Подготовка к ОГЭ по математике "Задание 15. (По материалам сайта Д. Гущина и сборников И. Ященко)" скачать


Подготовка к ОГЭ по математике "Задание 15. (По материалам сайта Д. Гущина и сборников И. Ященко)"

Подписи к слайдам:

Подготовка к ОГЭ по математике.

Задание 15.

(По материалам сайта Д. Гущина и сборников И. Ященко)

2018

Задание 15

Задание № 15 - это планиметрическая несложная задача с практическим содержанием.

  • в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов;
  • • если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны;

  • если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны;
  • коэффициент подобия показывает, во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника;

Основные теоремы, понятия, определения:

Задание 15

  • косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе;
  • • синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе;

  • тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету;
  • • средняя линия треугольника параллельна одной из сторон треугольника и равна её половине;

  • средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме;
  • стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов с коэффициентом пропорциональности, равным диаметру описанной окружности;

Задание 15

  • стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов с коэффициентом пропорциональности, равным диаметру описанной окружности:
  • квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

Задание 15

  • Какой угол (в градусах) образуют минутная
  • и часовая стрелки часов в 18:00?

Решение. стрелки образуют развернутый угол, а он равен 180°.

Разбор типовых заданий

Ответ: 180.

2) Какой угол (в градусах) описывает минутная

стрелка за 4 минуты?

Решение. Сначала найдем, сколько в одной

минуте градусов. Так как в круге 60 минут и 360 градусов, то 360 : 60 = 6 градусов – в одной минуте, а в 4 минутах: 6 • 4 = 24

Ответ: 24.

Для успешного решения задач такого типа надо запомнить, что минутная стрелка за одну минуту поворачивается на 6 градусов.

Задание 15

3) На какой угол (в градусах) поворачивается минутная стрелка, пока часовая проходит 2°?

Решение. Минутная стрелка движется в 12 раз быстрее часовой, поэтому она пройдет 24°.

Ответ: 24.

4) Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки в 5 ч?

Решение. Часовыми делениями циферблат разбит на 12 равных центральных углов с градусной мерой 360 : 12 = 30 градусов. Между минутной и часовой стрелками пять часовых делений.

Они образуют угол 150°.

Ответ: 150.

 

Задание 15

5) Колесо имеет 18 спиц. Углы между соседними

спицами равны. Найдите угол, который образуют

две соседние спицы. Ответ дайте в градусах.

Решение. 18 спиц делят окружность колеса на 18 равных цен-

тральных углов, сумма которых равна 360°. Поэтому величина одного такого угла будет равна 360 : 18 = 20

Ответ: 20.

 

6) На рисунке изображено колесо с пятью спицами.

Сколько спиц в колесе, в котором угол между любыми

соседними спицами равен 15°?

Решение. Колесо представляет собой круг. Количество спиц совпадает с количеством секторов, на которые ими оно делится. Так как развёрнутый угол 360°, а угол между спицами равен 15°, имеем: 360:15=24. Поэтому в колесе 24 спицы.

Ответ: 24.

Задание 15

7) На сколько градусов повернется Земля вокруг своей оси за 7 часов?

Решение. За сутки Земля совершает полный оборот, то есть поворачивается на 360°. Следовательно, за один час Земля поворачивается на 360° : 24 = 15°. Получаем, что за 7 часов Земля поворачивается на 7 · 15° = 105°.

Ответ: 150.

8) Площадь прямоугольного земельного участка равна 9 га, ширина участка равна 150 м. Найдите длину этого участка в метрах.

Решение. Переведем площадь участка в квадратные метры: 9 га = 90 000 м2.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Поэтому, длина участка равна: 90 000 : 150 = 600 м.

Ответ: 600.

Задание 15

9) Найдите периметр прямоугольного участка земли, площадь которого равна 800 м2 и одна сторона в 2 раза больше другой. Ответ дайте в метрах.

Решение. Пусть x м — ширина участка, тогда длина  — 2x м. Так как площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон,

то откуда х=20.  

Периметр прямоугольника

Ответ: 120.

10) Сколько досок длиной 3,5 м, шириной 20 см и толщиной 20 мм выйдет из четырехугольной балки длиной 105 дм, имеющей в сечении прямоугольник размером 30 см 40 см?

Решение. Найдем объем доски: 350 · 20 · 2 = 14 000 см3. Найдем объем балки: 1050 · 30 · 40 = 1 260 000 см3.

Поэтому количество досок равно 1 260 000 : 14 000 = 90.

Ответ: 90.

Задание 15

11) Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 3,2 метра от земли. Длина троса равна 4 метра. Найдите расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле. Ответ дайте в метрах.

Решение. Так как на чертеже - прямоугольный треугольник, применяем теорему Пифагора:

4² = 3,2² + x²

16 = 10,24 + x²

x² = 16 – 10,24

x² = 5,76

x = 

x = 2,4 метра

Ответ: 2,4.

 

Задание 15

При нахождении катета прямоугольного треугольника удобно применять формулу разности квадратов.

4² = 3,2² + x²

x² = 4² – 3,2²

x² = (4 – 3,2)(4 + 3,2)

x² = 0,8*7,2

x² = 0,8*0,8*9

x² = 0,8²*3²

х=0,8*3

х=2,4

Задание 15

12) Короткое плечо шлагбаума имеет длину 1 м, а длинное плечо – 4 м. На какую высоту (в метрах) поднимается конец длинного плеча, когда конец короткого опускается на 0,5 м?

Решение. Длинное плечо имеет длину 4 м,

короткое плечо – 1 м, поэтому треугольники

подобны с коэффициентом подобия

k = 4. значит, конец длинного плеча

поднимется на 0,5*4=2 м.

Ответ: 2.

Задание 15

13) Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

Решение. Заметим, что высота экрана,

расположенного на расстоянии 250 см,

в 2 раза меньше высоты экрана,

расположенного на искомом расстоянии,

значит, по теореме о средней линии,

искомое расстояние в два раза больше

первоначального экрана: 250·2 = 500.

Ответ: 500.

Задание 15

14) Две сосны растут на расстоянии 60 м одна от другой. Высота одной сосны 31 м, а другой – 6 м. Найдите расстояние между их верхушками.

Ответ: 65.

Решение:

Задание 15

15) Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от фонаря. Длина тени человека равна двум шагам. На какой высоте (в метрах) висит фонарь?

Решение.

Сначала найдем расстояние (в шагах) от фонаря до крайней точки тени:

4+8 = 12 шагов.

Прямоугольные треугольники подобны с коэффициентом подобия k = 12 : 4 = 3.

Значит, высота фонаря в 3 раза больше роста человека

1,7 *3 = 5,1(м)

Ответ: 5,1.