Задачи на переливание, как вид нестандартных задач


Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 3 г. Козьмодемьянска»
Республики Марий Эл
Статья
Задачи на переливание, как вид нестандартных задач.
Подготовили
Гребнева Марина Владимировна,
Ромашова Елена Владимировна
учителя начальных классов
Козьмодемьянск
2015
Задачи на переливание, как вид нестандартных задач.
«Интерес есть там, - утверждает В.А.Сухомлинский, где есть вдохновение,
рождающееся от успеха». Как же добиться такого успеха? Как вызвать интерес
детей к учебе, исподволь заставить ребенка мыслить, рассуждать, доказывать,
соглашаться, уметь отстаивать свою точку зрения, иначе говоря, воспитывать
личность? Как научить всех и сильных, и слабых?
Достичь этого можно путём включения задач, связанных с понятиями, которые
выходят за рамки программного материала. Такие задачи, яркие, занимательные,
с необычной формулировкой, требующие неожиданного решения часто
называют нестандартными. При решении нестандартных задач применяются
логические таблицы, графы, чертежи и т.д.
В начальной школе рассматриваем такие виды нестандартных задач: задачи на
промежутки, на планирование действий, упорядочивание множеств, числовые
ребусы, задачи, решаемые с конца, комбинаторные задачи.
Один из видов нестандартных задач – задачи на переливание. Это старинные
задачи, возникшие много веков назад. Их часто можно встретить в олимпиадах
по математике. Их суть в следующем: имеется несколько сосудов разного
объема, один из них наполнен жидкостью, требуется отлить какую-либо часть
при помощи других сосудов.
При решении используется словесный способ и запись решения при помощи
таблиц.
Приведем пример задач на переливание.
Задачи на переливание.
1. Можно ли, имея лишь два сосуда емкостью 3 и 5л, набрать из
водопроводного крана 4 л воды?
Ходы
1
2
3
4
5
6
5
2
2
-
5
4
-
3
-
2
2
2
Рассуждения:
1) Наполняем 5-литровый сосуд.
2) Отливаем 3л в трёхлитровый сосуд. В 5-литровом сосуде осталось 2л.
3) Выливаем из трёхлитрового сосуда воду в раковину.
4) Из 5-литрового сосуда переливаем 2 л в трёхлитровый.
5) Наполняем 5-литровый сосуд водой.
6) Дополняем трёхлитровый сосуд 1л из 5-литрового. В 5-литровом
остается 4л. Задача решена.
2. Мачеха дала Золушке задание вскипятить 8 литров воды и дала ей ведра
вместимостью 10л и 3л. Помогите Золушке справиться с заданием.
Ходы
2
3
4
5
6
7
8
10
11
12
13
14
3л
-
3
-
3
-
3
2
-
3
-
3
-
10л
3
3
6
6
9
9
10
2
2
5
5
8
Рассуждения:
1) Наполняем 3-литровое ведро.
2) Переливаем воду в 10-литровое ведро.
3) Опять наполняем 3-литровое ведро.
4) Переливаем воду в 10-литровое ведро, в нем стало 6 л.
5) Наполняем 3-литровое ведро.
6) Переливаем воду в 10-литровое ведро, в нем стало 9 л.
7) Наполняем 3-литровое ведро.
8) Отливаем 1л в 10-литровое ведро, в нем 10л, в 3-литровом 2л.
9) Выливаем содержимое 10-литрового ведра.
10) Переливаем 2л из 3-литрового в 10-литровое ведро.
11) Наполняем 3-литровое ведро.
12) Переливаем содержимое 3-литрового ведра в 10-литровое. В нем стало
5л.
13) Наполняем 3-литровое ведро.
14) Переливаем содержимое 3-литрового ведра в 10-литровое. В нем стало
8л. Задача решена.
3. Коля пришёл на реку с 7-литровым ведром. Как ему налить воды, имея
пустую 3-литровую банку. (воду можно сливать обратно в реку)
Ходы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-
3
3
6
6
7
-
2
2
5
3
-
3
-
3
2
2
-
3
-
Рассуждения:
1) Наполняем 3-литровую банку.
2) Переливаем в ведро.
3) Наполняем 3-литровую банку.
4) Переливаем воду из банки в ведро, в нем стало 6л.
5) Наполняем 3-литровую банку.
6) Дополняем 7-литровое ведро из банки, в банке осталось 2л.
7) Выливаем содержимое ведра в реку.
8) Переливаем 2л из банки в ведро.
9) Наполняем 3-литровую банку.
10) Переливаем воду из банки в ведро, в нем стало 5л. Задача решена.
4. Как, имея два сосуда емкостью 9л и 5л, набрать из водоема ровно 3 литра
воды? (воду можно сливать обратно в водоем)
Ходы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
-
5
5
9
-
1
1
6
6
9
-
2
2
7
7
9
5
-
5
1
1
-
5
-
5
2
2
-
5
-
5
3
Рассуждения:
1) Наполняем 5-литровый сосуд.
2) Переливаем в 9-литровый.
3) Наполняем 5-литровый сосуд.
4) Дополняем 9-литровый сосуд доверху. В 5-литровом осталось 1л.
5) Выливаем воду обратно в водоем из 9-л сосуда.
6) Переливаем в 9-литровый 1л из 5-литрового.
7) Наполняем 5-литровый сосуд.
8) Переливаем в 9-литровый, в нем стало 6л.
9) Наполняем 5-литровый сосуд.
10) Дополняем 9-литровый сосуд доверху. В 5-литровом осталось 2л.
11) Выливаем воду обратно в водоем из 9-л сосуда.
12) Переливаем в 9-литровый 2л из 5-литрового.
13) Наполняем 5-литровый сосуд.
14) Переливаем в 9-литровый, в нем стало 7л.
15) Наполняем 5-литровый сосуд.
16) Доливаем 9-литровый сосуд доверху, в 5-литровом осталось 3л.
Задача решена.
5. Имеются два сосуда. Емкость одного из них 9л, а другого 4л. Как с
помощью этих сосудов набрать из бака 6 литров некоторой жидкости?
(Жидкость можно сливать обратно в бак).
Ходы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
-
4
4
8
8
9
-
3
3
7
7
9
-
2
2
6
4
-
4
-
4
3
3
-
4
-
4
2
2
-
4
-
Рассуждения:
1) Наполняем 4-литровый сосуд.
2) Переливаем в 9-литровый.
3) Наполняем 4-литровый сосуд.
4) Переливаем в 9-литровый, в нем стало .
5) Наполняем 4-литровый сосуд.
6) Дополняем 9-литровый сосуд доверху, в 4-литровом осталось 3л.
7) Из 9-литрового сосуда жидкость сливаем обратно в бак.
8) Из 4-литрового сосуда переливаем жидкость в 9-литровый.
9) Наполняем 4-литровый сосуд.
10) Переливаем в 9-литровый, в нем стало 7л.
11) Наполняем 4-литровый сосуд.
12) Дополняем 9-литровый сосуд доверху, в 4-литровом осталось 2л.
13) Из 9-литрового сосуда жидкость сливаем обратно в бак.
14) Переливаем в 9-литровый 2л из 4-литрового.
15) Наполняем 4-литровый сосуд.
16) Переливаем в 9-литровый сосуд, в нем стало 6л. Задача решена.
6. Как разделить поровну между двумя семьями 12 л хлебного кваса,
находящегося в двенадцатилитровом сосуде, воспользовавшись для этого
двумя пустыми сосудами: восьмилитровым и трехлитровым?
Ходы
1
2
3
4
5
6
7
12л
12
4
4
1
9
9
6
6
-
8
5
8
-
3
3
6
-
-
3
3
3
-
3
-
Рассуждения:
1) Переливаем из 12-литрового сосуда квас в 8-литровый.
2) Переливаем из 8-литрового сосуда квас в 3-литровый, в 8-литровом
осталось 5л.
3) Из 12-литрового сосуда дополняем 8-литровый доверху. В 12-литровом
осталось 1л.
4) Из 8-литрового сосуда переливаем в 12-литровый, в нем стало 9л.
5) Из 3-литрового переливаем в 8-литровый 3л.
6) Переливаем в 3-литровый сосуд из 12 литрового, в нем осталось 6л.
7) Из 3-литрового переливаем в 8-литровый сосуд, в нем стало 6л.
Задача решена.
7. Имеются 7-литровая банка сока и две пустые ёмкостью 3л и 4л. Как налить
в 3-литровую банку 2л сока?
Ходы
1
2
3
4
7
4
4
1
1
-
-
3
3
4
-
3
-
3
2
Рассуждения:
1) Из 7-литровой банки отлить сок в 3-литровую. В 7-литровой останется
4л.
2) Из 3-литровой перелить сок в 4-литровую банку.
3) Из 7-литровой банки отлить сок в 3-литровую. В 7-литровой останется
1л.
4) Дополнить соком 4-литровую банку из 3-литровой. В 3-литровой
останется 2л. Задача решена.
8. Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет банку краски 12л и хочет
отлить половину, но у него нет сосуда вместимостью 6л. У него два сосуда
емкостью 8л и 5л. Как в 8-литровый сосуд отлить 6л краски?
Ходы
1
2
3
4
5
6
7
12л
12
4
4
9
9
1
1
6
-
8
3
3
-
8
6
6
-
-
5
-
3
3
5
-
Рассуждения:
1) Из 12-литровой банки отлить краску в 8-литровую. В 12-литровой
останется 4л.
2) Из 8-литровой банки отлить в 5-литровую. В 8-литровой останется
3л.
3) Перелить краску из 5-литровой в 12-литровую. В ней стало 9л.
4) Из 8-литровой перелить в 5-литровую.
5) Перелить из 12-литровой банки краску в 8-литровую. В 12-литровой
останется 1л.
6) Дополнить доверху 5-литровую банку из 8-литровой. В 8-литровой
останется 6л.
7) Из 5-литровой банки перелить краску в 12-литровую. В ней стало 6л.
Задача решена.
9. Бидон, емкость которого 10 литров, наполнен соком. Имеются еще пустые
сосуды в 7 и 2 литров. Как разлить сок в два сосуда по 5 литров каждый?
Ходы
1
2
3
4
5
10л
10
8
1
3
3
5
-
-
7
7
5
5
-
2
2
-
2
-
Рассуждения:
1) Отлить из 10-литрового бидона сок в 2-литровый. В нем останется 8л.
2) Из10-литрового бидона отлить в 7-литровый. В 10-литровом останется
1л.
3) Перелить из 2-литрового сосуда сок в 10-литровый. В нем стало 3л.
4) Отлить из 7-литрового в 2-литровый сосуд. В 7-литровом останется 5л.
5) Из 2-литрового перелить в 10-литровый и в нем станет 5л.
Задача решена.
10. Кот Матроскин надоил 10-литровое ведро молока. Для почтальона
Печкина нужно отлить 5л молока в 7-литровое ведро, используя при этом
3-литровый бидончик.
Ходы
1
2
3
4
5
6
7
8
10л
10
3
3
6
6
9
9
2
2
-
7
4
4
1
1
-
7
5
-
-
3
-
3
-
1
1
3
Рассуждения:
1) Отлить из 10-литрового ведра в 7-литровое. В 10-литровом останется
3л.
2) Отлить из 7-литрового в 3-литровое ведро. В 7-литровом останется 4л.
3) Из 3-литрового перелить в 6-литровое ведро. В нем стало 6л молока.
4) Отлить из 7-литрового в 3-литровое ведро. В 7-литровом останется 1л.
5) Из 3-литрового перелить в 10-литровое ведро. В нем стало 9л молока.
6) Перелить 1л молока из 7-литрового ведра в 3-литровое.
7) Перелить из 9-литрового ведра в 7-литровое. В 9-литровом останется
2л.
8) Долить из 7-литрового ведра молоко в 3-литровое. В 7-литровом ведре
осталось 5л. Задача решена.
Использованная литература:
1.Русанов В.Н. Математические олимпиады младших школьников: Книга для
учителя.-М:Просвещение,1988.
2.Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике.-М:Просвещение,1996