Презентация "Рекурсивные алгоритмы" 11 класс


Подписи к слайдам:
Рекурсивные алгоритмы

Рекурсивные алгоритмы

ЕГЭ-2017 по информатике. Задание 11

Автор: Фоминова Елена Владимировна,

учитель физики и информатики

МБОУ СОШ № 23 МО Усть-Лабинский район хутора Братского Краснодарского края

Содержание

  • Теория
  • Рекурсия вокруг нас
  • Рекурсия в математике
  • Программирование
  • Задачи на закрепление
  • Список использованной литературы

Теория

Реку́рсия (RECURCIО - возвращение)определение, описание, изображение какого-либо объекта или процесса внутри самого этого объекта или процесса, то есть ситуация, когда объект является частью самого себя.

Рекурсивным называется любой объект, который частично определяется через себя.

Что нужно знать:

Рекурсия может быть прямой и косвенной.

Рекурсия – это приём, позволяющий свести исходную задачу к одной или нескольким более простым задачам того же типа.

Чтобы определить рекурсию, нужно задать:

-условие остановки рекурсии

-рекуррентную формулу

Любую рекурсивную процедуру можно запрограммировать с помощью цикла

Рекурсия позволяет заменить цикл и в некоторых сложных задачах делает решение более понятным, хотя часто менее эффективным.

Теория

Рекурсия может быть прямой и косвенной.

В случае прямой рекурсии вызов функцией самой себя делается непосредственно в этой же функции

procedure F(n: integer);

begin

writeln(n);

if n > 1 then begin

F(n-1);

F(n-3)

end

end;

end;

Теория

Косвенная рекурсия создаётся за счёт вызова

данной функции из какой-либо другой функции,

которая сама вызывалась из данной функции.

function F(n: integer): integer;

begin

if n > 2 then F := F(n - 1) + G(n - 2)

else F := 1;

end;

function G(n: integer): integer;

begin

if n > 2 then G := G(n - 1) + F(n - 2)

else G := 1;

end;

Теория

Уроборос – змей, кусающий свой собственный хвост. Это древний символ бесконечности Вселенной и времени, круговорота жизни, отождествляемых с рекурсией.

Уроборос – змей, кусающий свой собственный хвост. Это древний символ бесконечности Вселенной и времени, круговорота жизни, отождествляемых с рекурсией.

Рекурсия вокруг нас…

Классическим примером бесконечной рекурсии являются два поставленные друг напротив друга зеркала: в них образуются два коридора из затухающих отражений зеркал.

Классическим примером конечной рекурсии является русская матрешка.

Рекурсия вокруг нас…

Рассказ из С.Лева «Кибериады» о разумной машине, которая обладала достаточным умом и ленью, чтобы для решения поставленной задачи построить себе подобную, и поручить решение ей. (бесконечная рекурсия - каждая новая машина строила себе подобную).

Н.В. Гоголь в повести «Портрет» описывает сон художника Черткова (сон третьего уровня рекурсии). Проснувшись от этого сна Чертков попадает на второй уровень рекурсии – во второй сон. Проснувшись от второго сна, он попадает в первый сон, от которого тоже придется проснуться.

"Мастер и Маргарита" - один из наиболее ярких рекурсивных романов.

Тема Иешуа и Пилата рекурсивно вызывается из темы Мастера и Маргариты. Кроме того, здесь так же используется прием "книга в книге". Мастер пишет роман об Иешуа и Пилате, текст которого сливается с текстом книги "Мастер и Маргарита".

Рекурсия вокруг нас…

Первым романом, удивившим читателей приемом рекурсии, был "Дон Кихот". Сервантес все время пытался смешивать два мира: мир читателя и мир книги. У Сервантеса главный процесс не просто книга, но книга плюс читатель. В шестой главе цирюльник, осматривая библиотеку Дон Кихота, находит книгу Сервантеса и высказывает суждения о писателе. Вымысел Сервантеса рассуждает о нем. В начале девятой главы сообщается, что роман переведен с арабского и что Сервантес купил его на рынке. Наконец, во второй части романа персонажи уже прочли первую часть.

Элементы использования рекурсии находим еще раньше у Шекспира. Гамлет ставит спектакль, где в упрощенном варианте описываются события трагедии.

В романее Л. Толстого «Война и мир» рекурсия отражает прошлое в настоящем и будущем.

Рекурсия вокруг нас…

У попа была собака, он её любил Она съела кусок мяса, он её убил В землю закопал, Надпись написал: «У попа была собака, он её любил Она съела кусок мяса, он её убил В землю закопал, Надпись написал:

Р. Бернс «Дом, который построил Джек» в переводе

С. Маршака Вот дом, Который построил Джек. А это пшеница, Которая в темном чулане хранится В доме,  Который построил Джек А это веселая птица-синица, Которая часто ворует пшеницу,  Которая в темном чулане хранится.

Рекурсия вокруг нас…

А. Блока Ночь, улица, фонарь, аптека. Бессмысленный и тусклый свет. Живи еще хоть четверть века –  Все будет так. Исхода нет. Умрешь – начнешь опять сначала, И повторится все, как встарь: Ночь, ледяная рябь канала, Аптека, улица, фонарь.

Мориса Эшера

Мориса Эшера

«Рисующие руки»

Мориса Эшера

«Галерея гравюр»

Рекурсия вокруг нас…

Рекурсия вокруг нас…

Фрактал

"Треугольник Серпинского"

Эйфелева Башня в Париже

Исторический музей в Москве

Рекурсия вокруг нас…

Дерево состоит из веток. Ветка в свою очередь состоит из более маленьких веточек. Каждая ветка повторяет дерево.

Реки образуются из впадающих в них рек.

Чешуя шишек и семена некоторых цветов (например, подсолнечника) расположены пересекающимися

спиралевидными веерами, определяемыми соотношением чисел Фибоначчи.

Эффект Дросте - термин для изображения специфического вида рекурсивного изображения. Изображение включает уменьшенный собственный вариант самого себя. Этот более малый вариант после этого показывает даже более малый вариант себя, и так далее. Практически это продолжается пока разрешение изображения позволяет уменьшает размер. Термин был введен в честь Дросте, голландского какао.

Рекурсия вокруг нас…

Рекурсия вокруг нас…

Герб Российской Федерации

является рекурсивно-определённым графическим объектом: в правой лапе изображённого на нём двуглавого орла зажат скипетр, который венчается уменьшенной копией герба. Так как на этом гербе в правой лапе орла также находится скипетр, получается бесконечная рекурсия.

Рекурсия в математике

1) Арифметическая прогрессия:

а)а1=а0;

б) аn=аn-1+d.

2) Геометрическая прогрессия:

а) а1=а0;

б) аn=а n-1*q.

Рекурсия в математике

3) Факториал

an=n! n!=1*2*3*4*5*б*...*n.

а)а1=1;

б) аn=n*аn-1.

4) Числа Фибоначчи.

x1=x2=1

xn=xn-1+xn-2 при n > 2 Каждый элемент ряда Фибоначчи является суммой двух предшествующих элементов, т.е. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…

Программирование

Рекурсия — это такой способ организации вспомогательного алгоритма (подпрограммы), при котором эта подпрограмма (процедура или функция) в ходе выполнения ее операторов обращается сама к себе.

В программировании рекурсия — вызов функции из неё же самой, непосредственно или через другие функции, например, функция A вызывает функцию B, а функция B — функцию A. Количество вложенных вызовов функции или процедуры называется глубиной рекурсии.

Программирование

В языке программирования Pascal

рекурсивностью могут обладать как

функции, так и процедуры.

Примеры рекурсивной процедуры.

Общая форма записи:

Procedure Rec (a:integer);

Begin

If a>0 Then Rec(a-1);

Writeln(a);

End;

Важно!

Выполнение рекурсивного алгоритма можно представить следующим образом:

каждый рекурсивный вызов процедуры F порождает в памяти компьютера новую копию этой процедуры и запускает ее на выполнение со своими значениями входных параметров.

После того как процедура F завершила работу, выполнение программы продолжается со следующего оператора после вызова F.

Программирование

Пример рекурсивной процедуры:

Program n1;

uses crt;

procedure Rec(i: integer);

begin

if i>1 then Rec(i-1);

writeln(i);

end;

begin

clrscr;

Rec(5);

End.

Выводится 1,2,3,4,5

Пока i >1 вызывается следующая процедура

Выводится i

Вызов Rec(5)

Вызов Rec(4)

Вызов Rec(3)

Вызов Rec(2)

Вызов Rec(1)

Вывод (1)

Вывод (2)

Вывод (3)

Вывод (4)

Вывод (5)

i>1

i

Rec(i-1)

5

4

3

2

1

5>1 Да

4>1 Да

3>1 Да

2>1 Да

1>1 Нет

Rec(4)

Rec(3)

Rec(2)

Rec(1)

Вывод(1)

Программирование

Задание1. Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n – натуральное число, задан следующими соотношениями:

F(1) = 1

F(n) = F(n–1) + n, при n >1

Чему равно значение функции F(5)? В ответе запишите только натуральное число.

Решение. Последовательно находим:

F(2) = F(1) + 2 = 3,

F(3) = F(2) + 3 = 6,

F(4) = F(3) + 4 = 10,

F(5) = F(4) +5 = 15.

Ответ: 15

Задание 2. Дан рекурсивный алгоритм:

Задание 2. Дан рекурсивный алгоритм:

procedure F(n: integer);

begin

writeln(n);

if n < 5 then begin

F(n + 1);

F(n + 3)

end

end;

Найдите сумму чисел, которые будут выведены при вызове F(1).

Программирование

n

n<5

F

1

+

2 4

4

+

5 7

2

+

3 5

3

+

4 6

4

+

5 7

6

-

Складывая все эти числа, получаем 49

Задание 3. Дан рекурсивный алгоритм:

procedure F(n: integer);

begin

writeln(n);

if n < 6 then begin

F(n+2);

F(n*3)

end

end;

Найдите сумму чисел, которые будут выведены при вызове F(1).

Программирование

n

n<6

F

1

+

3 3

3

+

5 9

3

+

5 9

5

+

7 15

5

+

7 15

Складывая все эти числа, получаем 79

Задание 4. Дан рекурсивный алгоритм

procedure F(n: integer);

begin

if n < 3 then

write('*')

else begin

F(n-1);

F(n-2);

F(n-2)

end;

end;

Сколько звездочек напечатает эта процедура при вызове F(6)? В ответе запишите только целое число.

Программирование

Решение:

Найдем значение процедуры:

F(6)=F(5)+2*F(4)

F(5)=F(4)+2*F(3)

F(4)=F(3)+2*F(2)

F(3)=F(2)+2*F(0)=F(2)+2*1=F(2)+2

F(2)=1

Следовательно:

F(3)=1+2=3

F(4)=3+2*1=5

F(5)=5+2*3=11

F(6)=11+2*5=21

Задание 5. Дан рекурсивный алгоритм: procedure F(n: integer); begin writeln(n); if n <=4 then

begin F(n*2); F(n +1); end end; Чему равна сумма всех чисел, напечатанных на экране при выполнении вызова F(2)?

Программирование

F(2)

F(4)

F(3)

F(8)

F(5)

F(4)

F(6)

F(8)

F(5)

8+4+5+2+3+4+6+8+5=45

!

Построенное дерево позволяет ответить на более сложный вопрос: «Что напечатает программа?»

Выписав значения узлов в порядке построения, получим:

2 4 8 5 3 6 4 8 5

Результат работы программы при ином расположении оператора печати n, в общем случае, отличается от данного.

Задание 5. Дан рекурсивный алгоритм: procedure F(n: integer); begin writeln(n); if n <=4 then

begin F(n*2); F(n +1); end end; Чему равна сумма всех чисел, напечатанных на экране при выgолнении вызова F(2)?

Программирование

Решение (II способ):

При n<=4

F(n)=n+F(2n)+F(n+1)

При n>4

F(8)=8; F(7)=7; F(6)=6; F(5)=5

Найдем значение процедуры:

F(4)=4 +F(2*4)+F(4+1)=4+F(8)+F(5)=

=4+8+5=17

F(3)=3 +F(2*3)+F(3+1)=3+F(6)+F(4)=

=3+6+17=26

F(2)=2 +F(2*2)+F(2+1)=2+F(4)+F(3)=

=2+17+26=45

Задание 6. Дан рекурсивный алгоритм

procedure F(n: integer);

begin

if n <=4 then

begin

F(n*2);

F(n+1);

end;

write(n);

end;

Укажите через запятую последовательность выводимых чисел, в том порядке, как их напечатает программа при выполнении вызова F(2).

Программирование

Решение:

при n<=4 F(n)=F(2n)+F(n+1)+n

при n>4 F(n)=n

Найдем значение процедуры:

F(2)=F(2*2)+F(2+1)+2=F(4)+F(3)+2

F(3)=F(2*3)+F(3+1)+3=F(6)+F(4)+3

F(4)=F(2*4)+F(4+1)+4=F(8)+F(5)+4

F(2)=F(8)+F(5)+4+F(6)+F(8)+F(5)+4+3+2

Ответ:

8,5,4,6,8,5,4,3,2

Задание 7. Дан рекурсивный алгоритм

procedure F(n: integer);

begin

if n <=4 then

begin

F(n*2);

write(n);

F(n+1);

end;

end;

Укажите через запятую последовательность выводимых чисел, в том порядке, как их напечатает программа при выполнении вызова F(2).

Программирование

Решение:

при n<=4 F(n)=F(2n)+n +F(n+1)

при n>4 F(n)= «не печатает!»

Найдем значение процедуры:

F(2)=F(2*2)+2+F(2+1)=F(4)+2+F(3)

F(3)=F(2*3)+3+F(3+1)=F(6)+3+F(4)

F(4)=F(2*4)+4+F(4+1)=F(8)+4+F(5)

F(2)=4+2+F(3)=4+2+3+F(4)=4+2+3+4

Ответ:

4,2,3,4

Задание 8. Дан рекурсивный алгоритм

procedure F(n: integer);

begin

if n >1 then

begin

F(n-2);

write(n);

F(n div 2);

end;

end;

Укажите через запятую последовательность выводимых чисел, в том порядке, как их напечатает программа при выполнении вызова F(6).

Программирование

Решение:

при n>1 F(n)=F(n-2)+n +F(n div 2)

при n<=1 F(n)= «не печатает!»

Найдем значение процедуры:

F(6)=F(6-2)+6+F(6 div 2)=F(4)+6+F(3)

F(4)=F(4-2)+4+F(4 div 2)=F(2)+4+F(2)

F(3)=F(3-2)+3+ F(3 div 2)=F(1)+3+F(1)

F(2)=F(2-2)+2+ F(2 div 2)=F(0)+2+F(1)

F(6)=F(2)+4+F(2)+6+F(3)= =F(2)+4+F(2)+6+3=2+4+2+6+3

Ответ:

2,4,2,6,3

Задание 9. Дан рекурсивный алгоритм

procedure F(n: integer);

Begin

write(n);

if n >1 then

begin

F(n-2);

F(n div 2);

end;

end;

Укажите через запятую последовательность выводимых чисел, в том порядке, как их напечатает программа при выполнении вызова F(5).

Программирование

Решение:

при n>1 F(n)=n+F(n-2) +F(n div 2)

при n<=1 F(n)=n

Найдем значение процедуры:

F(5)=5+F(5-2)+F(5 div 2)=5+F(3)+F(2)

F(3)=3+F(3-2)+F(3 div 2)=3+F(1)+F(1)

F(2)=2+F(2-2)+F(2 div 2)=2+F(0)+F(1)

Получим:

F(2)=2+0+1

F(3)=3+1+1

F(5)=5+3+1+1+2+0+1

Ответ: 5,3,1,1,2,0,1

Задание 10. Даны два рекурсивных алгоритма

procedure F(n: integer); forward;

procedure G(n: integer); forward

procedure F(n: integer);

Begin

write(‘*’);

if n >0 then F(n-2) else G(n);

end;

procedure G(n: integer);

Begin

write(‘**’); if n >1 then F(n-3);

end;

Сколько символов «звездочка» будет напечатано на экране при выполнении F(20)?

Программирование

Решение:

при n>10 F(n)=‘*’+F(n-2)

при n<=10 F(n)=‘**’ +F(n-3)

при n<=1 G(n)=‘**’

Найдем значение процедуры:

F(20)=* +F(18)

F(18)=* +F(16)

F(16)=* +F(14)

F(14)=* +F(12)

F(12)=* +F(10)

F(10)=* + ** +F(7)

F(7)=* + ** +F(4)

F(4)=* + ** +F(1)

F(1)=* + **

Ответ: 17

F(1)=3

F(4)=3+3=6

F(7)=3+6=9

F(10)=3+9=12

F(12)=1+12=13

F(14)=1+13=14

F(16)=1+14=15

F(18)=1+15=16

F(20)=1+16=17

Задача 1. Дан рекурсивный алгоритм

procedure F(n: integer);

Begin

writeln(n);

if n <5 then

begin

F(n+1);

F(n + 2);

end;

end;

Чему равна сумма выводимых на экран чисел при вызове F(1).

Программирование

Ответ: 64

Задачи на закрепление

Справка

при n<5

F(n)=n+F(n+1) +F(n+2)

при n>=5

F(n)=n

Справка

Задача 2. Дан рекурсивный алгоритм

procedure F(n: integer);

Begin

writeln(n);

if n >3 then

begin

F(n-1);

F(n -3);

end;

end;

Чему равна сумма выводимых на экран чисел при вызове F(5).

Программирование

Ответ: 15

Задачи на закрепление

Справка

при n>3

F(n)=n+F(n-1) +F(n-3)

при n<=3

F(n)=n

Справка

Программирование

Задачи на закрепление

Задача 3. Даны два рекурсивных алгоритма

procedure F(n: integer); forward;

procedure G(n: integer); forward

procedure F(n: integer);

Begin

write(‘*’);

if n >10 then F(n-2) else G(n);

end;

procedure G(n: integer);

Begin

write(‘**’); if n >0 then F(n-3);

end;

Сколько символов «звездочка» будет напечатано на экране при выполнении F(18)?

Ответ: 19

Программирование

Задачи на закрепление

Задача 4. Даны два рекурсивных алгоритма

procedure F(n: integer); forward;

procedure G(n: integer); forward

procedure F(n: integer);

Begin

write(‘*’);

if n >=2 then F(n-2) else G(n);

end;

procedure G(n: integer);

Begin

write(‘**’); if n >1 then F(n-3);

end;

Сколько символов «звездочка» будет напечатано на экране при выполнении F(22)?

Ответ: 18

Программирование

Задачи на закрепление

Задача 5. Даны два рекурсивных алгоритма

procedure F(n: integer); forward;

procedure G(n: integer); forward

procedure F(n: integer);

Begin

write(n);

if n mod 2 =0 then F(n div 2)

else G((n-1) div 2);

end;

procedure G(n: integer);

Begin

write(n); if n >0 then F(n);

end;

Какова сумма чисел, напечатанных на экране при выполнении вызова F(17)?

Ответ: 40

Программирование

Задачи на закрепление

Задача 6. Даны два рекурсивных алгоритма

procedure F(n: integer); forward;

procedure G(n: integer); forward

procedure F(n: integer);

Begin

write(n mod 2);

if n mod 2 =0 then F(n div 2)

else G((n-1) div 2);

end;

procedure G(n: integer);

Begin

write(n); if n >0 then F(n);

end;

Какова сумма чисел, напечатанных на экране при выполнении вызова F(19)?

Ответ: 16

Программирование

Задачи на закрепление

Задача 7. Даны два рекурсивных алгоритма

procedure F(n: integer); forward;

procedure G(n: integer); forward

procedure F(n: integer);

Begin

write(n mod 2);

if n mod 2 =0 then F(n div 2)

else G((n-1) div 2);

end;

procedure G(n: integer);

Begin

write(n mod 2); if n >0 then F(n);

end;

Сколько нулей будет выведено на экране при выполнении вызова F(21)?

Ответ: 5

Программирование

Задачи на закрепление

Задача 8. Даны два рекурсивных алгоритма

procedure F(n: integer); forward;

procedure G(n: integer); forward

procedure F(n: integer);

Begin

if n mod 5 =0 then G(n -5)

else F(n-3);

end;

procedure G(n: integer);

Begin

write(‘*’); if n >0 then F(n-1);

end;

Сколько символов «звездочка» будет напечатано на экране при выполнении вызова F(51)?

Ответ: 4

Список использованной литературы

  • Крылов С.С ЕГЭ 2017. Информатика Тематические тестовые задания/С.С. Крылов, Д.М. Ушаков.-М.:Издательство «Экзамен», 2017
  • Крылов С.С, Чуркина Т.Е. ЕГЭ. Информатика и ИКТ: типовые экзаменационные варианты: 20 вариантов. -М.:Издательство «Национальное образование», 2017
  • Бражникова О.В. Рекурсия. Рекурсивные алгоритмы http://easyen.ru
  • Исламов Р.Г. «Рекурсивные алгоритмы». Разбор заданий №11 ЕГЭ по информатике и ИКТ
  • Коротун О.В. Рекурсивные алгоритмы. Задание 11 ЕГЭ. http://proteacher.ru/2015/01/10/Rekursivnye_algoritmy_1420913156_12749.pptx
  • Юдин А.Б. Рекрусия http://www.uchportal.ru/load/18-1-0-55354

Интернет-ресурсы

Слайд 1, 2 http://arxweb.net/pictures/raznoe/recursia.jpeg

Слайд 3-7,17,18,20-36, 44 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b3/Screenshot_Recursion_via_vlc.png

Слайд 3 http://lols.ru/uploads/posts/2011-07/1309983680_1309964j.jpg

Слайд 7 Змей http://ezolan.ru/image/cache/data/Talisman/smola/kumirnica/95-500x500.jpg

Зеркала http://cdn01.ru/files/users/images/92/44/92443e52bffa0b4f29b8075eb6a50193.jpg

Матрешки https://image.jimcdn.com/app/cms/image/transf/none/path/seb6ba021dbaf218c/image/i0b5fd1e834074150/version/1418029668/image.jpg

Слайд 8 Лем http://tomuz.ru/uploads/images/l/e/m/lem_stanislav_kiberiada_01_skazki_robotov.jpg

Портрет https://fs00.infourok.ru/images/doc/233/91173/2/img4.jpg

Мастер и Маргарита  http://biblus.ru/pics/7/f/f/1005817671.jpg

Слайд 9

Гамлет http://botinok.co.il/sites/default/files/images/c44e9d5e0c2582fb3bfd9c60e1e36ea5_smoktunovskiy_gamlet.jpg

Дон Кихот https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ac/Honoré_Daumier_017_%28Don_Quixote%29.jpg/416px-Honoré_Daumier_017_%28Don_Quixote%29.jpg

Война и мир http://www.abbyreader.ru/pic/fa649070809c3dfb3fa768b4d8fd528a.jpg

Слайд 10

Поп http://cdn01.ru/files/users/images/e4/31/e4311658d876f53c249807107fc54648.jpg

Джек http://s-marshak.ru/books/d/d27/d27_02.jpg

Слайд 11 https://lh3.googleusercontent.com/-SqgOCQ0nNsk/TKnKgCfpcKI/AAAAAAAAHe4/1E4isRsTzeEJBdFNBeDLDEp_RRH-VHnEgCHM/s800/0_2910a_67b4058a_XL.jpg

Интернет-ресурсы

Слайд 12 Руки https://1.bp.blogspot.com/-fbcn-arPJ-U/VzcSEzMsn0I/AAAAAAAALfQ/JOwbBZ2BLaMtAL1mNK-e7ZPt_OAPkAksgCLcB/s1600/drawing-hands.jpg

Галерея http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/images/scan450.jpg

Слайд 13 Эйфелева башня http://ic.pics.livejournal.com/alexey_soloviev/41323646/48823/48823_original.jpg

Музей http://akademichesky.mos.ru/upload/medialibrary/38e/git.jpg

Фрактал http://lurkmore.so/images/a/a8/Fractal_pyramid.jpg

Слайд 14 Подсолнух http://thefaceshop.info/image/data/подсолнечник.jpg

Дерево http://slavaveto.ru/notes/images/the_tree.jpg

Река http://static.panoramio.com/photos/large/53740152.jpg

Шишки http://traffic-moscow.ru/img/elovie-shishki-v-retseptah-narodnoy-meditsini-3.jpg

Слайд 15 http://monemo.ru/uploads/2963/images/ecaeb3a20d09ba73.jpg

Слайд 16 http://picsview.ru/images/930461_flag-rossii-s-gerbom-png.jpg

Слайд 17 http://yavix.ru/i/1/1/7/1f5e585142098e76790c71553053d.jpg

Слайд 18 Факториал http://a887.phobos.apple.com/us/r30/Purple1/v4/7a/1a/7e/7a1a7e1e-85d1-dbb9-22dc-0491dbc71b71/pr_source.png?downloadKey=1428831233_243c912f63c872b85a411a2fb282a4f2

Фибоначи http://binarnyestrategii.ru/wp-content/uploads/2015/10/fibonacci-luchshaya-strategiaya.png

Слайд 19 http://perego-shop.ru/gallery/images/1223129_zolotoe-sechenie-v-kosmose.jpg

Слайд 21-36

Человечек http://sch2.luninec.edu.by/be/sm.aspx?guid=6463

Слайд 37-42

http://ivanov-shkola-70.myjino.ru/informatika_06_fgos/par_17/ris_62.png

Слайд 43 http://s00.yaplakal.com/pics/pics_original/0/5/2/377250.jpg