Презентация "Алгоритмы на графах. Топологическая сортировка поиском в глубину" скачать бесплатно


Презентация "Алгоритмы на графах. Топологическая сортировка поиском в глубину"


Подписи к слайдам:
Теория графов

  • Алгоритмы на графах
  • Топологическая сортировка поиском в глубину
  • Югов Иван Олегович
  • МОУ Гимназия №10, г. Тверь

Домашнее задание

  • Предприятие «Авто-2010» выпускает двигатели известных во всём мире автомобилей. Двигатель состоит ровно из n деталей, пронумерованных от 1 до n, при этом деталь с номером i изготавливается за pi секунд. Специфика предприятия «Авто-2010» заключается в том, что там одновременно может изготавливаться лишь одна деталь двигателя. Для производства некоторых деталей необходимо иметь предварительно изготовленный набор других деталей.
  • Генеральный директор «Авто-2010» поставил перед предприятием амбициозную задачу — за наименьшее время изготовить деталь с номером 1, чтобы представить её на выставке.
  • Требуется написать программу, которая по заданным зависимостям порядка производства между деталями найдёт наименьшее время, за которое можно произвести деталь с номером 1.

Домашнее задание

  • Первая строка входного файла details.in содержит число n (1 ≤ n ≤ 10 000) — количество деталей двигателя. Вторая строка содержит n натуральных чисел p1, p2, …, pn, определяющих время изготовления каждой детали в секундах. Время для изготовления каждой детали не превосходит 109 секунд. Каждая из последующих n строк входного файла описывает характеристики производства деталей. Здесь i-я строка содержит число деталей ki, которые требуются для производства детали с номером i, а также их номера. Сумма всех чисел ki не превосходит 200000. Известно, что не существует циклических зависимостей в производстве деталей.
  • В первой строке выходного файла details.out должны содержаться два числа: минимальное время ( в секундах), необходимое для скорейшего производства детали с номером 1 и число k деталей, которые необходимы для этого производства. Во второй строке требуется вывести через пробел k чисел — номера деталей в том порядке, в котором их следует производить для скорейшего производтсва детали с номером 1.
  • Ограничение по времени — 2 сек. Ограничение по памяти — 64 Мб.

Домашнее задание

  • details.in
  • details.out
  • 3
  • 100 200 300
  • 1 2
  • 0
  • 2 2 1
  • 300 2
  • 2 1
  • 2
  • 2 3
  • 1 2
  • 0
  • 5 2
  • 2 1
  • 4
  • 2 3 4 5
  • 2 3 2
  • 1 3
  • 0
  • 2 1 3
  • 9 3
  • 3 2 1

Топологическая сортировка

  • Для топологической сортировки можно использовать поиск в глубину.
  • Используем поиск в глубину от всех вершин со входящей степенью 0. Будем нумеровать вершины, из которых выходим, в обратном порядке.
  • При этом окажется, что граф отсортирован топологически.

Топологическая сортировка

  • 2
  • 5
  • 3
  • 4
  • 1
  • 6
  • 9
  • 8
  • 7
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 9
  • 8
  • 7

Топологическая сортировка

  • Почему так происходит?
  • Не бывает рёбер из вершин, которые были покинуты раньше, в вершины, которые были покинуты позже.
  • Как это доказать?
  • Предположим, что это не так.
  • Пусть имеются вершины A и B, причём в процессе DFS вершина A была покинута раньше, чем вершина B. Пусть теперь существует ребро из A в B.

Топологическая сортировка

  • Рассмотрим момент времени, когда мы покидаем A (но ещё не покинули B).
  • Два случая:
  • Покидаем A и ещё не посещали B.
  • Покидаем A и посетили B.
  • Однако:
  • Из чёрной вершины в белую не бывает рёбер.
  • Есть серый путь из B в A, что с ребром из A в B даёт цикл, но граф ациклический.

Топологическая сортировка

  • 2
  • 5
  • 3
  • 4
  • 1
  • 6
  • 9
  • 8
  • 7
  • Альтернативное начало —
  • фиктивная вершина.
  • 0

Топологическая сортировка

  • Если оказалось, что граф содержит циклы:
  • как будет вести себя алгоритм топологической сортировки отсечением вершин?
  • как будет вести себя алгоритм топологической сортировки поиском в глубину?

Домашнее задание

  • Какое максимальное количество рёбер может быть в ориентированном ациклическом графе с n вершинами?
  • Может ли быть так, что правильным результатом топологической сортировки графа оказывается любой порядок его вершин?
  • Решить задачу о производстве деталей с помощью DFS.
  • Как использовать топологическую сортировку для определения наличия циклов в графе?

Источники

  • Курс «Базовые алгоритмы для школьников» (Станкевич А. С., Абакумов К. В., Мухачёва М. А.)
  • «Интернет-уинверситет информационных технологий»
  • http://www.intuit.ru/department/algorithms/basicalgos/