Презентация "Нестандартные способы решения задач на ОГЭ"

Нестандартные способы решения задач на ОГЭ

Подготовила:

Князева Ольга Юрьевна

учитель математики

МОУСОШ№5 с.Журавского

2017 г.

ГЕОМЕТРИЯ

Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.

(В. Произволов)

Вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге

«Не бойтесь формул! Учитесь владеть этим инструментом человеческого гения! В формулах заключено величие и могущество разума…» Марков А. А.

УСТАНОВИТЕ СООТВЕТСТВИЕ

Найдите площадь фигуры

Открытый банк заданий ОГЭ

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ

?

?

Ф

1 СПОСОБ

Ф

2 СПОСОБ

Ф

Георг Пик Георг Александр Пик, австрийский математик  (10.08.1859  — 13.07.1942)  Формула была открыта в 1899 г.

• Г – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах):
• В – количество узлов внутри  треугольника;
* Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:

3 СПОСОБ

ФОРМУЛА ПИКА

В — количество целочисленных точек внутри многоугольника

Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника

Ф

Задача

Найти площадь фигуры:

Г= 11 (обозначены оранжевым)

• Г= 11 (обозначены оранжевым)
• В = 5 (обозначены синим)

Отметим узлы:

С

Найдите площадь фигуры

Открытый банк заданий ОГЭ

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображёна геометрическая фигура. Найдите ее площадь.        

Открытый банк заданий ОГЭ

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Алгебра

• Решение задач на смеси и сплавы

Задачи на «концентрацию», на «смеси и сплавы»

-концентрация(доля чистого вещества в смеси)

-количество чистого вещества в смеси

-масса смеси.

масса смеси х концентрация = количество чистого вещества.

Возьмем 180 грамм воды и добавим в воду 20 грамм соли. Получим раствор соли, его масса равна 180 + 20 = 200 грамм. Концентрация соли (процентное содержание соли) - это отношение количества соли к количеству раствора, записанное в процентах -  (20 : 200) ·100 = 10% Покажем этот раствор в виде прямоугольника

200 г

10 %

Масса раствора

Концентрация

Возьмем 15 кг цемента и 45 кг песка, высыпим содержимое ведер в ящик и тщательно перемешаем цемент с песком. Получим смесь цемента с песком, её масса равна 15 кг + 45 кг = 60 кг. Концентрация цемента (процентное содержание цемента) – это отношение количества цемента к количеству смеси, записанное в процентах – (15 : 60) ·100 = 25% Покажем эту смесь в виде прямоугольника

60 кг

25 %

Задача №1 Имеется 30 кг 26% го раствора соли. Требуется получить 40% раствор соли. Сколько кг 50% раствора соли нужно добавить?

30 кг

26 %

50 %

40 %

Имеется

Нужно добавить

Требуется получить

=

+

х кг

(30+х )кг

30 кг

26 %

50 %

40 %

=

+

х кг

(30+х )кг

30· 0,26

х ·0,5

(30+х)· 0,4

=

+

30· 26 + х· 50 = (30+х)· 40

Задача №2 Из чаши, содержащей 300 граммов 6% раствора уксусной кислоты, отлили некоторое количество этого раствора и добавили такое же количество воды. Определите, сколько граммов воды было добавлено, если известно, что в результате получили 2%-ый раствор уксусной кислоты Нарисуйте и заполните рисунок

Было

Отлили

Добавили

Получили

Проверим! 300 г 6%

Было

Отлили

Добавили

Получили

х г

6%

х г

0%

300 г

2%

-

=

+

300 · 6 – 6х + х·0 = 300 · 2

Ответ: 200 г.

Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси? Решение:

Х

30%

У

60%

10

0%

Х+у+10

36%

Х+у+10

41%

10

50%

У

60%

Х

30%

Составим систему уравнений:

30х+60у+10*0=(х+у+10)*36,

30х+60у+10*50=(х+у+10)*41.

Решая ее, получаем х=60, у=30.

Ответ: 60.

Метод Пирсона

при решении задач на смеси и сплавы

Теоретические основы

решения задач «на смеси, сплавы»

Примем некоторые допущения:

• Все получающиеся сплавы или смеси однородны.
• При решении этих задач считается, что масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов.
• Определение. Процентным содержанием ( концентрацией) вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе всей смеси. Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах.

Терминология:

• процентное содержание вещества;
• концентрация вещества;
• массовая доля вещества. Всё это синонимы.

Готовим раствор определенной концентрации. Имеется 2 раствора с более высокой и менее высокой концентрацией, чем нужно.

Обозначим массу 1-го раствора m 1, а 2-го m 2, тогда при смешивании масса смеси будет равна сумме этих масс. Массовая доля растворённого вещества в 1-м растворе – q 1, во 2-м – q 2, а в их смеси – q 3. Тогда общая масса растворённого вещества в смеси будет складываться из масс растворённого вещества в исходных растворах: m 1 q 1 + m 2q2 =q3(m 1 + m 2), m 1(q 1 – q 3) = m 2(q 3 – q2)

Отношение массы 1-го раствора к массе 2-го раствора это отношение разности массовых долей растворённого вещ-ва в смеси и в 2-м растворе к разности величин в 1-м растворе и в смеси.

При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют квадрат Пирсона.

При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение.

Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.

q1 q3 — q2

q3

q2 q1 — q3

Задача 3. Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?

Решение:

5%

0%

1,5%

1,5%

3,5%

30 кг

х кг

Задача 4. Из сосуда, доверху наполненного 97% раствором кислоты, отлили 2 литра жидкости и долили 2 литра 45% раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 81% раствор кислоты. Сколько литров раствора вмещает сосуд?

Решение:

97%

81%

45%

16%

36%

(х-2) л

2 л

Задача 5 .

Смешали 500 г 10%-го раствора соли и 400 г 55%-го раствора соли. Определите концентрацию соли в смеси.

Решение:

(х-10)%

(55-х)%

500 г

400 г

55%

10%

х%

Ответ: концентрация соли в смеси двух исходных растворов 30%.

Задача 6. Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго слитка на 3 кг больше, чем масса первого слитка. Процентное содержание меди в первом слитке – 10%, во втором – 40%. После сплавления этих двух слитков, получился слиток, процентное содержание меди в котором 30%. Определить массу полученного слитка.

Решение:

40%

10%

30%

10%

20%

(х+3) кг

х кг

Задача 7. Сплавили 300 г сплава олова и меди, содержащего 60% олова, и 900г сплава олова и меди, содержащего 80% олова. Сколько процентов олова в получившемся сплаве?

Решение:

60%

80%

х%

(х-60)%

(80-х)%

300 г

900 г

Задача 8. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного

раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько

процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

х%

12%

0%

х%

(12–х)%

5 л

7 л

Ответ: 5%.

Реши сам! 1) Смешали 3 литра 25-процентного водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 15-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? 2) Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? 3) Первый сплав содержит 5% меди, второй — 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава. 4) Смешав 6-процентный и 74-процентный растворы кислоты и добавив 10кг чистой воды, получили 19-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 24-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 6-процентного раствора использовали для получения смеси?

Математика-наука интересная, сложная,

поэтому нельзя упускать ни одной возможности

сделать её более доступной!

Спасибо за внимание

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!