Презентация "Теорема о трёх перпендикулярах, её применение при решении задач"


Подписи к слайдам:
Урок по теме: «применение теоремы о трёх перпендикулярах»

«Теорема о трех перпендикулярах, ее применение при решении задач» учитель математики МОУ-СОШ с. Староселье Унечского района Брянской области Барсукова Зинаида Александровна

ОБУЧАЮЩАЯ :

  • обосновать необходимость теоремы о трех перпендикулярах
  • сформировать видение изученной закономерности в различных ситуациях: при решении задач на доказательство или задач, требующих найти численное (или буквенное значение) какого-либо элемента .
  • учиться умению читать чертеж,
  • учить умению объяснять, комментировать выполняемое упражнение в виде цельного связного рассказа.

ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ :

    • способствовать развитию общения как метода научного познания, аналитико-синтетического мышления, смысловой памяти и произвольного внимания,
    • развитие навыков исследовательской деятельности (планирование, выдвижение гипотез, анализ, обобщение).

РАЗВИВАЮЩАЯ :

  • развивать у учащихся коммуникативные компетенции,
  • способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.

ЦЕЛЬ УРОКА

Проверка домашнего задания.

ПЛАН УРОКА

I. Организационный момент.

III. Актуализация знаний.

IY. Применение теории на практике.

Y. Осмысление содержания и последовательности применения практических действий при выполнении предстоящих заданий

YI. Самостоятельное выполнение учащимися заданий под контролем учителя

YII. Подведение итогов.

YIII. Домашнее задание.

Дерзай !!!

II.

«НАЧИНАТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ МОЖНО ПО-РАЗНОМУ... Все равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. ЕСТЬ ИСТИНЫ, как страны, НАИБОЛЕЕ УДОБНЫЙ ПУТЬ К КОТОРЫМ СТАНОВИТСЯ ИЗВЕСТНЫМ ЛИШЬ ПОСЛЕ ТОГО, КАК МЫ ИСПРОБУЕМ ВСЕ ПУТИ. Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь... НА ПУТИ К ИСТИНЕ МЫ ПОЧТИ ВСЕГДА ОБРЕЧЕНЫ СОВЕРШАТЬ ОШИБКИ» (Дени Дидро).

ЭПИГРАФ К УРОКУ

Denis Diderot

1713 - 1784

Екатерина II

Акцентируем теорию по теме.

1. Угол между прямыми равен 90˚. Как называются такие прямые?

Ответ: перпендикулярные.

2. Верно ли утверждение: «прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей этой плоскости»

Ответ: да.

3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Ответ: если пряма перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

4. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости?

4. Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости?

Ответ: как длина перпендикуляра, проведённого из точки к данной прямой.

5. По рисунку назовите:

перпендикуляр, основание

перпендикуляра, наклонную к

плоскости α, основание

наклонной и её проекцию на

плоскость α.

6. Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах.

α

K

D

P

Теорема о трёх перпендикулярах.

Прямая, проведённая в плоскости через основание

наклонной перпендикулярно к её проекции на эту

плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной

Обратно: прямая, проведённая в плоскости через

основание наклонной перпендикулярно к ней

перпендикулярна и к её проекции.

Дано: α , АС – наклонная,

ВС – проекция, ВС ┴ с , АВ ┴ α.

Доказать: АС ┴ с.

Доказательство.

1.Проведем СА1 ┴ с .

2.СА1||АВ по теореме.(Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны).

3.Проведем через АВ и СА1 плоскость β.

4.с ┴ СА, с ┴ ВС (по Теореме: «Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости».),с ┴ β, значит,

с ┴АС.

А

А1

В

С

с

α

Iспособ (от противного)

Теорема: Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Доказательство:

Пусть t ┴ ОА. Допустим, что SA не перпендикулярна прямой t. Проведем SB ┴ t, тогда SA> SB. Из прямоугольных треугольников SOA и SOB:

Получаем: ОА>OB. Между тем ОА < OB, так как ОА ┴ t по условию. К данному противоречию нас привело предположение, что SA не перпендикулярна прямой t. Значит, SA┴ t.

S

О

В

С

А

t

II способ (свойства равнобедренного треугольника)

Доказательство:

От точки А отложим равные отрезки: АМ= АN. Точки М и N соединим с точками O и S. В ОА есть одновременно высота и медиана, этот треугольник равнобедренный: ОМ = ОN. Прямоугольные треугольники OSM и OSN равны (по двум катетам). Из их равенства следует, что SM= SN и SA- медиана равнобедренного треугольника MSN. Значит, SA одновременно и высота этого треугольника, т. е. SA┴MN.

S

M

O

N

A

t

III способ (теорема Пифагора)

Доказательство:

На прямой t возьмем произвольную точку В и соединим ее с точками О и S. Из прямоугольных треугольников SOB, SOA и AOB: = SO2+ OB2, SA2 = =SO2+ OA2, OB2- OA2= AB2. Вычтя из первого равенства второе, получим:SB2 – SA2 = =OB2 – OA2. Приняв во внимание третье равенство, будем иметь: SB2 – SA2 = AB2, SB2 = SA2 +AB2. Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, SA┴AB, т. е. t┴SA.

S

O

A

B

t

IV способ (векторный)

Доказательство:

Зададим векторы

Умножим обе части на

Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю:

Но и не нулевые векторы, значит, , прямая оказалась перпендикулярной наклонной, что и требовалось доказать.

S

O

A

N

M

α

Задача № 1

Дано:

АВСК –прямоугольник.

Доказать:

М

В

А

К

Задача № 2

Дано:

Доказать:

C

D

A

B

Задача № 3 Как определить вид диагонального сечения куба, проведенного через диагонали параллельных граней?

Ответ: А1ВСD1 - прямоугольник

В

В1

А1

А

С1

D

C

D1

Задача №4 На изображении куба построить несколько прямых перпендикулярных диагонали куба.

Задача №154 (Атанасян)

Прямая BD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Известно, что BD = 9 см,

АС = 10 см, ВС = ВА = 13 см.

Найдите: а) расстояние от точки D до прямой АС; б) площадь треугольника ACD.

Думай

Д

У

М

А

Й

!

!

!

Задача № 158

Через вершину В ромба ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямы, содержащих стороны ромба, если АВ = 25 см, угол BAD равен 60 градусам, ВМ = 12,5 см.

Р

Е

Ш

А

Й

!!!

Задача №161

Луч ВА не лежит в плоскости неразвернутого угла CBD. Докажите, что если угол АВС равен углу ABD, причем угол АВС меньше 90 градусов, то проекцией луча ВА на плоскость CBD является биссектриса угла CBD.

о

трех

перпендикуляра х -

это

. . .

Теорема

  • Верно ли, что две прямые, параллельные одной плоскости, перпендикулярны (две прямые, перпендикулярные к одной плоскости, параллельны).
  • Может ли прямая, перпендикулярная к плоскости, скрещиваться с прямой, лежащей в этой плоскости (прямая, перпендикулярная к плоскости, быть параллельна прямой, лежащей в этой плоскости)?
  • Верно ли, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум прямым этой плоскости (она перпендикулярна к двум прямым, параллельным этой плоскости)?
  • Могут ли две скрещивающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости (две пересекающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости)?

  • Верно ли, что любая из трех взаимно перпендикулярных прямых перпендикулярна к плоскости двух других прямых (две прямые в пространстве, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны)?
  • Могут ли пересекаться две плоскости, перпендикулярные к одной прямой ( прямая а и плоскость, перпендикулярные к одной прямой с)?
  • Верно ли, что длина перпендикуляра меньше длины наклонной, проведенной из той же точки (длина перпендикуляра меньше длины проекции наклонной, проведенной из той же точки)?

Критерии оценок 7 правильных ответов – «5» 6 правильных ответов – «4» 5 правильных ответов – «3»

1

2

3

4

5

6

7

I вариант

-

+

-

-

+

-

-

II вариант

+

-

-

-

-

-

+

I уровень.(на «3»)

Дано:, АС ┴ ВС, SA = SB = SC =10 см; СМ =5 см –медиана.

Найти: SM (расстояние от точки S до плоскости (АВС)).

II уровень ( на «4»)

Дано: ABCD – прямоугольник; АК ┴ (АВС), KD= 6 см, КВ = = 7 см, КС = 9 см.

Найти: расстояние от точки К до (АВС).

III уровень.( на «5»)

Дано: АВ = 17 см, АС = 15 см, ВС = 8 см, АМ ┴ (АВС),

<А – меньший,

АМ = 20 см.

Найти: МЕ.

Подведение итогов.

Дано: AD┴ (АВС),

Каково взаимное расположение прямых СВ и BD ?

Ответ обоснуйте.

D

A

B

C

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

1. № 145, 143, 140.

2. Ответить на вопросы пп 19, 20.

3. Дополнительная задача: Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость α. Найдите расстояние от прямой ВС до плоскости α, если площадь ромба равна 80 ,высота – 8 см, а угол между проекцией стороны CD и прямой AD равен 45 градусов.

Дальнейших

успехов !!!

СПАСИБО!