Презентация "Магические квадраты" 10 класс


Подписи к слайдам:
PowerPoint Presentation

Магические квадраты

  • Презентация к исследовательской работе
  • Выполнил: ученик 10 класса Кирьяков Кирилл
  • Руководитель: Лонская Т.А., учитель математики

Пришельцы из Китая и Индии

  • Одним из наиболее древних и наиболее совершенных видов кросс-сумм является так называемый магический (или волшебный) квадрат.
  • Придуманы магические квадраты впервые, по-видимому, китайцами, так как самое ранее упоминание о них встречается в китайской книге, написанной за 4000-5000 лет до нашей эры.

Пришельцы из Китая и Индии

  • Старейший в мире магический квадрат представлен выше. Черными кружками в этом квадрате изображены четные (женственные) числа, белыми – нечетные (мужественные) числа.
  • В обычной записи он не так эффектен:
  • 4
  • 9
  • 2
  • 3
  • 5
  • 7
  • 8
  • 1
  • 6

Пришельцы из Китая и Индии

  • И всё же это великолепный образец кросс-сумм! Девять порядковых чисел размещены в девяти клетках квадрата так, что суммы чисел вдоль каждой строки, каждого столбца и каждой из двух диагоналей одинаковы (основное свойство магического квадрата).
  • Более поздние сведения о магических квадратах относящиеся уже к 1 веку, получены из Индии. Вот один из таких древнеиндийских памятников почти 2000-летней давности:
  • 1
  • 14
  • 15
  • 4
  • 12
  • 7
  • 6
  • 9
  • 8
  • 11
  • 10
  • 5
  • 13
  • 2
  • 3
  • 16

Пришельцы из Китая и Индии

  • Здесь 16 порядковых чисел размещены в шестнадцати клетках квадрата так, что выполняется основное свойство магического квадрата.
  • Действительно:

Пришельцы из Китая и Индии

  • Каждое число магического квадрата участвует в двух суммах, а числа расположенные по диагоналям даже в трёх, и все эти суммы равны между собой!
  • Недаром в ту далёкую эпоху суеверий индийцы, а следом за ними и арабы приписывали этим числовым сочетаниям таинственные и магические свойства.
  • Вся эта своеобразная мозаика чисел с её постоянством сумм действительно придаёт квадрату «волшебную» силу произведения искусства.
  • И магические квадраты вошли в искусство.
  • В «Фаусте» Гете есть сцена приготовления колдуньей омолаживающего зелья.
  • Слова, которыми колдунья сопровождает свои манипуляции, обычно воспринимаются читателями «Фауста» как тарабарщина, бессмыслица:
  • Du must verstehen!
  • Aus Eins mach’ Zehn
  • Und Zwei lass gehn,
  • Und Drei mach’ gleich,
  • So bist reich
  • Verlier die Vier!
  • Aus Fünf und Sechs,
  • So sagt die Hex,
  • Mach’ Sieben und Acht,
  • So its’s vollbracht:
  • Und Neun ist Eins,
  • Und Zehn ist keins,
  • Das ist das Hexen-
  • Einmal-Eins!
  • ……………………………
  • Из единицы делаешь 10,
  • пропускаешь 2,
  • а также 3
  • ……………………………
  • Зачеркиваешь 4
  • Из 5 и 6
  • ……………………………
  • Делаешь 7 и 8 (и наоборот)
  • Квадрат готов
  • ……………………………
  • ……………………………
  • ……………………………
  • ……………………………

Пришельцы из Китая и Индии

  • Но не мог же Гете потерять чувство художественной меры и отдать абракадабре целых 13 строк поэтического текста!
  • Литературные комментаторы и исследователи бесплодно тратили усилия на поиски смыcла, скрытого в этом тринадцатистишии: Очевидно, y них не возникала мысль попытаться воспроизвести на бумаге рекомендации колдуньи.
  • Давайте это сделаем. построим квадрат из девяти ячеек и разместим в ячейках 9 первых натуральных чисел в порядке их следования. Выполним указания колдуньи:
  • Из 1 делаешь 10 — в первой ячейке заменяем ЧИСЛО 1 числом 10.
  • Числа 2 и 3 оставляем на своих местах, так как сказано: пропускаешь 2, a также 3.
  • Зачеркиваешь 4 — это значит заменяем нулем число 4.
  • Заменяем 5 и 6 числами 7 и 8, а в ячейки, занятые числами 7 и 8, вписываем 5 и 6
  • 9
  • 8
  • 7
  • 6
  • 5
  • 4
  • 3
  • 2
  • 1
  • 10
  • 0

Пришельцы из Китая и Индии

  • Колдунья говорит: «Квадрат готов», но тут она хитрит. Ей еще надо в последней ячейке квадрата заменить девятку числом 4
  • Вот теперь формирование «талисмана» окончено и последние три строки тринадцатистишия уже ничего не добавляют к пониманию смысла «заклинаний» колдуньи. Особенность получившегося квадрата состоит в том, что магическая константа (15) получается только при сложении чисел вдоль любой строки и любого столбца, но не вдоль диагоналей.
  • Квадрат с таким свойством чисел, занимающих его ячейки, принято называть полумагическим.
  • Превращением начального квадрата в полумагический Гете символизировал процесс омoложeния Фауста.
  • 9
  • 8
  • 7
  • 6
  • 5
  • 4
  • 3
  • 2
  • 10
  • 0

Свойства магического квадрата А.Дюрера

  • В Европу магические квадраты проникли лишь в начале XV века. A в начале XVI века один из них был увековечен выдающимся немецким художником, гравером и немного математиком А. Дюрером в его лучшей гравюре «Меланхолия» (1514 г.).
  • Дюрер воспроизвел на гравюре (в несколько измененном виде) тот самый магический квадрат, составленный из 16 чисел.
  • 1
  • 14
  • 15
  • 4
  • 12
  • 7
  • 6
  • 9
  • 8
  • 11
  • 10
  • 5
  • 13
  • 2
  • 3
  • 16
  • Очарование этого магического квадрата не только в постоянстве сумм, которое является лишь его основным свойством. Подобно тому, как в истинно художественном произведении находишь тем больше новых привлекательных сторон, чем больше в него вглядываешься, так и в этом произведении математического искусства таится немало красивых свойств, помимо основного.

Укажем еще шесть дополнительных свойств приведенного нам шестнадцатиклеточного магического квадрата:

  • Укажем еще шесть дополнительных свойств приведенного нам шестнадцатиклеточного магического квадрата:
  • Сумма чисел, расположенных по углам нашего магического квадрата, равна 34, то есть тому же числу, что и сумма чисел вдоль каждого ряда квадрата:
  • 16
  • 3
  • 2
  • 13
  • 5
  • 10
  • 11
  • 8
  • 9
  • 6
  • 7
  • 12
  • 4
  • 15
  • 14
  • 1
  • Суммы чисел в каждом из маленьких квадратов (в 4 клетки), примыкающих к вершинам данного квадрата, и в таком же центральном квадрате тоже одинаковы и каждая из них равна 34:
  • 16
  • 3
  • 2
  • 13
  • 5
  • 10
  • 11
  • 8
  • 9
  • 6
  • 7
  • 12
  • 4
  • 15
  • 14
  • 1
  • 1
  • 4
  • 13
  • +
  • +
  • +
  • =
  • 34
  • Свойства магического квадрата А.Дюрера

  • В каждой строке квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых - 15, и еще пара тоже рядом стоящих чисел, сумма которых -19.
  • 1
  • 14
  • 15
  • 4
  • 12
  • 7
  • 6
  • 9
  • 8
  • 11
  • 10
  • 5
  • 13
  • 2
  • 3
  • 16
  • 16
  • 3
  • 2
  • 13
  • 5
  • 10
  • 11
  • 8
  • 9
  • 6
  • 7
  • 12
  • 4
  • 15
  • 14
  • 1
  • +
  • +
  • =
  • =
  • Подсчитайте-ка теперь сумму квадратов чисел отдельно в двух крайних строках и в двух средних:
  • =
  • =
  • =
  • =
  • =
  • =
  • +
  • +
  • +
  • +
  • +
  • +
  • 15
  • 19
  • Как видите, получились попарно равные суммы!
  • Свойства магического квадрата А.Дюрера

Свойства магического квадрата А.Дюрера

  • Нетрудно убедиться, что аналогичным свойством обладают и столбцы чисел. Суммы квадратов чисел двух крайних столбцов равны между собой, и суммы квадратов чисел двух средних столбцов тоже одинаковы.
  • Если в данный квадрат вписать еще один квадрат с вершинами в серединах сторон данного квадрата, получим то, что показано на рисунке а, выше:
  • а) сумма чисел, расположенных вдоль одной пары противоположных сторон вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных вдоль другой пары противоположных его сторон, и каждая из этих сумм равна опять-таки числу 34:
  • 12+14+3+5 = 15+9+8+2 = 34;
  • б) еще интереснее то, что равны между собой даже суммы квадратов и суммы кубов этих чисел:

Свойства магического квадрата А.Дюрера

  • Если все столбцы магического квадрата сделать строками, сохраняя их чередование, то есть - числа первого столбца в той же последовательности расположить в виде первой строки, числа второго столбца в виде второй строки и т.д., то квадрат останется магическим с теми же его свойствами.
  • Суммы чисел вдоль строк и столбцов, конечно, не изменились, но суммы чисел вдоль диагоналей стали иными, не равными 34. Магический квадрат потерял часть своих основных свойств, стал «неполным» магическим квадратом (полумагическим квадратом).
  • Продолжая обменивать местами строки и столбцы квадрата, вы будете получать все новые и новые магические и полумагические квадраты из 16 чисел.
  • 16
  • 3
  • 2
  • 13
  • 5
  • 10
  • 11
  • 8
  • 9
  • 6
  • 7
  • 12
  • 4
  • 15
  • 14
  • 1
  • При обмене местами отдельных строк или столбцов магического квадрата некоторые из вышеперечисленных его свойств могут исчезнуть, но могут и все сохраниться и даже появиться новые. Например, поменяем, местами первую и вторую строки данного квадрата, получим то, что показано на рисунке справа:

Как самому составить магический квадрат

  • Если некоторое количество порядковых чисел, например, все целые числа от 1 до 16 или от 1 до 9, или от 1 до 25, или от 1 до 100 и т д., расположены в форме квадрата так, что суммы чисел вдоль каждой строки, каждого столбца и каждой диагонали квадрата одинаковы, то такой квадрат, как было сказано, называется магическим, или волшебным.
  • Количеством клеток (чисел) в каждом ряду магического квадрата определяет его порядок. Магический квадрат третьего порядка имеет в каждом ряду 3 клетки, магический квадрат четвертого порядка имеет в каждом ряду 4 клетки и т. д.

Квадраты нечетного порядка

  • Строим, квадрат ABCD с 25 клетками и временно дополняем его до, симметричной ступенчатой фигуры со ступеньками в одну клетку.
  • В полученной фигуре располагаем по порядку косыми рядами сверху вниз - направо 25 целых чисел от 1до 25.
  • А теперь каждое число, оказавшееся вне квадрата ABCD, следует перенести вдоль того же ряда или столбца ровно на столько клеток от той клетки, которую оно занимает, каков порядок квадрата, в нашем примере - на пять. Так, в соответствии с этим правилом переносим эти числа…
  • 15
  • 2
  • 19
  • 6
  • 23
  • 22
  • 14
  • 1
  • 18
  • 10
  • 9
  • 21
  • 13
  • 5
  • 17
  • 16
  • 8
  • 25
  • 12
  • 4
  • 3
  • 20
  • 7
  • 24
  • 11
  • A
  • B
  • C
  • D

Как самому составить магический квадрат

  • Но у получившегося квадрата обнаруживается и дополнительное свойство: все пары чисел, расположенные симметрично относительно центральной клетки, дают одинаковые суммы.
  • Например:
  • 1+25=19+7=18+8=23+3=
  • =6+20=2+24=4+22 и т. д.
  • Магические квадраты, обладающие таким свойством, называются симметричными.
  • 15
  • 2
  • 19
  • 6
  • 23
  • 22
  • 14
  • 1
  • 18
  • 10
  • 9
  • 21
  • 13
  • 5
  • 17
  • 16
  • 8
  • 25
  • 12
  • 4
  • 3
  • 20
  • 7
  • 24
  • 11
  • =26

Квадраты порядка, кратного четырем

  • Для составления какого-либо магического квадрата порядка n=4, 8, 12, ..., 4k удобна, например, такая простая схема:
  • Разместить числа в клетках заданного квадрата в порядке их возрастания (в натуральном порядке);
  • Выделить по углам заданного квадрата четыре квадрата со сторонами n/4 и в центре один квадрат со стороной n/2
  • В пяти выделенных квадратах обменять местами числа, расположенные симметрично относительно центра заданного квадрата; это значит, что в натуральном расположении чисел квадрата четвертого порядка надо поменять местами 1 и 16, 4 и 13, 6 и 11, 7 и 10.
  • Квадраты, составленные по указанной схеме, будут всегда магическими симметрическими.
  • 16
  • 15
  • 14
  • 13
  • 12
  • 11
  • 10
  • 9
  • 8
  • 7
  • 6
  • 5
  • 4
  • 3
  • 2
  • 1

Конец