Презентация "Преобразования графиков функций"

Подписи к слайдам:
Преобразования графиков функций
  • Цель презентации: дать теоретическое обоснование и практический прием выполнения основных преобразований графиков функций
Пусть y=f(x)- заданная функция. График этой функции может быть подвергнут преобразованиям:
  • y = f(x)+a
  • y = f(x+a)
  • y = - f(x)
  • y = f(-x)
  • y = |f(x)|
  • y = f(|x|)
  • y = аf(x)
  • y = f(аx)
  • комбинации преобразований
  • Примечание: После рассмотрения каждого из выделенных видов
  • преобразований Вы можете вернуться на этой слайд,
  • воспользовавшись гиперссылкой «Возврат».
  • Заметим, что в уравнении функции y = f(x)+a «а»- слагаемое при f(x).
  • Значит: при одном значении аргумента значение функции y = f(x)+a отличается от значения функции y= f(x) на «а», то есть:
  •  Если а>0, то значение функции y = f(x)+a больше значения функции y = f(x) на «a».
  •  Если а<0, то значение функции y = f(x)+a меньше значения функции y = f(x) на «|a|».
  • Взаимное расположение графиков в выделенных случаях проиллюстрировано на Рис.1.
  • Преобразование y=f(x)+a
  • Практический прием построения графика функции y = f(x)+a преобразованием графика функции y = f(x):
  • Чтобы построить график функции y = f(x)+a , можно график функции y = f(x) подвергнуть параллельному переносу на |a| единиц
  • вверх, если а>0,
  • вниз, если а<0.
  • y = f(x)
  • y = f(x)+a (а>0)
  • y = f(x)+a (а<0)
  • У
  • О
  • Х
  • Возврат
  • Элементы самоконтроля (правильности построения графика):
  • Аналитическим путем
  • найти область определения функции и сопоставить с соответствующим свойством графика;
  • найти множество значений функции и сопоставить с соответствующим свойством графика;
  • найти корни функции и сравнить их с абсциссами (абсциссой) точек пересечения графика с осью абсцисс;
  • найти ординату точки пересечения графика функции с осью ординат и сравнить с соответствующей характеристикой точки графика
  • Замечание:
  • если график основной функции y = f(x) имеет асимптоты, то и результатирующий график, полученный в результате преобразования (композиции преобразований) также имеет асимптоты.
  • Преобразование y=f(x+a)
  • 1. Сравнивая уравнения функций y = f(x) и y = f(x+a), заметим, что «a» - слагаемое при аргументе.
  • 2. Чтобы установить взаимное расположение графиков выделенных функций, выясним взаимосвязь аргументов этих функций при равных значениях функций.
  • 3. Пусть (х0,y0) – координаты точки графика y=f(x), а (х1,y0) – координаты соответствующей точки графика функции y=f(x+а).
  • То есть верны равенства: y0= f(х0), y0= f(х1 +а).
  • Отсюда верно равенство: х0= х1 +а
  • или х1 = х0- а
  • Последнее равенство говорит о том, что:
  •     #    если а0, то х1х0 на «а»,
  • #  если а 0, то х1х0 на «а».
  • Полученные выводы дают обоснование взаимному расположению графиков функций y=f(x) и y=f(x+a):
  • если а0, то для получения графика функции y=f(x+a) можно график функции y=f(x) «сдвинуть» на «а» влево;
  • если а 0, то для получения графика функции y=f(x+a) можно график функции y=f(x) «сдвинуть» на «а» вправо (движение вдоль оси абсцисс).
  • У
  • О
  • Х
  • а
  • а
  • y=f(x)
  • y=f(x+a)
  • y=f(x+a)
  • Преобразование y=-f(x)
  • Уравнение функции y = - f(x) можно привести к виду y = (-1)f(x).
  • Не трудно заметить, что при одном значении аргумента значение функции y = - f(x) противоположно значению функции y= f(x).
  • Это означает, что если точка с координатами (х0,y0) – точка графика y=f(x), то точка с координатами (х0,- y0) – точка графика y= - f(x).
  • По свойству взаимного расположения точек координатной плоскости: точки с равными абсциссами и противоположными ординатами симметричны относительно оси абсцисс.
  • Вывод: График функции y = - f(x) можно получить из графика функции y = f(x), выполнив преобразование «осевая симметрия относительно оси абсцисс».
  • Взаимное расположение графиков продемонстрировано на Рис.3
  • У
  • О
  • Х
  • При выполнении симметрии относительно оси абсцисс целесообразно помнить:
  • отрезки переходят в равные отрезки, прямые – в прямые, кривые – в равные им кривые;
  • характеристические точки основного графика переходят в симметричные им точки относительно оси абсцисс;
  • точки пересечения основного графика с осью абсцисс отображаются на себя (остаются на месте)
  • если мысленно перегнуть плоскость по оси абсцисс, графики функций «наложатся» друг на друга
  • y = f(x)
  • y = - f(x)
  • Преобразование y=f(-x)
  • 1. Чтобы установить взаимное расположение графиков выделенных функций, выясним взаимосвязь аргументов этих функций при равных значениях функций.
  • 2. Сравнивая уравнения функций y = f(- x) и y = f(x), заметим, что аргументы противоположны.
  • 3. Пусть (х0,y0) – координаты точки графика y=f(x), а (х1,y0) – координаты соответствующей точки графика функции y=f(- x).
  • То есть верны равенства: y0=f(х0), y0=f(х1). Отсюда верно равенство: х0= - х1 или х1 = - х0
  • Вывод: Если аргументы функций противоположны, то значения функций равны.
  • Геометрической интерпретацией полученного вывода является утверждение: если точка с координатами (х0,y0) – точка графика y=f(x), то точка с координатами (- х0, y0) – точка графика y= f(- x).
  • По свойству взаимного расположения точек координатной плоскости: точки с противоположными абсциссами и равными ординатами симметричны относительно оси ординат.
  • Вывод: График функции y = f(- x) можно получить из графика функции y = f(x), выполнив преобразование «осевая симметрия относительно оси ординат».
  • Взаимное расположение графиков продемонстрировано на Рис.4
  • У
  • О
  • Х
  • При выполнении симметрии относительно оси ординат целесообразно помнить:
  • отрезки переходят в равные отрезки, прямые – в прямые, кривые – в равные им кривые;
  • характеристические точки основного графика переходят в симметричные им точки относительно оси ординат;
  • точка пересечения основного графика с осью ординат отображается на себя (остается на месте)
  • если мысленно перегнуть плоскость по оси ординат, графики функций «наложатся» друг на друга
  • y=f(x)
  • y=f(-x)
  • Преобразование y=|f(x)|
  • Значит, для построения графика функции y=|f(x)|, можно в одной системе координат построить графики функций y=f(x) (основной график) и y=- f(x) (симметрия основного графика относительно оси абсцисс).
  • Графиком функции y=|f(x)| будет объединение множеств точек:
  • графика функции y=f(x) на том множестве области определения, на котором f(x)  0,
  • графика функции y=- f(x) на том множестве области определения, на котором f(x)<0.
  • Этапы построения графиков выделены на Рис.5-6.
  • Уравнение функции y=|f(x)| можно записать в виде:
  • y=
  • f(x), если f(x)  0
  • - f(x), если f(x) <0
  • y=f(x)
  • y=- f(x)
  • Результатирующий график y=|f(x)|
  • Практический прием: Для построения графика функции y=|f(x)| преобразованием графика y=f(x) можно:
  • множество точек графика y=f(x), расположенных в верхней полуплоскости, оставить на месте,
  • множество точек графика y=f(x), расположенных в нижней полуплоскости, отобразить в верхнюю полуплоскость преобразованием «осевая симметрия» относительно оси абсцисс.
  • У
  • О
  • Х
  • У
  • О
  • Х
  • Преобразование y=f(|x|)
  • Уравнение функции y=f(|x|) можно записать в виде:
  • y=
  • f(x), если x  0
  • f(-x), если x < 0
  • Значит, для построения графика функции y=f(|x|) можно в одной системе координат построить графики функций y=f(x) (основной график) и y=f(-x) (симметрия основного графика относительно оси ординат).
  • Графиком функции y=f(|x|) будет объединение множеств точек:
  • графика функции y=f(x) на том множестве области определения, на котором x  0,
  • графика функции y= f(-x) на том множестве области определения, на котором x <0.
  • Этапы построения графиков выделены на Рис.7-8.
  • У
  • О
  • Х
  • У
  • О
  • Х
  • y=f(x)
  • y= f(- x)
  • Результатирующий график y=f(|x|)
  • Практический прием: Для построения графика функции y=f(|x|) преобразованием графика y=f(x) можно:
  • множество точек графика y=f(x), расположенных в правой полуплоскости, оставить на месте,
  • множество точек графика y=f(x), расположенных в правой полуплоскости, отобразить в левую полуплоскость преобразованием «осевая симметрия» относительно оси ординат,
  • Замечание: Множество точек основного графика y=f(x), расположенные в левой полуплоскости «исчезают».
  • Преобразование у=af(x)
  • Преобразование у=af(x) рассмотрим при а>0, выделяя случаи: 0<а<1 и а >1.
  • Замечание: Если а<0, то график функции у=af(x) можно построить подвергнув график функции y=f(x) композиции преобразований y=-f(x) и у=af(x) при а>0.
  • Заметим, что в уравнении функции y = аf(x) «а»- сомножитель при f(x).
  • Значит: при одном значении аргумента модуль значения функции y = аf(x) равен произведению модуля значения функции y= f(x) и «а», то есть:
  •  Если 0<а<1 , то модуль значения функции y = аf(x) меньше модуля значения функции y = f(x).
  •  Если а >1, то модуль значения функции y = аf(x) больше модуля значения функции y = f(x).
  • Дадим иллюстрацию взаимного расположения графиков в выделенных случаях при а=1/2 (Рис.9) и а=2 (Рис.10).
  • У
  • О
  • Х
  • У
  • О
  • Х
  • y=f(x)
  • y=f(x)
  • y=1/2f(x)
  • y= 2f(x)
  • В этом случае говорят: произошло сжатие графика функции y=f(x) к оси абсцисс.
  • В этом случае говорят: произошло растяжение графика функции y=f(x) от оси абсцисс.
  • Заметьте, что во всех рассмотренных случаях точки оси абсцисс не изменили своего положения, то есть остались на месте.
  • Преобразование y=f(ax)
  • Преобразование у=f(аx) рассмотрим при а>0, выделяя случаи: 0<а<1 и а >1.
  • Замечание: Если а<0, то график функции у=f(аx) можно построить подвергнув график функции y=f(x) композиции преобразований y=f(-x) и у=f(аx) при а>0.
  • Чтобы установить взаимное расположение графиков выделенных функций, выясним взаимосвязь аргументов этих функций при равных значениях функций.
  • Пусть (х0,y0) – координаты точки графика y=f(x), а (х1,y0) – координаты соответствующей точки графика функции y=f(аx).
  • То есть верны равенства: y0=f(х0), y0=f(ах1). Отсюда верно равенство: х0=ах1 или х1 =1/а  х0
  • Последнее равенство позволяет сделать следующие выводы:
  • 1. Если 0<а<1, то (1/а )>1, то есть |х1 | > | х0 | в (1/а) раз.
  • Геометрическая интерпретация этого факта: соответствующие точки графиков функций y=f(x) и у=f(аx) имеют равные ординаты, а соотношение модулей их абсцисс равно (1/а), причем модуль абсциссы графика функции у=f(аx) в 1/а раз больше.
  • Иллюстрацию этого случая рассмотрим на примере взаимного расположения графиков функций y=f(x) и у=f(1/2·x).
  • У
  • О
  • Х
  • y=f(x)
  • у=f(1/2·x)
  • В этом случае говорят: произошло растяжение графика функции y=f(x) от оси ординат.
  • Заметьте, что точка оси ординат не изменила своего положения, то есть осталась на месте.
  • 2. Если а>1, то (1/а ) <1, то есть |х1 | < | х0 | в (а) раз.
  • Геометрическая интерпретация этого факта: соответствующие точки графиков функций y=f(x) и у=f(аx) имеют равные ординаты, а соотношение модулей их абсцисс равно (1/а), причем модуль абсциссы графика функции у=f(аx) в (а) раз меньше.
  • Иллюстрацию этого случая рассмотрим на примере взаимного расположения графиков функций y=f(x) и у=f(2·x).
  • y=f(x)
  • у=f(2·x)
  • В этом случае говорят: произошло сжатие графика функции y=f(x) к оси ординат.
  • Заметьте, что точка оси ординат не изменила своего положения, то есть осталась на месте.
  • У
  • О
  • Х
  • Комбинации преобразований
  • y=f(x) y=|f(x)| Преобразование y=f(|x|) y=f(|x|) у=af(x) Преобразование у=af(x) y=f(ax) Преобразование y=f(ax)
  • У
  • О
  • Х
  • У
  • О
  • Х
  • У
  • О
  • Х