Конспект урока "Прогрессио - движение вперёд"

МОУ Борисоглебская СОШ №10
КОНЕВА Н.А. учитель математики ВКК
«Прогрессио – движение вперёд»
«Прогрессио – движение вперёд» - урок комбинированных задач по теме
«Арифметическая и геометрическая прогрессии»
Цели урока: - повторение и обобщение изученного материала путём решения
комбинированных задач; развитие познавательного интереса к математике.
Задачи:
Образовательные:
- совершенствовать навыки решения разнообразных задач по использованию формул
арифметической и геометрической прогрессий;
- применять свои знания в практических ситуациях;
-расширять знания учащихся путём решения нестандартных задач;
Развивающие:
- развивать математический кругозор, мышление, математическую речь;
Воспитательные:
-воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию; воспитывать чувство
прекрасного;
-формировать отношения взаимной ответственности при совместной работе;
Тип урока: отработка умений и навыков, применение знаний при решении
комбинированных задач.
Форма проведения: личное соревнование с использованием презентации.
Длительность : 2 учебных часа.
К уроку прилагается презентация Приложение1.ppt
Эпиграф урока.
Закончился 20-ый век.
Куда стремится человек?
Изучены космос и море,
Строенье звёзд и вся Земля.
Но математиков зовёт
Известный лозунг:
«Прогрессио – движение вперёд».
ХОД УРОКА.
Ι. Организационный момент.
II. Сценка «Мужик и купец».
(Стол. На столе – самовар; у окна сидит купчиха. Входит купец )
Купец: Послушай, жена! На базаре я встретил глупого мужика и заключил с ним
выгодную сделку.
Жена: Какую?
Купец: Он каждый день будет приносить мне по 100 000 рублей, а я ему в первый день
отдам копейку. Ты слышишь, копейку за 100 000 рублей. Во второй день за 100 000- две
копейки, в третий- 4 копейки и так целый месяц. А он мне целый месяц будет носить
каждый день по 100 000 рублей!
Жена: Откуда у этого глупца столько денег?
Купец: Это не наше дело. Об одном жалею, что заключил договор только на 1 месяц.
Боюсь, что этот чудак поймёт, что его обманывают, и не принесёт свои деньги.
(Раздаётся стук. Жена выглядывает в окно.)
Жена: Там кто-то пришел!
Купец: Это он. (Входит мужик)
Мужик: Получай, купец, свои деньги и отдай мою копейку. (Взяв копейку, уходит)
Купец: Как я боялся, что он не придёт! А вдруг завтра он не придёт? Или придёт и заберёт
свои деньги?
Жена: Успокойся! Если он сегодня не понял, что его обманывают, не думаю, что он
поймёт это завтра. Говорят же: «Если дурак, то надолго».
Купец: Так-то оно так, да всё равно боязно.
Ведущий: Каждый день мужик приносил по 100 000 рублей и забирал свои копейки.
Вначале купец радовался и не задумывался над тем, сколько он отдаёт мужику. На 24 день
он отдал уже более 83000 рублей.
Купец: О горе мне, горе! Мужик оказался не так глуп! Какой я глупец! Разве можно
заключать сделки на базаре!
Ведущий: Видите, ребята, сколь неожиданными бывают результаты, когда не знаешь
математику. Вероятно, купец не оказался бы в безвыходном положении, знай он хоть
чуть-чуть математику.
«Так о чём же, ребята, пойдёт сегодня речь?»
III . Сообщение темы и целей урока.
Конечно о прогрессиях. Но встретим мы её в комбинированных нестандартных задачах.
Сегодня мы должны обобщить и систематизировать знания и умения, приобретённые при
изучении прогрессий, а также вспомнить, насколько математика может быть
занимательной. Нам предстоит поработать и с формулами, вспомнить, как решаются
уравнения и строятся графики, посадить «волшебное дерево» и услышать исторические
факты, решить задачу и написать тест.
А вот почему же в конце месяца купец посчитал себя глупцом?
Сколько пришлось заплатить каждому?
I V. Устная работа
1.Считают «мужик» и «купец»
«Мужик» заплатил : S
30
= 100 000∙ 30 = 3 000 000рублей.
«Купец» заплатил : 1; 2; 4;… q=2/1=2.
S
30
=1∙ (2
30
- 1):(2-1)= 2
30
-1=1 073 741 824 -1 =1 073 741 823 коп.=
= 10 738 418 руб.23коп
2.Найди ошибку.(Текст решения на слайде)
В то время пока двое подсчитывают суммы, следующий ученик комментирует решение и
находит ошибку в решенном неравенстве:
х
2
+ х(-1-1/2-1/4-…) – 8 < 0,
Имеем в скобках сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая
равна S=1/(1-1/2)=2, и тогда неравенство приобретает вид
х
2
-2x -8 <0.
Рассмотрим функцию у = х
2
--8. График парабола, «ветви» вверх, т.к. а=1, 1>0.
Нули функции: 4; -2.
Построим параболу схематично:
Ответ: (-2;4).
V. Работа с формулами.
Герберт Спенсер, английский философ, когда-то сказал: «Дороги не те знания, которые
откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные
мышцы».
Проверим, кто из вас порадовал бы Герберта Спенсера.
восприятие речи на слух. Проговариваю название формулы один раз, а учащиеся пишут
номер формулы (двое у доски, остальные под копирку на листочках, повернувшись так,
чтобы работать спиной к доске).
Вопросы к формулам
1.Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
2.Формула n-го члена арифметической прогрессии.
3.Сумма n-первых членов арифметической прогрессии.
4.Сумма n-первых членов геометрической прогрессии.
5.Формула n-го члена геометрической прогрессии.
6.Свойство членов арифметической прогрессии.
7.Свойство членов геометрической прогрессии.
8.Знаменатель геометрической прогрессии.
9.Разность арифметической прогрессии.
Формулы.
1. a
n
= a
1
+ ( n-1)d
2. b
n
= b
1
q
n-1
3. S
n
.
4. S
n
=
5. S = .
6. a
n
= .
7. b
n
=
8. d = a
n + 1
a
n
.
9. q =
Листочки с каждого ряда собирает дежурный помощник. Выполняем проверку по коду.
Получили 9-значное число 513 426 798.
Это КОД ОТВЕТА.
VI. Практическая часть урока.
«Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию или катанию на
лыжах, или игре на фортепиано; научиться этому можно лишь, подражая избранным
образцам и постоянно тренируясь»,- говорил Д.Пойа.
1.Задача. Три числа составляют арифметическую прогрессию. Найдите эти числа, если их
сумма равна 27, а при уменьшении первого числа на 1, уменьшении второго на 3 и при
увеличении третьего на 3, получили геометрическую прогрессию.
Дано: а
1
2
3
=27 –сумма трёх членов арифметической прогрессии; а
1
-1; а
2
-3; а
3
+3-
геометрическая прогрессия
Найти: а
1
; а
2;
а
3.
Решение. , ,
q =
=9 d,
(8 - d)(d + 12)=36.
d
2
+4d-60=0,
d
1
=6, d
2
=-10.
Если d
1
=6, то ; .
Если d
2
=-10, то ; .
Ответ: если арифметическая прогрессия 3; 9; 15, то геометрическая прогрессия 2; 6; 18.
Если арифметическая прогрессия 19; 9; -1, то геометрическая прогрессия 18; 6; 2.
Нестандартные комбинированные задачи по теме «Прогрессии» мы можем встретить и
при решении уравнений, неравенств, при построении графиков функций.
2. Решите неравенство:
(3х+ )( ) > 0.
6-слагаемых 6-слагаемых
Двое учащихся упрощают скобки в данном неравенстве. Сумма 6-ти слагаемых
арифметической прогрессии равна (-18) . Сумма 6-ти слагаемых геометрической
прогрессии равна 126.
Неравенство перепишется в виде : (3х-18)(х+126)>0.
Третий ученик решает его методом интервалов.
Ответ: (- ∞; -126) U (6; + ∞).
VII . Проверка домашнего задания.
Мы знаем легенду об изобретателе шахмат, которая гласит, что изобретатель шахмат Сета
попросил у индусского царя Шерам за своё изобретение столько пшеничных зёрен,
сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на
вторую – в два раза больше, т. е. 2 зерна, на третью – ещё в два раза больше, т.е. 4 зерна, и
т.д. до 64-й клетки. Одно из домашних заданий заключалось в том, чтобы посчитать
современными способами и записать, сколько зёрен должен был получить изобретатель
шахмат?
S
64
= 2
64
1 = 18 446 744 073 709 551 615.
18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 миллиарда (биллиона)
709миллионов 551 тысяча 615.
Современники сказали бы так:
S
64
= 1, 84∙ 10
19
стандартный вид данного числа.
Если бы индусскому царю Шерам удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности
Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыни, и Арктику с Антарктикой, и получить
удовлетворительный результат, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться.
Мы ещё посмотрели сценку о мужике и купце. А когда же стали встречаться первые
упоминания о прогрессиях?
VIII. Сообщаются краткие исторические сведения, приготовленные учащимися.
В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко 2
тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических
прогрессий. Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в
документах Древней Греции. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были
известны и индийским учёным.
Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии даётся
в «Книге абака» (1202г.) Леонардо Фибоначчи. А общее правило для суммирования
любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Н. Шюке «Наука о
числах», увидевшей свет в 1484 году.
IX. Практическая часть. (продолжение)
Великому Эйнштейну приходилось делить время между политикой и уравнениями. Он
говорил: «Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для
данного момента, а уравнения будут существовать вечно».
3. Итак, уравнение, содержащее прогрессию.
х
2
-3 |х | = 2+1+1/2+…
Решение: S= 2/(1-1/2)=4.
Уравнение приобретает вид х
2
-3 |х | -4=0.
1) Если х ≥ 0, то х
2
-- 4 =0. Его корни 4 и -1;
х= -1 не удовлетворяет условию х ≥ 0.
2) Если х < 0, то х
2
+3х - 4=0. Его корни -4 и 1;
х=1 не удовлетворяет условию х < 0.
Ответ: 4; - 4.
4. Построить график функции:
у = .
Решение. 1+sin30+sin
2
30+sin
3
30+...=1+1/2+1/4+1/8+...- сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, т.к. q=1/2.
S= 1/(1-1/2)=2.
Функция приобретает вид: 1) у = х +2, если х > 0
2) у = х - 2, если х < 0.
Область определения х ≠0. У доски работают 2 ученика, каждый строит свою часть
графика.
В нашей школе стало традицией: выпускники школы, заложив однажды «аллею