Презентация "Комбинаторика"


Подписи к слайдам:
Слайд 1

КОМБИНАТОРИКА

  • Преподаватель ГОУ СПО ЯО Рыбинский лесхоз техникум Цветкова Е.Н.

  • Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
  • Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».
  • Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.

  • Комбинаторика - важный раздел математики,
  • знание которого необходимо представителям самых разных специальностей. С комбинаторными задачами приходится иметь дело физикам, химикам, биологам, лингвистам, специалистам по кодам и др.
  • Комбинаторные методы лежат в основе решения многих задач теории
  • вероятностей и
  • ее приложений.

  • <number>
  • В Древней Греции
  • подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слогов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей и т.д.
  • Со временем появились различные игры
  • (нарды, карты, шашки, шахматы и т. д.)
  • В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучал, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.

  • <number>
  • Готфрид Вильгельм Лейбниц (1.07.1646 - 14.11.1716)
  • Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666г. Он также впервые ввел термин «Комбинаторика».
  • Леонард Эйлер(1707-1783)
  • рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов, положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в большую и важную науку—топологию, которая изучает общие свойства пространства и фигур.

Если некоторый объект A можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить (m+n) способами.

  • Если некоторый объект A можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить (m+n) способами.
  • При использовании правила суммы надо следить, чтобы ни один из способов выбора объекта А не совпадал с каким-либо способом выбора объекта В.
  • Если такие совпадения есть, правило суммы утрачивает силу, и мы получаем лишь (m + n - k) способов выбора, где k—число совпадений.

В коробке находится 10 шаров: 3 белых, 2 черных, 1 синий и 4 красных. Сколькими способами можно взять из ящика цветной шар?

  • В коробке находится 10 шаров: 3 белых, 2 черных, 1 синий и 4 красных. Сколькими способами можно взять из ящика цветной шар?
  • Решение:
  • Цветной шар – это синий или красный, поэтому применим правило суммы:

Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А,В) в указанном порядке можно осуществить mn способами.

  • Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А,В) в указанном порядке можно осуществить mn способами.
  • При этом число способов выбора второго элемента не зависит от того, как именно выбран первый элемент.

Сколько может быть различных комбинаций выпавших

  • Сколько может быть различных комбинаций выпавших
  • граней при бросании двух игральных костей?
  • Решение:
  • На первой кости может быть: 1,2,3,4,5 и 6 очков, т.е. 6 вариантов.
  • На второй – 6 вариантов.
  • Всего: 6*6=36 вариантов.
  • Правила суммы и произведения верны для любого количества объектов.

№1. Из города А а город В ведут 6 дорог, а из города В в город С – 3 дороги. Сколькими способами можно проехать из города А в город С?

  • №1. Из города А а город В ведут 6 дорог, а из города В в город С – 3 дороги. Сколькими способами можно проехать из города А в город С?
  • №2. На книжной полке стоят 3 книги по алгебре, 7 по геометрии и 2 по литературе. Сколькими способами можно взять с полки одну книгу по математике?
  • №3. В меню имеется 4 первых блюда, 3 – вторых, 2 – десерта. Сколько различных обедов можно из них составить?

  • « Эн факториал»-n!.
  • Определение.
  • Произведение подряд идущих первых n
  • натуральных чисел обозначают n! и называют
  • «эн факториал»: n!=1•2•3•…•(n-1)•n.
  • 2!=
  • 1•2=
  • 2
  • 3!=
  • 1•2•3=
  • 6
  • 4!=
  • 1•2•3•4=
  • 24
  • 5!=
  • 1•2•3•4•5=
  • 6!=
  • 120
  • 1•2•3•4•5•6=
  • 720
  • 7!=
  • 1•2•3•4•5•6•7=
  • 5040
  • n!=(n-1)!•n
  • Удобная формула!!!

Комбинации из n-элементов, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов, называются перестановками.

  • Комбинации из n-элементов, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов, называются перестановками.
  • Обозначаются Рn
  • Перестановки

  • Из чисел 1, 5, 9 составить трёхзначное
  • число без повторяющихся цифр.
  • 1
  • 159
  • 195
  • 5
  • 9
  • 519
  • 591
  • 915
  • 951
  • 2 комбинации
  • 2 комбинации
  • 2 комбинации
  • Всего 2•3=6 комбинаций.

Комбинации из n-элементов по k, отличающиеся друг от друга составом и порядком, называются размещениями.

  • Комбинации из n-элементов по k, отличающиеся друг от друга составом и порядком, называются размещениями.
  • Размещения

Комбинации из n-элементов по к, отличающиеся только составом элементов, называются сочетаниями из n -элементов по к.

  • Комбинации из n-элементов по к, отличающиеся только составом элементов, называются сочетаниями из n -элементов по к.
  • Сочетания

Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных.

  • Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных.
  • Сколькими способами это можно сделать?
  • Решение:
  • Надо выбрать двух человек из 20.
  • Ясно, что от порядка выбора ничего не зависит, то есть
  • Иванов - Петров или Петров - Иванов - это одна
  • и та же пара дежурных. Следовательно, это будут сочетания из 20 по 2.

1. Сколько слов можно образовать из букв слова фрагмент, если слова должны состоять: из 8 букв; из 7 букв; из 3 букв?

  • 1. Сколько слов можно образовать из букв слова фрагмент, если слова должны состоять: из 8 букв; из 7 букв; из 3 букв?
  • 2. Студенту необходимо сдать 4 экзамена в течение десяти дней. Сколькими способами можно составить ему расписание экзаменов?
  • 3. Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?
  • 4. Сколько существует различных автомобильных номеров, которые состоят из 5 цифр, если первая из них не равна нулю? Если номер состоит из одной буквы, за которой следуют четыре цифры, отличные от нуля?
  • 5. Подрядчику нужны 4 плотника, а к нему с предложением своих услуг обратились 10. Сколькими способами он может выбрать среди них четверых?
  • 6. Сколькими способами можно расставить на полке семь книг
  • 7. Сколько 5-буквенных слов можно образовать, используя для этого 10 различных букв.
  • 8. Сколькими способами можно отобрать несколько фруктов из семи яблок, четырех лимонов и девяти апельсинов? (Фрукты одного вида считаем неразличимыми.)