Презентация "Введение в теорию графов" 11 класс скачать бесплатно


Презентация "Введение в теорию графов" 11 класс


Подписи к слайдам:
Введение в теорию графов

Введение в теорию графов

  • 11 класс
  • 07.04.17
  • начать

Введение в теорию графов

  • Граф отображает элементный состав системы и структуру связей.

Граф - это множество точек или вершин и множество линий или ребер, соединяющих между собой все или часть этих точек. Вершины, прилегающие к одному и тому же ребру, называются смежными. Два ребра, у которых есть общая вершина, также называются смежными (или соседними).

  • Рис. 1. Граф с шестью вершинами и семью ребрами
  • Понятие графа

Петля это дуга, начальная и конечная вершина которой совпадают. Пустым (нулевым)называется граф без ребер. Полным называется граф, в котором каждые две вершины смежные.

  • Элементы графа

Нулевой граф

  • Граф, состоящий из «изолированных» вершин, называется нулевым графом
  • Рис. 2. Нулевой граф

Неполный граф

  • Графы, в которых не построены все возможные ребра, называются неполными графами.
  • Рис. 3. Неполный граф

Степень графа

  • Количество рёбер, выходящих из вершины графа, называется степенью вершины. Вершина графа, имеющая нечётную степень, называется нечетной, а чётную степень – чётной.
  • Если степени всех вершин графа равны, то граф называется однородным. Таким образом, любой полный граф — однородный.

Задание 1. Существует ли полный граф с семью ребрами?

  • Заметим, что если полный граф имеет n вершин, то количество ребер равно
  • n(n-1)/2
  • Решение: Зная количество ребер, узнаем количество вершин.
  • n(n-1)/2=7.
  • n(n-1)=14.
  • Заметим, что n и (n-1) – это два последовательных натуральных числа. Число 14 нельзя представить
  • в виде произведения двух последовательных натуральных чисел, значит, данное уравнение не имеет решений. Следовательно, такого графа
  • не существует.
  • ОТВЕТ

Задание 2.

  • Построить полный граф, если известно что он содержит в себе 7 вершин.
  • Составьте схему проведения розыгрыша кубка по олимпийской системе, в которой участвуют 10 команд.

Ориентированный граф

  • Два ребра, у которых есть общая вершина, также называются смежными (или соседними).
  • Граф называется ориентированным (или орграфом), если некоторые ребра имеют направление. Это означает, что в орграфе некоторая вершина может быть соединена с другой вершиной, а обратного соединения нет. Если ребра ориентированы, что обычно показывают стрелками, то они называются дугами.
  • Рис. 4. Ориентированный граф

  • Рис. 5. Примеры неориентированного
  • и ориентированного графов (А и Б)
  • Ориентированный и неориентированный графы

Задание 3.Построить граф по заданному условию:

  • В соревнованиях по футболу участвуют 6 команд. Каждую из команд обозначили буквами А, B, C, D, E и F. Через несколько недель некоторые из команд уже сыграли друг с другом:
  • A с C, D, F; B c C, E, F; С с A, B; D с A, E, F; E с B, D, F; F с A, B, D.
  • ОТВЕТ

Запомнить!

  • Не следует путать изображение графа с собственно графом (абстрактной структурой), поскольку одному графу можно сопоставить не одно графическое представление. Изображение призвано лишь показать, какие пары вершин соединены рёбрами, а какие — нет.

Изображение графа

  • Один и тот же граф может выглядеть на
  • рисунках по-разному. На рисунке 6 (а, б, в) изображен один и тот же граф.
  • Рис. 6. Примеры изображения графа

Задание 4.

  • Определить изображают ли фигуры на рисунке один и тот же граф или нет.
  • 1)
  • 2)
  • 3)
  • ОТВЕТ
  • Рисунок 1 и рисунок 2 являются изображениями одного графа. Рисунок 3 изображением
  • другого графа

  • Путём в графе называется такая последовательность ребер, в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину и никакое ребро не встречается более одного раза.
  • Путь в графе

Задание 5.

  • (А1 А4); (А4 А5).
  • (А1 А2); (А2 А4); (А4 А5).
  • (А1 А4); (А4 А2); (А2 А1); (А1 А4); (А4, А5).
  • (А1 А4); (А4 А2); (А2 А1); (А1 А3); (А3 А4); (А4, А5).
  • Определить какая из перечисленных последовательностей путём не является.
  • ОТВЕТ
  • Третья последовательность (А1 А4); (А4 А2); (А2 А1); (А1 А4); (А4, А5).

Путь называется простым, если он не проходит ни через одну из вершин графа более одного раза.

  • (А1 А4); (А4 А5).
  • (А1 А2); (А2 А4); (А4 А5).
  • (А1 А4); (А4 А2); (А2 А1); (А1 А4); (А4, А5).
  • (А1 А4); (А4 А2); (А2 А1); (А1 А3); (А3 А4); (А4, А5).
  • Задание 6.
  • Определите, какие последовательности ребер являются путями, и какие из них простые. Если последовательность не является путем укажите почему.
  • Первая, вторая и четвертая последовательности являются путями, а третья нет, т.к. ребро (А1, А4) повторяется. Первая и вторая последовательность являются простыми путями, а четвертая нет, т.к. вершины А1 и А4 повторяются.
  • ОТВЕТ

Понятие цикла в графе

  • Циклом называется путь, в котором совпадают его начальная и конечная вершины. Простым циклом в графе называется цикл, не проходящий ни через одну из вершин графа более одного раза.

a) 4 ребра; b) 6 ребер; c) 5 ребер; d) 10 ребер. Какие из этих циклов являются простыми?

  • Задание 7.
  • Назовите в графе циклы, содержащие
  • ОТВЕТ

ОТВЕТ

  • (AB, BC, CE, EA), (CD, DA, AB, BC), (EB, BC, CD, DE) и т.д. – простые циклы.
  • (DB, BE, EA, AB, BC, CD), (EC, CA, AB, BC, CD, DE) и т.д. – циклы.
  • (AB, BC, CD, DE, EA), (AC, CE, EB, BD, DA) и т.д. – простые циклы.
  • (AC, CE, EB, BD, DA, AB, BC, CD, DE, EA), (EB, BD, DA, AC, CE, EA, AB, BC, CD, DE) и т.д. – циклы.
  • Решение: