Дан треугольник ABC со сторонами AB = 24, AC = 15 и BC = 18

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 24, AC = 15 и BC = 18. На стороне BC взята точка

D, а на отрезке AD — точка O, причем CD = 6 и AO = 3OD. Окружность с центром O про-

ходит через точку C. Найдите расстояние от точки C до точки пересечения этой окружно-

сти с прямой AB.

Решение.

Проведем через вершину прямую,

параллельную Пусть — точка ее пересечения с прямой а — точка

пересечения и Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом

поэтому Значит, треугольник равен треугольнику

по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда — середина стороны

Следовательно, — медиана треугольника Медиану треугольника найдём по

формуле медианы

Через вершину проведем прямую, параллельную Пусть — точка ее пересечения с

прямой Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом

поэтому Тогда треугольники и равны по стороне и

двум прилежащим к ней углам. Поэтому — середина

Окружность с центром проходит через точку и при этом Следовательно,

— радиус этой окружности. И точка — одна из точек пересечения прямой и

окружности. Значит, - одно из искомых расстояний

Пусть — вторая точка пересечения окружности с прямой Тогда угол —

вписанный и опирающийся на диаметр так что то есть — высота

треугольника

Используя формулы площади треугольника, получаем

, где

Отсюда

О т в е т : или