Контрольная работа "Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей" скачать бесплатно


Контрольная работа "Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей"


Контрольная работа № 3
«Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей»
Основные теоретические сведения
Определение. Событием называется всякий факт, который может произойти
или не произойти в результате опыта.
При этом тот или иной результат опыта может быть получен с
различной степенью возможности. То есть в некоторых случаях можно
сказать, что одно событие произойдет практически наверняка, другое
практически никогда.
В отношении друг друга события также имеют особенности, т.е. в
одном случае событие
A
может произойти совместно с событием
B
, в
другом – нет.
Определение. События называются несовместными, если появление
одного из них исключает появление других.
Классическим примером несовместных событий является результат
подбрасывания монеты выпадение лицевой стороны монеты исключает
выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте).
Определение. Полной группой событий называется совокупность всех
возможных результатов опыта.
Определение. Достоверным событием называется событие, которое
наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется
невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.
Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые
шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров
белого невозможное событие. Появление красного и появление зеленого
шаров образуют полную группу событий.
Определение. События называются равновозможными, если нет
оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей
вероятностью.
В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров
равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество
красных и зеленых шаров.
Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление
зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.
Исходя из этих общих понятий, можно дать определение вероятности.
Определение. Вероятностью события
A
называется математическая
оценка возможности появления этого события в результате опыта.
Вероятность события
A
равна отношению числа, благоприятствующих
событию
A
исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов
опыта, образующих полную группу событий.
n
m
)A(P
Исход опыта является благоприятствующим событию
A
, если
появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление
события
A
.
Очевидно, что вероятность достоверного события равна единице, а
вероятность невозможного равна нулю. Таким образом, значение
вероятности любого события есть положительное число, заключенное
между нулем и единицей.
10 )A(P
Пример 1. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2
зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар
будет красным, зеленым или белым.
Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную
группу событий. Обозначим появление красного шара событие
A
,
появление зеленого – событие
B
, появление белого – событие
C
.
Тогда в соответствием с записанными выше формулами получаем:
10
5
10
2
10
3
)C(P;)B(P;)A(P
.
Отметим, что вероятность наступления одного из двух попарно
несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Определение. Относительной частотой события
A
называется
отношение числа опытов, в результате которых произошло событие
A
к
общему числу опытов.
Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что
вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а
относительная частота – после опыта.
Так в рассмотренном выше примере, если из коробки наугад извлечено
5 шаров и 2 из них оказались красными, то относительная частота появления
красного шара равна:
5
2
)A(W
Как видно, эта величина не совпадает с найденной вероятностью.
Операции над событиями
Определение. События
A
и
B
называются равными, если
осуществление события
A
влечет за собой осуществление события
B
и
наоборот.
Определение. Объединением или суммой событий
k
A
называется
событие
A
, которое означает появление хотя бы одного из событий
k
A
.
Определение. Пересечением или произведением событий
k
A
называется событие
A
, которое заключается в осуществлении всех событий
k
A
.
Определение. Разностью событий
A
и
B
называется событие
C
,
которое означает, что происходит событие
A
, но не происходит событие
B
.
B\AC
Определение. Дополнительным к событию
A
называется событие
А
,
означающее, что событие
A
не происходит.
Определение. Элементарными исходами опыта называются такие
результаты опыта, которые взаимно исключают друг друга и в результате
опыта происходит одно из этих событий, также каково бы ни было событие
A
, по наступившему элементарному исходу можно судить о том,
происходит или не происходит это событие.
Совокупность всех элементарных исходов опыта называется
пространством элементарных событий.
Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух
несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
)B(P)A(P)BA(P
Следствие 1: Если события
n
A,...,A,A
21
образуют полную группу
несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.
n
i
i
)A(P
1
1
Определение. Противоположными называются два несовместных
события, образующие полную группу.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных
событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их
совместного появления.
)AB(P)B(P)A(P)BA(P
Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна
единице.
1 )A(P)A(P
Определение. Событие
A
называется независимым от события
B
,
вероятность события
A
не зависит от того, произошло событие
B
или нет.
Событие
A
называется зависимым от события
B
, если вероятность события
A
меняется в зависимости от того, произошло событие
B
или нет.
Определение. Вероятность события
B
, вычисленная при условии, что
имело место событие
A
, называется условной вероятностью события
B
.
)A(P/)AB(P)A/B(P)B(P
A
Теорема. (Умножение вероятностей). Вероятность произведения
двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению
вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную
при условии, что первое событие уже наступило.
)B(P)A(P)A/B(P)A(P)AB(P
A
Также можно записать:
)A(P)B(P)B/A(P)B(P)A/B(P)A(P)AB(P
B
Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из
определения условной вероятности.
Если события независимые, то
)B(P)A/B(P
, и теорема
умножения вероятностей принимает вид:
)B(P)A(P)AB(P
В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность
равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных
при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в
предположении, что все остальные события уже совершились.
)A...AA/A(P)...AA/A(P)A/A(P)A(P)A...AA(P
nnn 12121312121
Из теоремы произведения вероятностей можно сделать вывод о
вероятности появления хотя бы одного события.
Если в результате испытания может появиться
n
событий,
независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из
них равна
n
q...qq)A(P
21
1
Здесь событие
A
обозначает наступление хотя бы одного из событий
i
A
, а
i
q
вероятность противоположных событий
n
A,...,A,A
21
.
Пример 2. Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно вынимают
четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет
хотя бы одна бубновая или одна червонная карта.
Обозначим появление хотя бы одной бубновой карты событие
A
,
появление хотя бы одной червонной карты событие
B
. Таким образом нам
надо определить вероятность события
BAC
.
Кроме того, события
A
и
B
совместны, т.е. появление одного из них
не исключает появления другого.
Всего в колоде 13 червонных и 13 бубновых карт.
При вытаскивании первой карты вероятность того, что не появится ни
червонной ни бубновой карты равна
52
26
, при вытаскивании второй карты -
51
25
, третьей -
50
24
, четвертой -
49
23
.
Тогда вероятность того, что среди вынутых карт не будет ни бубновых,
ни червонных равна
49
23
50
24
51
25
52
26
)C(P
.
Тогда
94501 ,)C(P)C(P
.
Пример 3. Чему равна вероятность того, что при бросании трех
игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей?
Вероятность выпадения 6 очков при одном броске кости равна
6
1
.
Вероятность того, что не выпадет 6 очков -
6
5
. Вероятность того, что при
броске трех костей не выпадет ни разу 6 очков равна
216
125
6
5
3
p
.
Тогда вероятность того, что хотя бы один раз выпадет 6 очков равна
216
91
216
125
1
.
Вероятность появления только одного события
Пример 4. Пусть даны три независимых события
1
A
,
2
A
,
3
A
, их
вероятности соответственно равны
1
р
,
2
р
, и
3
р
. Найти вероятность
появления только одного события.
Пусть:
событие
1
В
- появилось только событие
1
A
(
2
A
и
3
A
не появились)
3211
AAAВ
событие
2
В
- появилось только событие
2
A
(
1
A
и
3
A
не появились)
3212
AAAВ
событие
3
В
- появилось только событие
3
A
(
1
A
и
2
A
не появились)
3213
AAAВ
Таким образом, чтобы найти вероятность появления только одного из
событий
1
A
,
2
A
,
3
A
, будем искать вероятность
321321
BPBPBPВВВР
так как события
1
В
,
2
В
,
3
В
несовместны.
События
1
A
,
2
A
,
3
A
- независимы
1
A
,
2
A
,
3
A
- независимы.
Обозначим
11
qAP
,
22
qAP
,
33
qAP
.
Тогда
321321321321
pqqqpqqqpВВВР
, т.е.
P
(появления только одного события ) =
321321321
pqqqpqqqp
.
Формула полной вероятности.
Пусть некоторое событие
A
может произойти вместе с одним из
несовместных событий
n
H,...,H,H
21
, составляющих полную группу
событий. Пусть известны вероятности этих событий
)H(P),...,H(P),H(P
n21
и условные вероятности наступления события
A
при наступлении события
i
H
:
)H/A(P),...,H/A(P),H/A(P
n21
.
Теорема. Вероятность события
A
, которое может произойти
вместе с одним из событий
n
H,...,H,H
21
, равна сумме парных
произведений вероятностей каждого из этих событий на
соответствующие им условные вероятности наступления события
A
.
Задания контрольной работы № 3
Вариант 1.
1. В ходе этнографической экспедиции по двум этнокультурным группам
(районам) Архангельской области были выявлены наиболее часто
встречающиеся узоры русской вышивки: конь и крылатая птица. На основе
частоты появления этих образов орнамента в обследуемых этнокультурных
группах была составлена следующая таблица:
Район
конь
крылатая птица
Онежский
7
40
Плисецкий
11
17
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1)
оценить тесноту связи между признаками; 2) при уровне значимости
0.05
проверить нулевую гипотезу о независимости исследуемых признаков: вид
орнамента и принадлежность его к определенной группе.
2. В ходе медицинского обследования стояла задача проверить аллергенность
нового препарата. Из 100 пациентов с одним и тем же заболеванием часть
принимала старый общеизвестный препарат X, а часть принимала новый
препарат Y. Из принимавших старый препарат: у 48 человек была
n
i
ii
)H/A(P)H(P)A(P
1
нормальная реакция, а у 4 человек обнаружена аллергия. Среди тех, кто
принимал новый препарат: у 42 зафиксирована нормальная реакция,. А у 6
человек аллергия. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей
возникновения аллергии при применении препаратов X и Y, когда уровень
значимости равен 0,02. останется ли принятое решение о проверке данных
гипотез справедливым, если при тех же значения частостей число пациентов
возрастет в 10 раз?
3. На заводе изготовлен новый игровой автомат, который должен обеспечить
появление выигрыша в одном случае из 100 бросаний монеты. Для проверки
годности автомата произведено 400 испытаний, где выигрыш появился 5 раз.
Оценить вероятность появления выигрыша. Построить приближенные
доверительные границы для этой вероятности при
0.9973
, используя:
преобразование арксинуса. Как изменится доверительный интервал, если при
той же частости появления выигрыша число наблюдений возрастет в 20 раз?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей
таблице:
X
1
2
-1
3
Y
2
3
1
4
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида
Y aX b
найти
неизвестные коэффициенты a и b по методу наименьших квадратов.
Вычислить Y при
56
1.5; 4XX
.
Вариант 2.
1. Пусть вероятность того, что покупателю магазина женской обуви
необходимы туфли 37 размера, равна 0,25. Оценить с помощью теоремы
Бернулли и интегральной теоремы Муавра-Лапласа, вероятность того, что
доля покупателей, которым необходимы туфли 37 размера, отклонится по
абсолютной величине от вероятности 0,25 не более чем на 0,1, если всего в
день магазин посещает 1000 покупателей.
2. Из 250 абитуриентов, сдававших вступительный экзамен по математике, в
одном потоке 63 человека получило неудовлетворительные оценки. Оценить
вероятность получения неудовлетворительной оценки на экзамене.
Используя интегральную теорему Лапласа построить доверительные
границы для этой вероятности при
0.98
. Как изменится этот интервал,
если при той же частости, число абитуриентов возрастет в 10 раз?
3. Из проконтролированных 100 телевизоров, выпущенных на Воронежском
заводе, целиком удовлетворяют заданным техническим требованиям 85. При
контроле 105 телевизоров, выпущенных на Шауляйском заводе, заданным
техническим требованиям удовлетворяет 98 телевизоров. Проверить гипотезу
о равенстве вероятностей выпуска годного телевизора на этих заводах при
уровне значимости
0.01
. Останется ли принятое решение в силе, если при
тех же значениях частостей число проконтролированных телевизоров
возрастет в 20 раз?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей
таблице:
X
1
2
4
6
Y
2
2,5
2,3
2,1
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида
b
Ya
X

найти
неизвестные коэффициенты a и b по методу наименьших квадратов.
Вычислить Y при
56
2.5; 7XX
.
Вариант 3.
1. За некоторый период времени в населенном пункте А в ночное время было
совершено 68 преступлений, из которых оказалось 20 квартирных краж. За
тот же промежуток времени в населенном пункте В в ночное время было
совершено 102 преступления, среди которых оказалось 35 квартирных краж.
Проверить гипотезу о равенстве вероятностей совершения квартирных краж
ночью в населенных пунктах А и В при уровне значимости
0.1
. Останется
ли принятое решение в силе, если при тех же значениях частостей число
преступлений, совершенных в А и В возрастет в 15 раз?
2. В ходе социологических исследований, касающихся отношения к религии,
проведенных в Пермском крае и Нижегородской области были получены
следующие результаты:
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1)
оценить тесноту связи между признаками; 2) при уровне значимости
0.01
проверить нулевую гипотезу о независимости исследуемых признаков: место
жительства респондента и его веры в Бога.
3. Вероятность заболеть некоторой инфекционной болезнью в течение года
для данной социальной группы, включающей 90000 человек, составляет 0,1.
какова вероятность того, что число заболевших за год будет находиться в
интервале от 8820 до 9270?
4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей
таблице:
X
-1
0
1
4
Y
0
1
2
5
Предполагая, что между X и Y имеется зависимость вида
2
Y aX bX c
найти неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов.
Вычислить Y при
56
1.5; 5XX
.
Вариант 4.
1. Из 450 деталей, изготовленных станком-автоматом оказалось 39
нестандартных. Оценить вероятность того, что произвольным образом взятая
деталь окажется стандартной. Используя преобразование арксинуса,
Субъект федерации
Верю
в Бога
Убежденный
атеист
Пермский край
63
27
Нижегородская
область
46
54