Презентация "Алгоритмы на графах. Определение наличия циклов в графе" скачать бесплатно


Презентация "Алгоритмы на графах. Определение наличия циклов в графе"


Подписи к слайдам:
Теория графов

  • Алгоритмы на графах
  • Определение наличия циклов в графе
  • Югов Иван Олегович
  • МОУ Гимназия №10, г. Тверь

Домашнее задание

  • Какое максимальное количество рёбер может быть в ориентированном ациклическом графе с n вершинами?
  • Может ли быть так, что правильным результатом топологической сортировки графа оказывается любой порядок его вершин?
  • Решить задачу о производстве деталей с помощью DFS.
  • Как использовать топологическую сортировку для определения наличия циклов в графе?

Циклы и топологическая сортировка

  • Если в графе есть циклы, то топологическая сортировка невозможна.
  • Если граф ациклический, то можно выполнить топологическую сортировку.
  • Как с помощью топологической сортировки определить наличие циклов в графе?
  • Pascal
  • Cycles := False;
  • for i := 1 to n do
  • for j := 1 to n do
  • if A[i, j] and
  • (order[j] > order[i]) then
  • Cycles := True;
  • C
  • Cycles = FALSE;
  • for(i = 0; i < n; i++)
  • for(j = 0; j < n; j++)
  • if(A[i, j] &&
  • (order[j] > order[i]))
  • Cycles = TRUE;

Поиск циклов в графе

  • Используем DFS для нахождения графа.
  • Если из текущей вершины есть путь в серую вершину, то имеем цикл.
  • a
  • b
  • c
  • d
  • Если в графе есть цикл, то почему DFS обязательно его найдёт?

Поиск циклов в графе

  • Рассмотрим цикл и момент, когда покидаем первую вершину в нём.
  • ?
  • ?
  • ?
  • X
  • Y
  • Возвращаться будем из вершины X в вершину Y, поочерёдно окрашивая вершины в цикле в чёрный цвет.

Поиск циклов в графе

  • Как определить сам цикл?
  • Сделаем стек. При заходе в вершину помещаем её в стек, при выходе — забираем её оттуда.
  • массив stack длины n — стек вершин;
  • sp — указатель вершины стека (число элементов в нём).
  • Pascal
  • sp := 0;
  • Push(v):
  • Inc(sp);
  • stack[sp] := v;
  • Pop:
  • Dec(sp);
  • C
  • sp = 0;
  • Push(v):
  • stack[++sp - 1] = v;
  • Pop:
  • sp--;

Поиск циклов в графе

  • Pascal
  • for i := 1 to n do
  • color[i] := WHITE;
  • rm := False; found := False; DFS(1);
  • DFS(v):
  • color[v] := GRAY; Push(v);
  • for <u - сосед v> do
  • if not Found then
  • if color[u] = WHITE then
  • DFS(u)
  • else
  • if color[u] = GRAY then
  • begin
  • Found := True;
  • cc := u; rm := True;
  • end;
  • if Found then
  • <запомнить текущую вершину>;
  • color[v] := BLACK; Pop;
  • C
  • for(i = 0; i < n; i++)
  • color[i] = WHITE;
  • rm = Found = FALSE; DFS(0);
  • DFS(v):
  • color[v] = GRAY; Push(v);
  • for(<u - сосед v>)
  • if(!Found)
  • if(color[u] == WHITE)
  • DFS(u);
  • else
  • if(color[u] == GRAY)
  • {
  • rm = Found = TRUE;
  • cc = u;
  • };
  • if(Found)
  • <запомнить текущую вершину>;
  • color[v] = BLACK; Pop;

Поиск циклов в графе

  • Как запомнить все вершины, из которых выходим?
  • Сделаем второй стек. Если цикл найден, то помещаем во второй стек все покидаемые вершины, пока не встретим вершину cc.
  • массив stack2 длины n — стек вершин в прямом порядке;
  • sp2 — указатель вершины второго стека.
  • Pascal
  • sp2 := 0;
  • <запомнить текущую вершину>:
  • if rm then
  • begin
  • rm := rm and (v <> cc);
  • Inc(sp2); stack2[sp2] := v;
  • end;
  • C
  • sp2 = 0;
  • <запомнить текущую вершину>:
  • if(rm)
  • {
  • rm &= v != cc;
  • stack[++sp - 1] = v;
  • };

Поиск циклов в графе

  • В первой строке файла input.txt заданы целые n и m — соответственно число вершин и число рёбер ориентированного графа (1 ≤ n ≤ 10 000, 0 ≤ m ≤ 50 000). В следующих m строках файла заданы пары номеров вершин, соединённых рёбрами.
  • В файл output.txt вывести последовательность номеров вершин, соответствующих любому циклу в графе. Если граф ациклический, то вывести 0.
  • Ограничение по времени — 1 сек.
  • Ограничение по памяти — 16 Мб.

Домашнее задание

  • Верно ли утверждение, что из всех циклов в графе, проходящих через начальную вершину, DFS прежде всего находит цикл минимальной длины? Привести доказательство или контрпример.
  • Решить задачу об определении наличия циклов в ориентированном графе проверкой рёбер: в выходной файл вывести 1, если в графе есть циклы, и 0 в противном случае.
  • Выполнить п. 2 для неориентированного графа.
  • Решить задачу об отыскании цикла в ориентированном графе с помощью DFS без использования второго стека.