип задач

Ко второму типу задач отнесем задачи на нахождение пересечения независимых событий.

События А и В независимые, если вероятность каждого из них не зависит от появления или не появления другого.

Пусть С, событие является пересечением А и В, если произошли оба события.

Если А и В независимы, то вероятность их пересечений равна произведению вероятностей А и В.

Р(АВ) = Р(А)Р(В)

Если события А и В несовместимы, то вероятность их объединения равна сумме вероятностей А и В.

Р(АВ) = Р(А) + Р(В).

Пример

В некоторой местности утро в июле может быть либо ясным, либо пасмурным. Наблюдения показали:

  • Если июльское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1.
  • Если июльское утро пасмурное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,5.
  • Вероятность того, что утро в июле будет пасмурным, равна 0,2.
  • Найти вероятность того, что в случайно взятый июльский день дождя не будет.

Решение:

Решение:

Р(А): Утро ясное, то вероятность того, что дождя не будет равна 1-0,1=0,9

Р(В): Утро пасмурное, но вероятность того, что дождя не будет равна 1-0,5 = 0,5.

Р(В):Утро пасмурное с вероятностью 0,2

Вероятность наступления событий Р(В) и

Р(В) равна их объединению т.е. 0,5+0,2=0,7.

События «ясно» и «пасмурно» независимые. Найдем их пересечение, то есть 0,9 0,7=0,63

Ответ: 0,63

Пример

Пример

В некоторой местности утро в мае бывает либо ясным, либо облачным. Наблюдения показали:

  • Если майское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,2;
  • Если майское утро облачное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,6;
  • Вероятность того, что утро в мае будет облачным равна 0,4.
  • Найти вероятность того, что в случайно взятый майский день дождя не будет.

Решение:

Решение:

Р(А): утро ясное и дождя не будет

1-0,2=0,8.

Р(В): облачно, но дождя не будет

1-0,6=0,4.

Р(В): утро облачно, вероятность 0,4

Р(ВВ) = Р(В) + Р(В)=0,4+0,4=0,8

Р(А)  Р(ВВ)=0,80,8=0,64

Ответ:0,64

Задачи.

Задачи.

  • На экзамене 60 билетов, Артур не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.(0,95)
  • В фирме такси 20 машин: 10 черных, 2 белых и 8 красных. По вызову выехала одна из машин. Найдите вероятность того, что выехало красное такси. (0,4)