Задание 24 ОГЭ. Геометрические задачи на вычисление

1
ЗАДАНИЕ 24 ОГЭ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ.
ТРЕУГОЛЬНИКИ.
1. (50, 311695) В прямоугольном треугольнике  с прямым углом известны катеты:
. Найдите медиану  этого треугольника.
Решение.
Медиана прямоугольного треугольника, опущенная из прямого угла,
является радиусом описанной около этого треугольника окружности.
Поэтому, найдём радиус описанной окружности, используя теорему
синусов:






. Отсюда 







По теореме Пифагора 


 
.
Тогда 

.
Ответ: 5.
2. (341687) Точка является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла
треугольника  к гипотенузе . Найдите , если .
Решение.
В прямоугольном треугольнике катет есть среднее
пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на
гипотенузу. В нашем треугольнике проекция катета  на гипотенузу
это , поэтому, 

  
Ответ: 10.
3. (311714) Медианы треугольника  пересекаются в точке . Найдите длину
медианы, проведённой к стороне , если угол  равен , а угол  равен 

.
Решение.
Медиану 
, опущенную на сторону ,
продлим на отрезок
, равный 
.
Соединим точку с вершинами треугольника
и . Четырёхугольник  является
параллелограммом, т.к. у него диагонали  и
 пересекаются в точке
и этой точкой
делятся пополам (признак параллелограмма).
Поэтому противолежащие углы у него
равны, а именно, .
Теперь рассмотрим четырёхугольник .   . Так
как сумма противолежащих углов равна , то около этого четырёхугольника
можно описать окружность. В этой окружности  и  пересекающиеся хорды.
Значит, по свойству хорд, 
 
 
. Так как медианы треугольника
пересекаются и точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины,
2
то

, кроме того,
и
. Поэтому, свойство хорд
принимает вид:



. Отсюда,
  
.
Ответ: 6.
4. (311240) Окружность проходит через вершины и треугольника  и пересекает
его стороны  и  в точках и соответственно. Отрезки  и 
перпендикулярны. Найдите , если .
Решение.
I способ. Для решения этой задачи используем следующее свойство: «Угол
между двумя секущими, пересекающимися вне окружности, равен
полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности», т.е. 
 
.  вписанный, опирающийся на дугу , значит, по
свойству вписанных углов (градусная мера вписанного угла равна половине
градусной меры дуги, на которую он опирается): 
 
. Аналогично, .
Рассмотрим . . Тогда, по сумме углов треугольника,

 
  .
Значит,  
  
. Подставляем эти выражения в первую
формулу, получаем: 
 
  
 
  . Из этого равенства
находим 


. Значит, .
II способ.  по свойству вписанных углов, опирающихся на одну хорду.
Тогда смежные с ними углы тоже равны, т.е. . Рассмотрим
четырёхугольник . Зная, что сумма углов четырёхугольника равна ,
составляем равенство:
    


. Тогда смежный с ним угол  . Из
треугольника   .
Ответ: .
5. (319968, 311924) В треугольнике  угол равен , радиус вписанной окружности
равен . Найдите площадь треугольника , если .
Решение.
Центр окружности, вписанной в треугольник, находится на
пересечении биссектрис углов этого треугольника, а радиусы
перпендикулярны сторонам (т.к. стороны являются касательными к
окружности). Значит, четырёхугольник  является квадратом
со стороной .  и  по признаку
равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету). Следовательно,
 и . Тогда
     .
Находим периметр .


  
  
 
 

      .
3
Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой:  


 
  .
Ответ: .
6. (180, 315035) Прямая , перпендикулярная медиане  треугольника , делит её
пополам. Найдите сторону , если сторона .
Решение.
В   является высотой (т.к.  и
медианой (т.к.  делит  пополам). Значит, 
равнобедренный, т.е. . По условию, 
медиана, т.е. делит сторону  пополам, поэтому

. Но, , значит,
  
Ответ: 
7. (333025) Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны  и . Найдите
высоту, проведённую к гипотенузе.
Решение.
I способ. Пусть . Используем свойство: «В
прямоугольном треугольнике катет есть среднее пропорциональное
между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу», т.е.






. А теперь используем свойство высоты: «В
прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла, есть
среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу», т.е.




 
 


.
II способ. Воспользуемся формулами нахождения площади прямоугольного треугольника.







. Сторону  найдём по теореме
Пифагора: 



 
. Тогда:



.
Ответ: .
8. (333025) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром  пересекает
стороны  и  в точках и соответственно. Найдите , если .
Решение.
Так как точки и лежат на окружности, то  хорда, на
которую опирается прямой угол , значит, эта хорда
является диаметром.  также является диаметром по
условию, поэтому .
Ответ: .
4
9. (339487) Окружность пересекает стороны  и  треугольника  в точках и
соответственно и проходит через вершины и . Найдите длину отрезка , если
, а сторона  в  раза меньше стороны .
Решение.
I способ. Воспользуемся свойством: «Если две секущие
пересекаются вне окружности, то имеет место равенство 
». Это равенство можно записать в виде пропорции




. Рассмотрим  и .




  
 по II признаку подобия треугольников. Значит,
пропорциональность сохраняется для всех сторон, т.е.















.
II способ. Так как четырёхугольник  вписанный, то сумма противолежащих
углов у него равна , т.е.  . Кроме того,  и 
смежные, значит, в сумме дают тоже , т.е.  . Из этих
двух равенств заключаем, что . Тогда  по I признаку
подобия треугольников. Следовательно, стороны у них пропорциональны, т.е.















.
Ответ: .
10. (339656) Прямая, параллельная стороне  треугольника , пересекает стороны 
и  в точках и соответственно. Найдите , если .
Решение.
Рассмотрим  и .

 
 по I признаку подобия треугольников. Значит,
стороны этих треугольников пропорциональны, т.е.






.
Т.к. , то




. Используя основное свойство пропорции, получаем:









.
Ответ: .
11. (340344) В треугольнике  биссектриса угла делит высоту, проведённую из
вершины , в отношении , считая от точки . Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника , если .
Решение.
Рассмотрим . Воспользуемся свойством
биссектрисы треугольника: «Биссектриса делит противолежащую
сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам»,
т.е.




.
Радиус окружности, описанной около  находим из теоремы синусов:
5









.
Из 


  

  
 



.
Значит,

Ответ: 
12. (311700) Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая
из их общей вершины, образует с этими сторонами углы в  и .
Решение.
I способ. Так как  медиана, то . Воспользуемся
теоремой синусов для треугольников  и .































.
II способ. Продлим медиану  на отрезок  и
рассмотрим  и .







 по I
признаку равенства треугольников .
В 
.
Составим отношение сторон треугольника 






Ответ:
13. (311706) Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9.
Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит её
пополам.
Решение.
Рассмотрим  и .


 по I признаку
подобия треугольников








Рассмотрим  и .

 
 по I признаку подобия треугольников




. Учитывая, что 


, получаем:












.
6
Ответ: .
14. (311707) Биссектрисы углов и при боковой стороне  трапеции ,
пересекаются в точке . Найдите , если .
Решение.
Углы  и  трапеции  внутренние односторонние при
параллельных прямых  и . Значит, их сумма равна , т.е.
 . Т.к.  биссектриса , то . Аналогично,
 биссектриса , значит, . Тогда, 
 .
Из , по сумме углов треугольника, находим: 
 
 , т.е.  прямоугольный. По теореме Пифагора:








.
Ответ: .
15. (353409) Медиана  и биссектриса  треугольника  пересекаются в точке ,
длина стороны  относится к длине стороны  как . Найдите отношение
площади треугольника  к площади треугольника .
Решение.
I способ. Так как  биссектриса , то из , по свойству
биссектрисы (биссектриса делит противоположную сторону на
части, пропорциональные прилегающим сторонам):




. Т.к.
 медиана, то 
. Значит,








. Учитывая,
что , получаем:





 




.
Медиана треугольника обладает ещё тем свойством, что делит треугольник на два
равновеликих треугольника, т.е. на треугольники с равными площадями. Поэтому,



 
   , где - высота, опущенная на сторону BM.
У  и  одна и та же высота , опущенная на сторону BM.

 . Найдём отношение площадей треугольников.








.
II способ. Обозначим площадь треугольника  через , т.е.

. Так как



, то . Значит, по
свойству биссектрисы, из 



, и ; а
из 





и .

















. Тогда,




.
Ответ:

.
7
ЗАДАЧИ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
1. (341721) Точка является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла
треугольника  к гипотенузе . Найдите , если .
2. (311716) Медианы треугольника  пересекаются в точке . Найдите длину
медианы, проведённой к стороне , если угол  равен , а угол  равен 

.
3. (315017) Прямая , перпендикулярная медиане 
треугольника , делит её пополам. Найдите сторону , если
сторона .
4. (315102) Прямая , перпендикулярная медиане  треугольника , делит угол
 пополам. Найдите сторону , если сторона  равна .
5. (315123) Прямая , перпендикулярная медиане  треугольника , делит угол
 пополам. Найдите сторону , если сторона  равна .
6. (333104) Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны  и . Найдите высоту,
проведённую к гипотенузе.
7. (339404) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром  пересекает
стороны  и  в точках и соответственно. Найдите , если .
8. (339405) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром  пересекает
стороны  и  в точках и соответственно. Найдите , если .
9. (339512) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром  пересекает
стороны  и  в точках и соответственно. Найдите , если .
10. (339570, 339977) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины
прямого угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром 
пересекает стороны  и  в точках и соответственно. Найдите , если 
.
11. (339729) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром  пересекает
стороны  и  в точках и соответственно. Найдите , если .
8
12. (339827) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром  пересекает
стороны  и  в точках и соответственно. Найдите , если .
13. (340120, 353120) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины
прямого угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром 
пересекает стороны  и  в точках и соответственно. Найдите , если 
.
14. (340004) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром  пересекает
стороны  и  в точках и соответственно. Найдите , если .
15. (353441) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром  пересекает
стороны  и  в точках и соответственно. Найдите , если .
16. (351576) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром  пересекает
стороны  и  в точках и соответственно. Найдите , если .
17. (351787) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром  пересекает
стороны  и  в точках и соответственно. Найдите , если .
18. (351789) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром  пересекает
стороны  и  в точках и соответственно. Найдите , если .
19. (352629) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром  пересекает
стороны  и  в точках и соответственно. Найдите , если .
20. (353039) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром  пересекает
стороны  и  в точках и соответственно. Найдите , если .
21. (353044) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром  пересекает
стороны  и  в точках и соответственно. Найдите , если .
22. (353100) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром  пересекает
стороны  и  в точках и соответственно. Найдите , если .
9
23. (353399) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром  пересекает
стороны  и  в точках и соответственно. Найдите , если .
24. (339528) Окружность пересекает стороны  и  треугольника  в точках и
соответственно и проходит через вершины и . Найдите длину отрезка , если
, а сторона  в  раза меньше стороны .
25. (339579) Окружность пересекает стороны  и  треугольника  в точках и
соответственно и проходит через вершины и . Найдите длину отрезка , если
, а сторона  в раза меньше стороны .
26. (339732) Окружность пересекает стороны  и  треугольника  в точках и
соответственно и проходит через вершины и . Найдите длину отрезка , если
, а сторона  в  раза меньше стороны .
27. (339882) Окружность пересекает стороны  и  треугольника  в точках и
соответственно и проходит через вершины и . Найдите длину отрезка , если
, а сторона  в  раза меньше стороны .
28. (339466) Прямая, параллельная стороне  треугольника , пересекает стороны 
и  в точках и соответственно. Найдите , если .
29. (339505) Прямая, параллельная стороне  треугольника , пересекает стороны 
и  в точках и соответственно. Найдите , если .
30. (339795) Прямая, параллельная стороне  треугольника , пересекает стороны 
и  в точках и соответственно. Найдите , если .
31. (350157) Прямая, параллельная стороне  треугольника , пересекает стороны 
и  в точках и соответственно. Найдите , если .
32. (351460) Прямая, параллельная стороне  треугольника , пересекает стороны 
и  в точках и соответственно. Найдите , если .
33. (351953) Прямая, параллельная стороне  треугольника , пересекает стороны 
и  в точках и соответственно. Найдите , если .
34. (352273) Прямая, параллельная стороне  треугольника , пересекает стороны 
и  в точках и соответственно. Найдите , если .
35. (353136) Прямая, параллельная стороне  треугольника , пересекает стороны 
и  в точках и соответственно. Найдите , если .
10
36. (357341) Прямая, параллельная стороне  треугольника , пересекает стороны 
и  в точках и соответственно. Найдите , если .
37. (348788) Медиана  и биссектриса  треугольника  пересекаются в точке ,
длина стороны  относится к длине стороны  как . Найдите отношение
площади треугольника  к площади четырёхугольника .
38. (348921) Медиана  и биссектриса  треугольника  пересекаются в точке ,
длина стороны  относится к длине стороны  как . Найдите отношение
площади треугольника  к площади треугольника .
39. (349173) Медиана  и биссектриса  треугольника  пересекаются в точке ,
длина стороны  относится к длине стороны  как . Найдите отношение
площади треугольника  к площади четырёхугольника .
40. (349201) Медиана  и биссектриса  треугольника  пересекаются в точке ,
длина стороны  относится к длине стороны  как . Найдите отношение
площади треугольника  к площади треугольника .
41. (349351) Медиана  и биссектриса  треугольника  пересекаются в точке ,
длина стороны  относится к длине стороны  как . Найдите отношение
площади треугольника  к площади треугольника .
42. (349774) Медиана  и биссектриса  треугольника  пересекаются в точке ,
длина стороны  относится к длине стороны  как . Найдите отношение
площади четырёхугольника  к площади треугольника .
43. (349801) Медиана  и биссектриса  треугольника  пересекаются в точке ,
длина стороны  относится к длине стороны  как . Найдите отношение
площади треугольника  к площади треугольника .
44. (350106) Медиана  и биссектриса  треугольника  пересекаются в точке ,
длина стороны  относится к длине стороны  как . Найдите отношение
площади треугольника  к площади четырёхугольника .
45. (350112) Медиана  и биссектриса  треугольника  пересекаются в точке ,
длина стороны  относится к длине стороны  как . Найдите отношение
площади треугольника  к площади четырёхугольника .
46. (350246) Медиана  и биссектриса  треугольника  пересекаются в точке ,
длина стороны  относится к длине стороны  как . Найдите отношение
площади треугольника  к площади треугольника .
11
47. (350703) Медиана  и биссектриса  треугольника  пересекаются в точке ,
длина стороны  относится к длине стороны  как . Найдите отношение
площади треугольника  к площади треугольника .
48. (351179) Медиана  и биссектриса  треугольника  пересекаются в точке ,
длина стороны  относится к длине стороны  как . Найдите отношение
площади треугольника  к площади треугольника .
49. (351264) Медиана  и биссектриса  треугольника  пересекаются в точке ,
длина стороны  относится к длине стороны  как . Найдите отношение
площади четырёхугольника  к площади треугольника .
50. (351801) Медиана  и биссектриса  треугольника  пересекаются в точке ,
длина стороны  относится к длине стороны  как . Найдите отношение
площади треугольника  к площади треугольника .
51. (351885) Медиана  и биссектриса  треугольника  пересекаются в точке ,
длина стороны  относится к длине стороны  как . Найдите отношение
площади треугольника  к площади четырёхугольника .
52. (353247) Медиана  и биссектриса  треугольника  пересекаются в точке ,
длина стороны  относится к длине стороны  как . Найдите отношение
площади треугольника  к площади треугольника .
12
ОТВЕТЫ
задания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
ответ
20
9
5
6
2
12
13
14
19
13
18
17
14
15
11
20
задания
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
ответ
16
11
20
18
19
17
15
10
17
5
4
42
10
16


6
задания
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
ответ
60
24
30
33


















задания
49
50
51
52
ответ





