Презентация "Методы решения показательных уравнений"


Подписи к слайдам:

  • Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №32
  • Методы решения показательных уравнений
  • Учитель математики
  • высшей категории
  • Оршокдугова Р.М.
  • г .Нальчик ,2010 г.

«Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнение, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно». А. Эйнштейн

  • Альберт
  • Эйнштейн
  • 1879 - 1955

  • Девиз урока :
  • «Дорогу осилит идущий , а математику – мыслящий»
  • Т. Эдисон
  • Цели
  • а) образовательные:
  • -закрепить решение простейших показательных уравнений;
  • -показать дополнительные методы решения показательных уравнений;
  • -обобщить и систематизировать методы решения показательных уравнений;
  • б) развивающие: продолжить работу по развитию умений работать с дополнительной литературой;
  • в) воспитательные:
  • -организация совместных действий, ведущих к активизации учебного процесса;
  • -стимулирование учеников к самооценке образовательной деятельности;
  • -учащиеся работают над решением проблемы, поставленной учителем;
  • Оборудование урока: проектор, компьютер, презентация к уроку.

  • Устная работа
  • Учебный элемент №1
  • Г. Лессинга
  • «Спорьте, заблуждайтесь, ошибайтесь, но, ради Бога, размышляйте, и, хотя криво – да сами».
  • 1) функцию какого вида называют показательной;
  • 2) какова область определения показательной функции;
  • 3) каково множество значений показательной функции;
  • 4)что можно сказать о монотонности показательной функции в зависимости от основания а;
  • 35

1. На рисунке изображены графики показательных функций. Соотнесите график функции с формулой.

  • 1)
  • 2)
  • 3)
  • 4)

  • Термин «показатель» для степени ввел в 1553 г. немецкий математик (сначала монах, а затем − профессор) Михаэль Штифель (1487-1567). По-немецки показатель − Exponent, от лат. exponere: «выставлять напоказ»; exponens, exponentis − «выставляющий напоказ», «показывающий». Штифель же ввел дробные и нулевой показатели степени. Само обозначение ax для натуральных показателей степени ввел Рене Декарт (1637 г.), а свободно обращаться с такими же дробными и отрицательными показателями стал с 1676 г. сэр Исаак Ньютон.
  • Степени с произвольными действительными показателями, без всякого общего определения, рассматривали и Лейбниц, и Иоганн Бернулли; в 1679 г. Лейбниц ввел понятия экспоненциальной (т.е., по-русски, показательной) функции для зависимости и экспоненциальной кривой для графика этой функции. Краткое наименование «экспонента» отражено в одном из обозначений: . Через exp(x) обозначается конкретная экспонента − с показателем a = e = 2,71828... − встроенная во многие языки программирования функция.

  • Учебный элемент № 2
  • Работа у доски и в тетрадях
  • Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям. Л.Эйлер.
  • 37
  • 38
  • 39

  • Учебный элемент № 3
  • «Я слышу – я забываю,
  • я вижу – я запоминаю,
  • я делаю – я усваиваю». Китайская мудрость.
  • 39
  • 38

Определение

  • Показательным уравнением называется уравнение ,
  • содержащее переменную в показателе степени.
  • Показательные уравнения относятся к классу трансцендентных уравнений. Это труднопроизносимое название говорит о том, что такие уравнения, вообще говоря, не решаются в виде формул.
  • Замечание

  • Функционально-графический метод
  • Метод введения новой переменной
  • Вынесение общего
  • множителя за скобки
  • показательных уравнений
  • Метод уравнивания показателей
  • Метод подбора
  • Основные методы и приемы решения
  • Логарифмический
  • метод

  • Самостоятельная работа №1
  • УчебныЙ элемент № 4
  • Уж лучше совсем не помышлять об отыскании каких бы то ни было истин, чем делать это без всякого метода…
  • Рене Декарт.
  • 38
  • 39

Применение показательной функции

  • Диагностика заболеваний. При диагностике почечных
  • болезней часто определяют способность почек выводить из крови
  • радиоактивные изотопы, причем их количество в крови падает по
  • показательному закону.
  • Барометрическая формула. При постоянной температуре
  • давление воздуха убывает с убыванием высоты над уровнем моря по закону
  • где p0 – давление на уровне моря (h =0), p – давление на высоте h, H -
  • константа, зависящая от температуры воздуха.
  • Формула разрядки конденсатора. Если начальное
  • напряжение на конденсаторе равно U0, то конденсатор будет разряжаться по закону
  • где t – время, в течение которого разряжается конденсатор, R – сопротивление, C – электроемкость конденсатора.

Применение показательной функции

  • Радиоактивный распад
  • Количество распадающегося за единицу времени вещества всегда пропорционально имеющемуся количеству вещества.
  • Промежуток времени, в течение которого распадается половина всех имеющихся атомов называется периодом полураспада данного вещества.
  • Этот период различен для разных веществ.
  • Например, за время равное лет при распаде урана-238 распадается половина от начального числа атомов, т.е. при увеличении времени на 4,5 миллиарда лет число атомов уменьшается в 2 раза.
  • Задание. Сделать аналитическую запись формулы радиоактивного распада, обозначив начальную массу вещества М. Изобразить схематически график функции.
  • Ответ.
  • или
  • у
  • М
  • х

Закон радиоактивного распада

  • Радиоактивный распад

Применение показательной функции

  • При передаче электроэнергии по подводному кабелю потери в силе
  • тока за счет утечки в воду пропорциональны длине кабеля
  • .
  • Например, на каждом километре сила тока уменьшается на 0,5%.
  • Тогда при увеличении расстояния от источника энергии на 1 км сила
  • тока будет изменяться в отношении 1: 0,995
  • Задание. Сделать аналитическую запись формулы,
  • выражающей
  • зависимость силы тока от расстояния. Изобразить
  • схематически график функции.
  • Ответ:
  • 1
  • у
  • х
  • Потери силы тока.

Применение показательной функции

  • При искусственном выращивании каких-либо микроорганизмов размножение клеток идет так, что за некоторый определенный промежуток времени (длина митотического цикла) каждая клетка делится на две дочерние клетки.
  • Поэтому, когда время увеличивается на длину митотического цикла, число клеток увеличивается в два раза
  • Задание. Сделать аналитическую запись формулы размножения клеток. Изобразить схематически график функции.
  • Ответ.
  • Органический рост

Применение показательной функции

  • Если однолетнее растение дает 100 семян и из них прорастает половина, то за каждый год, т.е. при увеличении времени на единицу, число растений увеличивается в 50 раз.
  • Задание. Сделать аналитическую запись формулы размножения растений. Изобразить схематически график функции.
  • Ответ.
  • у
  • 0
  • х
  • 1
  • Органический рост

Применение показательной функции

  • В XIV-XV веках в Западной Европе появляются банки – учреждения, которые
  • давали деньги в рост князьям и купцам, финансировали за большие проценты
  • дальние путешествия и завоевательные походы. Чтобы облегчить
  • расчеты сложных процентов, взимаемых по займам, составили таблицы,
  • по которым сразу можно было узнать, какую сумму надо было уплатить через п лет, если была взята взаймы сумма а по р% годовых.
  • Эта сумма выражается формулой
  • Пример. Банк выплачивает вкладчикам проценты по вкладам в размере
  • 4% в год, т.е. за каждый год вклад увеличивается в 1,04 раза.
  • Задание. Сделать аналитическую запись формулы, выражающей зависимость
  • величины вклада от времени. Изобразить схематически график функции.
  • Рост вклада в банке
  • 0
  • 1
  • у
  • х

  • Решение нестандартных показательных уравнений . Презентация решений, подготовленных учащимися.
  • Учебный элемент № 5

  • Ответ: .
  • удовлетворяет второму уравнению.
  • Пример 1. Решите уравнение
  • Решение. Оценим обе части уравнения.
  • При всех значениях х верны неравенства:
  • Следовательно, данное уравнение равносильно системе:
  • Полученная система не имеет решений, так как не
  • Графическая иллюстрация

  • Пример 2. Решить уравнение
  • Решение: Оценим обе части уравнения.
  • При всех значениях х верны неравенства
  • Следовательно, данное уравнение равносильно системе:
  • При х = 0 второе уравнение обращается в тождество, значит
  • х = 0 корень уравнения.
  • Ответ: х = 0.
  • Графическая иллюстрация

  • Пример 9. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
  • имеет решения. Найдите эти решения.
  • При всех значениях х выражение
  • При всех значения х выражения
  • Поэтому
  • Следовательно, левая часть уравнения не меньше 4, а правая часть – не больше 4. Получаем систему:
  • Ответ:
  • при
  • Решение. Перепишем уравнение в виде

  • Может ли при каком-нибудь значении параметра а, уравнение
  • Так как при замене х на –х данное уравнение не изменится, то множество его корней вместе с каждым корнем содержит противоположный корень. Следовательно, уравнение имеет четное число корней, отличных от нуля. Проверка показывает, что 0 – корень, значит, данное уравнение имеет нечетное число корней.
  • иметь нечетное число корней?
  • Решение.
  • Ответ: да.
  • Графическая иллюстрация
  • ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЧЕТНОСТИ ФУНКЦИИ

  • у
  • х
  • 0
  • 2
  • 1
  • а = 2
  • а = 1
  • а = -1
  • а = 3
  • а = -3
  • а = -2

  • Математика. ЕГЭ. Контрольные измерительные материалы. Методические указания при подготовке. Тестовые задания: Учебно – методическое пособие  Л.Д. Лаппо, А.В. Морозов, М.А. Попов. – М.: издательство «Экзамен», 2006, 2008, 2010
  • 2. Математика. ЕГЭ. Контрольные измерительные материалы. Варианты тестов. Министерство образования РФ. – М.: Центр тестирования Минобразования России, 2008.  Денищева Л.О. и др.
  • 3. Математика — абитуриенту. Автор: Ткачук В. В. Издательство: 2007. Год: МЦНМО. Страниц: 976
  • Для создания шаблона презентации использовалась картинка http://www.box-m.info/uploads/posts/2009-05/1242475156_2.jpg
  • Литература

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели

  • Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели
  • Г. Лейбниц

Для успешного решения показательных уравнений Вам необходимо:

  • 1.Безошибочно решать простейшие показательные уравнения.
  • 2.Активно знать все показательные тождества
  • 3.Четко, подробно и без ошибок проделывать математические
  • преобразования уравнений.
  • 4.Знать методы решения задач. На каждом этапе Вам необходимо:
    • а) определить тип уравнения;
  • б) вспомнить соответствующий этому типу метод
  • решения задачи.

Молодцы, вы освоили решения уравнений второго уровня сложности.

  • Молодцы, вы освоили решения уравнений второго уровня сложности.
    • Если вы набрали 20-26 , то получаете оценку «5».
    • Если вы набрали 14-19 , то получаете оценку «4».
    • Если вы набрали 7-13 , то получаете оценку «3».
    • Если вы набрали 0-6 , то получаете оценку «2».
  • Молодцы !!!

  • спасибо за внимание
  • Домашнее задание : листы – вкладыши ЕГЭ
  • «Показательные уравнения»

Методы решения показательных уравнений

  • Метод приведения степеней к одному основанию
  • Вынесение общего множителя за скобки
  • Метод замены переменной
  • Метод почленного деления
  • Метод группировки
  • Графический метод