Тренировочный вариант по математике №9

Вариант 9
88 учеников 11 классов школы №5 собираются поступать в МФТИ. Они
составляют 44% от числа всех выпускников. Сколько ребят не собираются
поступать в МФТИ?
На графике показано изменение кинетической энергии E движущегося тела
килоджоулях) в зависимости от времени t минутах). На сколько килоджоулей
увеличится кинетическая энергия тела в течение третьего часа движения?
Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке.
В соревнованиях по метанию копья участвуют 5 спортсменов из Индонезии, 7
спортсменов из Москвы, 12 спортсменов из Шотландии и 8 из Канады.
Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите
вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из
Канады.
4
3
2
1
Решите
уравнение
2019
𝑥
2
2
𝑥
=
1
.
Из точки A к окружности проведена касательная AB,
𝐴𝐵 = 4
, и секущая AC,
пересекающая окружность в точках D и C, причем точка D находится между A и
C. Известно, что
𝐴𝐷: 𝐶𝐷 = 1: 3
. Найдите CD.
К графику 𝑦
=
𝑓
(
𝑥
)
, где 𝑓
(
𝑥
)
=
(
𝑥 3
)
2
+
5, проведены две касательные в
точках, абсциссы которых удовлетворяют уравнению 𝑓
(
𝑥
)
=
4. Найдите синус
угла, образованного при пересечении этих касательных.
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость,
параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности призмы,
если площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 777.
Найдите значение выражения √146
2
110
2
.
Независимое агентство намерено ввести рейтинг R новых интернет-изданий на
основе показателей информативности 𝐼𝑛, оперативности 𝑂𝑝, объективности 𝑇𝑟
публикаций, а также качества Q сайта. Каждый отдельный показатель целое
число от 1 до 5. Составители рейтинга считают, что объективность ценится вдвое,
а информативность публикаций вчетверо дороже, чем оперативность и качество
сайта, то есть
4𝐼𝑛
+
𝑂𝑝
+
2𝑇𝑟
+
𝑄
𝑅 =
𝐴
.
Найдите, каким должно быть число A, чтобы издание, у которого все показатели
максимальны, получило рейтинг 8.
10
9
8
7
6
5
Путь из пункта А в пункт Б катер проплыл за 10 часов, двигаясь против течения
реки. На обратном пути из Б в А у катера сломался двигатель, поэтому
последнюю треть пути он двигался со скоростью течения реки. Всего на
обратный путь ушло 14 часов. Сколько времени потребовалось бы катеру на
обратный путь, если бы двигатель не сломался?
Найдите максимум функции 𝑦
=
𝑥
1777
𝑥
5
+
2021 на отрезке [1; 𝜋
3].
а) Решите уравнение
(
cos 𝑥 3 cos 4𝑥
)
2
=
16
+
sin
2
3𝑥.
б) Укажите корни, принадлежащие интервалу [
3n
; 0].
2
Тетраэдр ABCD с остроугольными гранями вписан в сферу с центром O. Прямая,
проходящая через точку O перпендикулярно плоскости ABC, пересекает сферу в
точке E такой, что D и E лежат по разные стороны относительно плоскости ABC.
Прямая DE пересекает плоскость ABC в точке F, лежащей внутри треугольника
ABC. Оказалось, что
𝐴𝐷𝐸 = 𝐵𝐷𝐸
,
𝐴𝐹 G 𝐵𝐹
и
𝐴𝐹𝐵 = 8
. Найдите величину
𝐴𝐶𝐵.
Решите неравенство
log
s
log
2
(
4
s
12
)
≤ 1.
Определить острые углы прямоугольного треугольника, длины сторон которого
образуют геометрическую прогрессию.
11
12
13
14
15
16
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия его
возврата таковы:
1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом
предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 40 тысяч рублей
меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 15-го числа 20-го месяца, если общая сумма выплат после
полного погашения кредита составит 1852 тысячи рублей?
При каких значениях параметра a уравнение
𝑥
3
+
𝑦
3
+
𝑥
2
𝑦
+
𝑥
𝑦
2
=
𝑎
(
𝑥
2
+
𝑦
2
)
+
13
𝑎
(
𝑥
+
𝑦
)
ƒ
13𝑎
𝑎
2
имеет ровно четыре решения в целых числах?
У Васи есть калькулятор с двумя кнопками, на экране которого отображается
целое число x. Нажатие на первую кнопку заменяет число x на экране на число
[
𝑥/2
]
, а нажатие на вторую кнопку заменяет число x на число
4𝑥 + 1
. Вначале на
экране калькулятора отображается число 0. Сколько натуральных чисел, не
превосходящих 2018, можно получить последовательным нажатием кнопок?
(Разрешается в процессе решения получать числа, большие 2018. Через
[
𝑦
]
обозначена целая часть числа y, то есть наибольшее целое число, не
превосходящее y).
4ege.ru
17
18
19
Ответы
1. 112.
2. 3.
3. 21.
4. 0,25.
5. 1.
6. 6.