Источники
Презентация "Алгоритмы на графах. Топологическая сортировка отсечением вершин"
Подписи к слайдам:
- Алгоритмы на графах
- Топологическая сортировка отсечением вершин
- Югов Иван Олегович
- МОУ Гимназия №10, г. Тверь
- В первой строке файла input.txt заданы целые n и m — соответственно число вершин и число рёбер неориентированного графа (1 ≤ n ≤ 10 000, 0 ≤ m ≤ 50 000). В следующих m строках файла заданы пары номеров вершин, соединённых рёбрами.
- В файл output.txt вывести единственное число — количество компонент связности графа.
- Ограничение по времени — 1 сек.
- Ограничение по памяти — 16 Мб.
- Сколько различных путей есть в дереве с n вершинами?
- Какое максимальное количество циклов (длиной 3 и более) может быть в неориентированном графе с n вершинами?
- Какое максимальное количество циклов (длиной 3 и более) может быть в неориентированном графе с n вершинами и k компонентами связности?
- Написать программу, определяющую количество компонент связности, с использованием матрицы смежности.
- Написать программу, определяющую максимальный размер компоненты связности, с использованием списка смежности.
- Дан ориентированный ациклический граф.
- 2
- 5
- 3
- 4
- 1
- 6
- Топологической сортировкой называется присвоение номеров вершинам: любая дуга направлена из вершины с меньшим номером в вершину с бóльшим номером.
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- Почему это возможно?
- Всегда найдётся вершина, в которую не входит ни одно ребро.
- ?
- Такой вершине можно присвоить минимальное значение, после чего убрать её из графа.
- Как быстро определить вершины, в которые не входит ни одно ребро?
- Будем хранить входящую степень каждой вершины:
- массив deg_in длины n, deg_in[i]— число соседей i-й вершины.
- Pascal
- ...
- a[u, v] := True;
- Inc(deg_in[v]);
- ...
- C
- ...
- a[u, v] = TRUE;
- deg_in[v]++;
- ...
- массив order длины n, order[i] — присвоенный i-й вершине порядковый номер при топологической сортировке;
- currorder — текущий присваиваемый номер.
- Pascal
- for i := 1 to n do
- order[i] := 0;
- currorder := 0;
- TopSort;
- TopSort:
- for i := 1 to n do
- for j := 1 to n do
- if (deg_in[j] = 0) and
- (order[j] = 0) then
- begin
- Inc(currorder);
- order[j] := currorder;
- for <u - сосед j-й вершины> do
- Dec(deg_in[u]);
- end;
- C
- for(i = 0; i < n; i++)
- order[i] = 0;
- currorder = 0;
- TopSort;
- TopSort:
- for(i = 0; i < n; i++)
- for(j = 0; j < n; j++)
- if((!deg_in[j]) && (!order[j]))
- {
- order[j] = ++currorder;
- for(<u - сосед i-й вершины>)
- deg_in[u]--;
- };
- В первой строке файла input.txt заданы целые n и m — соответственно число вершин и число рёбер ориентированного графа (1 ≤ n ≤ 10 000, 0 ≤ m ≤ 50 000). В следующих m строках файла заданы пары номеров вершин, соединённых рёбрами.
- В файл output.txt вывести номера, которые приобретут вершины после топологической сортировки. i-е число означает номер, приобретённый i-й вершиной.
- Ограничение по времени — 3 сек.
- Ограничение по памяти — 16 Мб.
- В первой строке файла input.txt заданы целые n и m — соответственно число вершин и число рёбер ориентированного графа (1 ≤ n ≤ 10 000, 0 ≤ m ≤ 50 000). В следующих m строках файла заданы пары номеров вершин, соединённых рёбрами.
- В файл output.txt вывести упорядоченные топологически номера вершин.
- Ограничение по времени — 3 сек.
- Ограничение по памяти — 16 Мб.
- Предприятие «Авто-2010» выпускает двигатели известных во всём мире автомобилей. Двигатель состоит ровно из n деталей, пронумерованных от 1 до n, при этом деталь с номером i изготавливается за pi секунд. Специфика предприятия «Авто-2010» заключается в том, что там одновременно может изготавливаться лишь одна деталь двигателя. Для производства некоторых деталей необходимо иметь предварительно изготовленный набор других деталей.
- Генеральный директор «Авто-2010» поставил перед предприятием амбициозную задачу — за наименьшее время изготовить деталь с номером 1, чтобы представить её на выставке.
- Требуется написать программу, которая по заданным зависимостям порядка производства между деталями найдёт наименьшее время, за которое можно произвести деталь с номером 1.
- Первая строка входного файла details.in содержит число n (1 ≤ n ≤ 10 000) — количество деталей двигателя. Вторая строка содержит n натуральных чисел p1, p2, …, pn, определяющих время изготовления каждой детали в секундах. Время для изготовления каждой детали не превосходит 109 секунд. Каждая из последующих n строк входного файла описывает характеристики производства деталей. Здесь i-я строка содержит число деталей ki, которые требуются для производства детали с номером i, а также их номера. Сумма всех чисел ki не превосходит 200000. Известно, что не существует циклических зависимостей в производстве деталей.
- В первой строке выходного файла details.out должны содержаться два числа: минимальное время ( в секундах), необходимое для скорейшего производства детали с номером 1 и число k деталей, которые необходимы для этого производства. Во второй строке требуется вывести через пробел k чисел — номера деталей в том порядке, в котором их следует производить для скорейшего производтсва детали с номером 1.
- Ограничение по времени — 2 сек. Ограничение по памяти — 64 Мб.
|
|
|
|
|
|
|
|
- Курс «Базовые алгоритмы для школьников» (Станкевич А. С., Абакумов К. В., Мухачёва М. А.)
- «Интернет-уинверситет информационных технологий»
- http://www.intuit.ru/department/algorithms/basicalgos/
