Презентация "Расстояние от точки до плоскости"

Задачи на нахождение расстояния от точки до плоскости методом объемов (типовые задачи №16)

Подготовила:

учитель математики

МОУ «Гимназия №1»

г. Железногорска Курской области

Агашкова Н.А.

• расстояние от точки до плоскости;
• угол между прямой и плоскостью;
• угол между плоскостями;
• расстояние между скрещивающимися прямыми.

С идейной точки зрения метод объемов весьма прост. Все, что здесь нужно, - это найти подходящую треугольную пирамиду и аккуратно провести вычисления. Правда, вычислений обычно получается несколько больше, чем в методах, рассмотренных выше. Но тут уж ничего не поделаешь – за простоту метода приходится платить.

Замечательный факт состоит в том, что при вычислении объема треугольной пирамиды можно в качестве основания выбрать любую ее грань. Это используется при нахождении расстояния от точки до плоскости; нужно лишь представить искомое расстояние как высоту подходящей пирамиды.

А именно, предположим, что нам нужно найти расстояние от некоторой точки C до некоторой плоскости ABD.

Использование метода объемов при нахождении расстояния от точки до плоскости

d

h

1) Рассмотрим треугольную пирамиду DABC.

2) Предположим, что нам нужно найти расстояние от некоторой точки C до некоторой плоскости ABD. ρ(С; ABD)-?

3) Тогда искомое расстояние- это высота d данной пирамиды, проведенная из вершины С .

• Пусть S₀- площадь грани ABC,

h- высота, опущенная из точки D на эту грань,

S- площадь грани ABD.

D

А

B

C

S

S₀

D

А

B

C

S₀

d

h

S

5) С одной стороны, объем пирамиды DABC может быть найден по формуле:

6) С другой стороны, за основание можно принять грань ABD, и тогда

7) Приравнивая правые части формул (1) и (2), получим:

8) Из соотношения (3) можно найти искомую величину d.

…(2)

…(3)

…(1)

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны ребра: АВ=1;

AD = ; АА₁ = . Найдите расстояние от точки В до плоскости АВ₁С.

Дано:

ABCDA₁B₁C₁D₁- прямоугольный параллелепипед

АВ = 1

AD =

АА₁=

(АВ₁С)- секущая плоскость

Найти: ρ(В; АВ₁С)

Решение:

C1

A1

1

D1

А

B

C

D

B1

C1

A1

1

D1

А

B

C

D

B1

К

• Расстояние от точки B до плоскости AB₁C есть длина перпендикуляра, проведенного из B к плоскости AB₁C.
• Пусть BK – перпендикуляр, проведенный из точки B к плоскости AB₁C.
• Длина перпендикуляра BK , будет равна высоте пирамиды BAB₁C с вершиной B.
• Найдем объем этой пирамиды

где BK - высота пирамиды и расстояние от точки В до плоскости АВ₁С.

5) Найдем площадь ∆АВ₁С.

Для этого найдем стороны ∆АВ₁С.

C1

A1

1

D1

А

B

C

D

B1

К

∆АВВ₁- прямоугольный

По теореме Пифагора:

∆В₁ВС- прямоугольный

По теореме Пифагора:

∆АВС- прямоугольный

По теореме Пифагора:

В₁

В

С

А

В₁

1

В

С

1

В

А

По формуле Герона:

C1

A1

1

D1

А

B

C

D

B1

К

2

3

С

А

В₁

2

3

С

А

В₁

Н

х

3-х

1) Проведем высоту АН

2) Пусть НС = х

В₁H = 3-x

3) ∆АНС - прямоугольный

По теореме Пифагора:

4) ∆AHB₁ - прямоугольный

По теореме Пифагора:

5) Приравнивая правые части равенств (1) и (2), получим:

Второй способ вычисления площади ∆AB₁C

2

3

С

А

В₁

Н

х

3-х

Подставим в равенство (1)

Получим

2

3

С

А

В₁

Третий способ вычисления площади ∆AB₁C

По теореме косинусов найдем

Подставим в формулу площади, получим

Итак,

…(1)

6) Рассмотрим эту треугольную пирамиду с вершиной В₁, т.е. В₁АВС.

7) Т.к. ABCDA₁B₁C₁D₁- прямоугольный параллелепипед, то ВВ₁ ┴ ABCD, т.е. ВВ₁ - высота пирамиды В₁АВС.

Найдем площадь ∆АВС.

∆АВС- прямоугольный.

А

B

С

1

Следовательно,

C1

A1

1

D1

А

B

C

D

B1

C1

A1

1

D1

А

B

C

D

B1

К

Из (1) и (2) получаем:

Ответ:

…(1)

…(2)

Метод объемов легко справляется с задачами, решить которые прежними методами было бы затруднительно.

Почему при решении этой задачи прежними методами мы столкнулись бы с проблемами? Дело в том, что в пирамиде АВСВ₁ отсутствует симметрия – все ребра пирамиды имеют различную длину. Соответственно, к проекции точки В на плоскость АВ₁С не так-то просто «подобраться». Но методу объемов, как видите, данная трудность нипочем – мы нашли искомую высоту, даже не выясняя, куда именно проектируется точка В.

A

E

1

1

O

S

B

C

D

В правильной четырехугольно пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние от середины ребра SB до плоскости SCD.

Дано:

SABCD- правильная четырехугольная пирамида

Е- середина SB

AB=BC=CD=AD=AS=BS=DS=

=CS=1

Найти: ρ(Е; SDC)

Решение:

Решение:

• Расстояние от точки E до плоскости DSC есть длина перпендикуляра, проведенного из точки E к плоскости DSC.
• Пусть EK – перпендикуляр, проведенный из точки E к плоскости DSC.
• Подходящая треугольная пирамида здесь ESDC.

Искомое расстояние есть высота этой пирамиды, проведенная из вершины Е на основание SDC, т.е. EK.

4) Найдем объем пирамиды ESDC с вершиной Е.

,

где EK - высота пирамиды и расстояние от Е до плоскости SDC.

A

E

1

1

O

S

B

C

D

К

5) Найдем площадь ∆SDC.

∆SDC- правильный, т.к. все ребра пирамиды равны.

- площадь правильного треугольника.

Следовательно,

6) Итак,

A

E

1

1

O

S

B

C

D

К

…(1)

A

E

1

1

O

S

B

C

D

7) Рассмотрим эту треугольную пирамиду с вершиной С, т.е. CSED.

где СО- высота пирамиды.

8) Докажем, что СО ┴ SED.

СО ┴ BD- как диагонали квадрата.

СО ┴ SO, так как SO ┴ ABCD, следовательно перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

BD∩SO=O, BD  BSD; SO  BSD

9) Значит, СО ┴ BSD на основании признака перпендикулярности прямой и плоскости.

Следовательно, СО ┴ SED.

10) По свойству диагоналей квадрата.

1

1

D

C

А

По теореме Пифагора:

Значит,

∆ADC- прямоугольный

A

E

1

1

O

S

B

C

D

K

∆BSD- равнобедренный,

BS=SD.

Так как DE- медиана, то

DK- высота ∆BSD и

DK- высота ∆SED.

Значит,

А т.к. , то

• Найдем площадь ∆SED. Сделаем выносной рисунок

B

E

D

S

1

O

D

B

S

Найдем площадь ∆SBD

∆SOD- прямоугольный

По теореме Пифагора

Значит,

Из равенств (1) и (2), получим:

Ответ:

B

E

D

S

…(2)

…(1)

Задачи для самостоятельного решения

• В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости BFA₁.

Ответ:

• В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки А до плоскости SCE.

Ответ:

• В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки А до плоскости SBF

Ответ:

• В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка Е- середина ребра SB. Найдите расстояние от точки В до плоскости ACE.

Ответ: 0,5

• В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости SCD. Ответ:
• В правильной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые стороны (ребра) равны 2, найдите расстояние от точки А до плоскости SDE. Ответ:
• В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите расстояние от точки А до плоскости BDC₁.

Ответ: